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Monday, April 30, 2012

Selección de problemas Copa Eugene Francis (soluciones)

Lo prometido es deuda. En la última entrada les expliqué los pormenores de la Copa Eugene Francis, y les presenté éstos problemas que han sido  parte de la competencia en ediciones pasadas; donde el reto es hacerlo en el tiempo estipulado con solamente lápiz, papel, conocimiento adquirido y razonamiento lógico (SIN ningúna ayuda electrónica). Bajo cada problema encontrarán la solución de cada una.








[Solución]

Claro está agradecer a la AEMCC por el ímpetú en desarrollar este concepto; y a los profesores del departamento de Ciencias Matemáticas del UPR-RUM, quiénes cooperan en la elaboración de éstos problemas y donan de su tiempo para ser jueces. Sin ellos, no sería posible celebrar cada año la Copa.

Saturday, April 28, 2012

Sobre la Copa Eugene Francis

Organizada por la Asociación de Estudiantes de Matemática y Ciencias de Cómputos (AEMCC) de la Universidad de Puerto Rico - Recinto Universitario de Mayagüez, la Copa Eugene Francis es una competencia de matemáticas en equipo, dedicada al Dr. Eugene Francis, quien fuese profesor y director del Departamento de Ciencias Matemáticas y uno de los grandes baluartes que ha tenido la UPR-RUM.

Las reglas:
  • Pueden participar alumnos a nivel superior tanto de escuelas públicas y privadas de Puerto Rico.
  • Cada escuela tiene la opción de enviar, a lo más, dos (2) equipos de tres (3) estudiantes con un suplente.
  • La competencia consiste en resolver diez (10) problemas de diversos temas (geometría, álgebra, estadística, trigonometría, etc.) cuya duración son entre los 2 y 8 minutos cada uno. Cada problema tendrá un valor de diez (10) puntos.
  • Se les entrega a cada integrante del equipo el problema a completar. Después de terminar el tiempo de cada problema, tienen 30 segundos para decidir cuál de los papeles van a entregar para que los jueces corrijan.
  • Aquél equipo que tenga la mayor puntuación al final del décimo problema será el ganador de la Copa. de haber empate, se hacen problemas de desempate.

Algunos problemas de pasados años:

En la Copa Eugene Francis no se permite utilizar calculadoras ni cualquier otro aditamento electrónico, solamente lápiz, papel, y mente. Con estas condiciones le presento esta selección de problemas de las ediciones 17 (2008), 18 (2009), y 19 (2011). El reto mayor es poder hacerlo correctamente en el tiempo estipulado (en rojo). El lunes publicaré las soluciones.






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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Un examen de geometría analítica de 1891


imagen via [cowboy-robot]

Esta evaluación de los Regents de Nueva York para 1891, de tres horas de duración, debía pasarse con 75% o más de aprobación.

Verán que hay tanto preguntas teóricas (memorísticas y demostrativas) como prácticas, donde había que explicar bastante y construir toda función (por eso las tres horas).

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

La aritmética de Plutón

(Problema #2 de la XIX Copa Eugene Francis, celebrada el 7 de mayo del 2011 en el Recinto Universitario de Mayagüez)

Los habitantes de Plutón usan los mismos operadores matemáticos que nosotros ( +, -, etc.). Ellos además usan un operador, @, que nosotros no conocemos.


Las siguientes son ciertas para cualesquiera números reales x, y:


Entonces, ¿cuál es el valor de 12 @ 5?

[Solución]

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Thursday, April 26, 2012

Danzando matemáticamente


 imagen via [d20crit]

Danza toda la noche con la versión bailable de las operaciones básicas. Como la explicación de la imagen es poca, es conveniente añadirle instrucciones para que puedan ejecutarlas:
  • adición: hacer una cruz con las manos
  • sustracción: escudarse con un brazo y luego con el otro
  • multiplicación: igual que la suma, pero haciendo una x.
  • división: escudo con un brazo y alternadamente pumpeas arriba y abajo del brazo.
  • al cuadrado y al cubo: el baile de los chicos de Roxbury, pero con la mano señalando el exponente.
  • recurrente: como si estuvieras corriendo despavoridamente, pero nunca sales de posición.
  • raíz cuadrada: haz como un egipcio, pero con una pierna levantada.
  • seno y coseno: lo que ven arriba es el baile de la recta. Si fuese seno y coseno, estaría pasando corriente, como en el electroboogie.
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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Wednesday, April 25, 2012

Cambiar un bombillo matemáticamente

¿Cuántos lógicos matemáticos se necesitan para cambiar un bombillo?
Ninguno: No lo pueden hacer, pero pueden demostrar que es posible.
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¿Cuántos analistas numéricos se necesitan para cambiar un bombillo?
3.9967 (luego de seis iteraciones)
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¿Cuántos geométricos clásicos se necesitan para cambiar un bombillo?
Ninguno: no lo puedes hacer con regla y compás.
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¿Cuántos matemáticos constructivistas se necesitan para cambiar un bombillo?
Ninguno: no creen en rotaciones infinesimales.
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¿Cuántos simulacionistas se necesitan para cambiar un bombillo?
Infinitos: cada uno construye su propio modelo completamente válido, pero el encendido de luz nunca ocurre
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¿Cuántos topólogos se necesitan para cambiar un bombillo?
Uno, ¿pero que haría con una rosquilla (dona)?
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¿Cuántos analistas se necesitan para cambiar un bombillo?
Tres: uno que pruebe la existencia, otro la unicidad; y el tercero que derive un algoritmo no-constructivo para poder hacerlo.
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¿Cuántos bourbakistas se necesitan para cambiar un bombillo?
Cambiar un bombillo es un caso especial de un teorema más general concerniente a la reparación de un sistema eléctrico. Para poder establecer la cantidad límite superior e inferior de personal requerido, debemos determinar las condiciones suficientes del Lemma 2.1 (Disponibilidad de personal) y aquellos del Corolario 2.3.55 (Motivación del personal) aplican.Si y sólo si estas condiciones son ciertas, derivamos el resultado por una aplicación de los teoremas de la Sección 3.1123. el límite superior resultante es, obviamente, un resultado en el espacio abstracto medible, en la topología débil-*.

[Referencia]


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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Tuesday, April 24, 2012

Algunas ayudas y manipulativos matemáticos que debes considerar

Estaba un domingo de marzo con mi hermano y primo en una tienda por departamento del pueblo de Ponce, pasando por los pasillos. En el área de juguetes empezamos a recordar mometos de infancia y a la misma vez tiempos donde todavía se divertía al aire libre.

De repente veo la sección de los juegos de mesa y de cartas. Le señalo al primo que puedo utilizar varios artículos como parte de mi plan de matemáticas, como las tarjetas UNO para introducir la adición y sustracción de polinomios, el uso de los dados para la notación de exponentes y el resorte para senos y cosenos. Más aún, dí una lección de probabilidad simple usando como ejemplo una pelotas de plástico.

Eventos como éstos dan paso a inferir que es cierto que las matemáticas están por todos lados, especialmente cuando podemos convertir un simple objeto en un manipulativo de clase o un aditamento para un problema verbal.

Desde ese momento, me dí a la tarea de hacer una lista con varios objetos que pueden dar paso a una excelente planificación de clases:

I. "El arsenal"
  • Las herramientas que el educador matemático debe tener y dominar:
    • calculadora científica / gráfica 
      • Mención honorífica: soroban (ábaco japonés}
    • regla
    • compás
    • transportador
    • lápiz y papel 

II. Manipulativos y herramientas matemáticas comunes
  • Son objetos que el mundo ha relacionado directamente con matemáticas y que se utilizan para la planificación o en actividades de avalúo:
    • cubo Rubick
    • juegos lógicos y acertijos
    • tangram (rompecabezas chino)
    • sudoku
    • papel cuadriculado
    • geoplano 
    • cubo binomial y trinomial
    • dados de diferentes cantidades de caras.
    • Algeblocks / bloques de construcción
    • dominós (doble seis o doble nueve)
      • Ejemplo: presentar el concepto del inverso multiplicativo / recíproco
    •  dinero de juguete

III. Juegos de mesa
  • Para poder desarollar dinámicas grupales y/o razonamiento lógico, los juegos de mesa son un elemento esencial; en especial los juegos de barajas (donde se basan muchos ejemplos de probabilidad).
    • UNO
    • Briscas
    • baraja de poker
    • Monopolio
    • Yahtzee
    • Jenga
    • damas / damas chinas
    • ajedrez
    • entre otros...

    IV: Etcétera
    • La creatividad es nuestro límite a la hora de utilizar objetos dentro del aula. Aquí algunos ejemplos:
      • huevos de Pascua o cápsulas de máquinas expendedoras
        • Se pueden utilizar para sortearse problemas verbales o para que los estudiantes que temen levantar la mano escriban sus dudas y las coloquen en un recipiente, para ser leídas al otro día. Más sugerencias aquí.
      • Hula Hoop
        • Cada aro representa un conjunto, de tal manera que podamos hacer un Diagrama de Venn con dos o más aros.
    El mundo es nuestro manipulativo más grande, del cual podemos sacarle provecho dentro del aula con la planificación correcta. Así que la próxima vez que pasen por una tienda, el supermercado, o en cualquier lugar, esté atento, que su próxima clase puede estar frente a sus ojos.

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    Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

    Monday, April 23, 2012

    La herencia del millonario

    (Problema #2 de la XX Copa Eugene Francis, celebrada el pasado 21 de abril del 2012 en el Recinto Universitario de Mayagüez)

    El testamento de un millonario lee: "Le dejo 4/17 de mi fortuna a mi hijo, 7/13 del restante a mi esposa, 2/3 de este nuevo restante a mi hija y los restantes $2,000,000 a mi perro". ¿Cuánto era el total de dinero de la herencia?

    [Solución]

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    Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

    Sunday, April 22, 2012

    Preocupaciones estandarizadas en la rama educativa

    Ya comenzado el viernes pasado, han comenzado las Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico (PPAA), el examen estandarizado vigente en Puerto Rico. 

    Jugando al abogado del diablo: Por mí, quisiera que toda esta evaluación se eliminase por completo, pero si me dieran la oportunidad de implantar mano dura en las pruebas estandarizadas tendría que hacer algunos cambios:
    • Le bajaría el nivel de dificultad y estandarizaje que tienen ahora a uno razonable; vigilaría que todos los acomodos razonables se cumplan desde el comienzo del año; y eliminaría el contexto de adquirir becas solamente por sacar avanzado en todas la pruebas. ¿Por qué? Vea el próximo punto.
    • Haría obligatorio el que tomasen la prueba. Aquellos que no pasen la prueba tomarían la clase en verano (no importan si sacaron A o F en las clases), para luego volver a tomar la prueba. De no pasarla por segunda vez, repetirán el grado.
    • Plan B: La prueba valdría un 40% de la nota final del grado.
    Anhelo el día que podamos vivir sin necesidad de estar interrumpiendo el proceso educativo solo para tratar de atornillar todos los conceptos posibles para una prueba de burbujas y espacios en blanco.

    Thursday, April 19, 2012

    La única forma que 64 sea igual a 65.


    Si haces los siguentes cortes a un cuadriculado 8 × 8 podrás cambiar el área de un cuadrado de 64 unidades cuadradas a una de un rectángulo de 65 unidades cuadradas.

    Veamos como se crea la ilusión:

    Supongamos que, luego de cortar el cuadrado en dos triángulos y los dos trapezoides, seleccionemos uno de cada uno y hallemos su área por pieza y su área total:

    A (triángulo rectángulo pequeño) = ½ × 8 × 3 = 24 / 2 = 12 u²

    A (trapeziode) = [(3 + 5) / 2] × 5 = 4 × 5 = 20 u²

    A (total) = A (triángulo) + A (trapezoide) = 12 + 20 = 32 u²

    Ahora, juntamos las piezas para formar un triángulo rectángulo con base 13 y altura 5. Hallemos su área:

    A (triángulo rect. grande) = ½ × 13 × 5 = 65 / 2 = 32.5 u²

    Es ese margen de error de 0.5 en ese triángulo rectángulo la causante de que un cuadrado de 64 u² sea igual a un rectángulo de 65 u².

    Tuesday, April 17, 2012

    Ferretería Matemática: Conversión de millas a kilómetros y viceversa.

    Puerto Rico es uno de los poco países donde se utilizan los dos sistemas de medidas (como lo expliqué en la entrada sobre la metrificación). Principalmente se ve el contraste en la hora del tapón, ya que las carreteras están medidas en kilómetros pero corremos basados en millas.

    De viajar a paises donde solamente se utiliza el Sistema Métrico y no nos percatamos que la velocidad máxima está marcada en kilómetros, estaríamos como caravana de cojos, ya que una milla es aproximadamente igual a 1.609 km. Es por esto que se utiliza una sencilla conversión:

    De tal manera que de millas a km podemos multiplicar por 1.6 ó (8 / 5):

    y viceversa, donde se multiplicaría por 0.6 (cómputo rápido) ó (5 / 8), para más certeza:
    Es como sacar el precio de un artículo con IVU ( × 1.7) o el IVU solo (× 0.7).

    Patrones en la conversión:
    • Cuando la cantidad de millas son una potencia de 2:


    • Cuando la cantidad de millas son una potencia de 2 multiplicada por 5:

    Con conocer ambas tablas se puede hacer la conversión millas-kilómetros como una suma de potencias de 2, como si fuese un código binario.

    ¿Fibonacci en la conversión millas-kilómetros?

    Existe gente que utilizan la secuencia Fibonacci para sacar aproximaciones rápidas. ¿Qué ocurre con ésto?
    • La razón asociada a la sucesión Fibonacci, la razón áurea (≈ 1.618), es mayor que la equivalencia de una milla en kilómetros (≈ 1.609). No son equivalentes.
    •  La conexión entre ambas razones es que la razón formada con el sexto y séptimo término Fibonacci (5 y 8) forman las conversiones de millas a kilómetros y viceversa.
     Sea cual sea el método que utilices, con que lo puedas convertir con éxito es suficiente.

    Dat Graph ('Sa gráfica)


    DAT GRAPH

    Evidencia de que se puede crear armonía positiva entre matemáticas y memes.

    Thursday, April 12, 2012

    Adaptaciones matemáticas (RLFB XXVII)


    Sunday, April 8, 2012

    cos b, parte integral del humor matemático

    imagen via [aberrsary]

    Toda esta locura comenzó aquí un primero de diciembre del 2010, brindando horas de humor e iluminación a miles de estudiantes que aman y "odian" la matemática. Inclusive si lo hayan croppeado y páginas de internet se hayan apropiado del trabajo que hice sin darme crédito alguno, ha sido placentero saber que aporté un granito de arena al mejoramiento de la materia; a tal punto que eminencias de las artes y las ciencias, como Neil De Grasse-Tyson, lo hayan twitteado y los maestros, esos héroes anónimos, lo hayan presentado en sus salones de clase, fomentando un aire positivo en la enseñanza matemática.


    A todos les digo gracias y que disfruten.


    Saturday, April 7, 2012

    Comprobando una estadística educativa


    En la televisión local pasan un anuncio de una organización que fomenta mejorar la educación pública donde muestran varias estadísticas. Una de éstas dice que el 80% de los estudiantes no dominan las matemáticas. Ochenta porciento, una cifra alarmante, especialmente cuando se les evalúa en las destrezas básicas.

    Una cosa es que te lo digan por la pantalla de un televisor y otra que presencies la estadística. En la mañana de hoy El Blogiante publico uno de tantos "retos matemáticos" que han aparecido en la red social Facebook. De tener cuenta, podrán ver en su totalidad los 400+ comentarios respecto a la foto de arriba. No estamos hablando solo de la población escolar pública, sino la de toda la isla:

    Así estaban los porcientos de likes y shares para las 10 PM (EST) de hoy:
    • Likes (personas que les dió como resultado cero): 1276 (86%)
    • Shares (personas que les dió como resultado 13): 207 (14%)
     Eso sin contar a los que le ha dado 12, 14, y 15.

    Como he visto en los comenarios, los llamados al uso del orden de operaciones han sido ignorados con la correcta (pero usada erróneamente en el caso) aseveración de "todo multiplicado por cero da a cero", voy a explicar porque da a 13 sin el uso del orden de operaciones:
    La propiedad conmutativa de la adición establece que a + b = b + a, mientras que la conmutativa de multiplicación menciona que a × b = b × a. Ambas son operaciones binarias (que se resuelven solamente dos elementos a la vez).

    En otras palabras, puedo mover los números como quiera, siempre y cuando sea dentro de la misma operación. Todo lo que es suma y resta (suma de un negativo) lo puedo mover como se me de la regalada gana, salvo ese 1 × 0 (marcado en rojo), el cual tengo que moverlo pegadito, como si tuviese paréntesis, ya que son los únicos dos elementos multiplicados, declarandose una operación binaria. Entonces por las tres propiedades antes mencionadas:

    Ésto:

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0
    es igual a ésto:

    1 + 1 + 1 + 1 + 1  + 1 × 0 + 1 +1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

    y también a ésto, moviéndolo al principio: 

    1 × 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  + 1 +1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

     Como 1 × 0 = 0 × 1, podemos reescribir todo el enunciado una vez más

    0 × 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  + 1 +1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

    Ahora si comenzamos a machacar números a la cañona (linealmente de izquierda a derecha, obviando el PEMDAS) verán que eliminamos la multiplicación por 0 rápidamente y el resto de los números se suman, resultando en 13.

    0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  + 1 +1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13
    Q.E.D.

    Aquí no hay ambiguedad como en otros casos. Si les dió a cero fue que los hicieron los cómputos en línea o utilizaron una calculadora que no muestra la operación como una algebraica.

    Como punto final, no sé si reirme, llorar o enfurecerme con estas estadísticas. Lo único que sé es que tenemos que analizar que estamos haciendo mal en la educación del pueblo.

    Una forma interesante de enseñar las transformaciones geométricas

    Vea como este libro de geometría explica rotación y reflexión.



    El estudiante, al intentar leer el texto explicando los conceptos, tendrá que crear un centro de rotación (al mover el libro) o hacer una reflexión de la imagen original con un espejo. Y luego dicen que los libros interactivos es algo de reciente incursión.

    Wednesday, April 4, 2012

    Reto logarítmico básico

    De vez en cuando, en el aula de clases el maestro debe presentar un ejercicio retante para verificar si entendieron el concepto aprendido. En este caso, estamos verificando el dominio y entendimiento de los logaritmos:


    Pista (sombrea entre los asteriscos): *halla el inverso logaritmico*
    Solución: la podrás ver aquí.

    Monday, April 2, 2012

    El sorotaku, la calculadora redundante


    El instrumento que ven arriba no es una broma de April Fools. Para los años setenta, Sharp ideó esta combinación entre el soroban (ábaco japonés) y el dentaku (calculadora digital) para que generaciones pasadas y presentes pudieran conectar las dos tecnologías. Pero, ¿porqué se le llama la calculadora redundante?

    Dicha redundancia está basada en que la persona que utilice el sorotaku va a estar a favor del ábaco o la calculadora digital, basado en la educación matemática a la cual se le haya dado en el aula de clase.




    Soroban - All in the Mind
    video via [Gilderer007]

     La idea detrás del soroban es el de entrenar mentalmente a los alumnos en los cálculos mentales hasta llegar a un nivel tal que, con solo ver en segundos dos o tres cifras, puedan visualizar el soroban y hacer cómputos en segundos. Por otro lado, las calculadoras que traen adjuntas las sorotaku son básicas (para aritmética), las cuales, a lo más, se utilizaron para convertir fracciones a decimales o hallar raíces cuadradas no-perfectas.

    Si visualizamos más allá de la mera redundancia, el sorotaku mezcla a la pareja dispareja de la computación aritmética: mientras que el soroban insta a los alumnos a que calculen mentalmente cifras grandes en segundos (tras ser entrenados y dominado su uso físico), la calculadora digital suele crear sobredependencia para el más simple cómputo. Con todo y eso, quiero una.