Resolver problemas verbales, ¿un arte que pocos cultivan? (Parte II)

Varios factores contribuyen al "odio" que los alumnos le tienen al resolver problemas matemáticos narrados, los comúnmente conocidos como problemas verbales. En la primera parte discutimos como la aversión a dichos problemas sea debido a la ínfima cantidad de problemas que resuelven en su historial académico, dando paso a estudiantes pasivos en razonamiento lógico, reto y rigor matemático; o, de ser activos, una pobre preparación de parte del maestro.

Honestamente hablando la solución de problemas verbales es un tema poco tocado en el aula de clases. Por experiencia propia les puedo contar que la cantidad de problemas verbales (situaciones presentadas en narrativa) que observé dentro de las clases de álgebra y geometría fueron pocas; con el enfoque directo en el proceso enseñanza-aprendizaje de los conceptos discutidos mediante ejercicios.

¿Qué podemos hacer para aliviar la situación?


Primero, el docente, en su rol como estudiante eterno, debe ser un solucionador de problemas verbales activo. De que vale tirar un problema verbal en un examen si nunca los presenta ni ofrece en la clase, Un maestro que está constantemente haciendo en sus ratos libres problemas verbales, va a estar más preparado a integrarlos a sus planes diarios, un ejemplo o dos de análisis de situación.

Segundo, en su rol de liderazgo en el aula, es su deber tener una actitud positiva hacia la solución de problemas verbales y transmitirla a sus alumnos. La causa para que centenares de estudiantes esten lamentandose en la existencia de los problemas verbales puede ser en parte a que el maestro no quiera verlos ni en pintura. El docente debe crear una atmósfera que conduzca al éxito, donde presente la solución de problemas como una ventura excitante, divertida e importante en su desarrollo como seres pensantes. Recuerde, sus acciones dentro del aula lo delatan. Es por eso que debe moldearlas.

Tercero, dejamos algunas recomendaciones, traducidas de la Edición para Maestros de Addison-Wesley Algebra and Trigonometry (1994), que pueden llevar a una aula productiva en la solución de situaciones matemáticas verbales:

• Únase con los alumnos en la experiencia, explorando junto a ellos la situación presentada. Piense en voz alta mientras examina y resuelve. Encomie a los estudiantes a que lo hagan también.

• Demuestre que la solución de problemas es una experiencia diaria mediante la creación de problemas basados en las situaciones de sus alumnos. También que los mismos estudiantres escriban sus problemas.

• De utilizar un libro de texto, personalizar los problemas con elementos locales y los nombres de los estudiantes.

• Reconozca y reenfuerce la voluntad y la perseverancia.

• Recompense a aquellos que toman riesgos.

• Encomie a los estudiantes a utilizar corazonadas y acepte soluciones inusuales.

• Enfatice la persistencia y creatividad sobre la velocidad.

• Haga que los estudiantes analicen sus soluciones; y muestre que la verificación e interpretación son parte del proceso de solución. Además que escriban explicaciónes de como llegaron a esa conclusión.

•  Integre información sobre inventos y noticias como ejemplos solución de problemas en la rutina diaria.

Ahora, lea el siguiente problema verbal (presione la imagen):

El acercamiento para resolver el problema  se hace en cuatro fases (las cuales expliqué brevemente en la Parte I):

• Resumir: Sacar en síntesis los detalles de relevancia del problema (datos explícitos e implícitos), entendiendo la cuestión que se nos pide; preferiblemente en sus propias palabras.

• Plantea: Delinear la(s) estrategia(s) a utilizar para resolver el problema:
• Escribir una ecuación / inecuación
• Dibujar una diagrama
• Tanteo
• Encontrar un patrón / secuencia
• Hacer una tabla
• Resolver por secciones / resolver un problema más fácil
• Trabajar en reversa
• Utilizar el razonamiento lógico

• Resuelve: Ya escogida y expuesta la estrategia, muestras los pasos y procesos utilizados hacia la solución.

• Contesta: Tras verificación e interpretación, presentas la solución en oración completa y con las unidades de medidas correspondientes (de tenerlas)

Veamos una de las posibles rutas hacia la solución.

Recuerde que el problema no termina en dar la contestación correcta. Este es el comienzo para que discuta otras estrategias que hayan utilizado otros alumnos, la creación de problemas derivados del resultado, o la exploración de un tema nuevo.

En fín, si los maestros ponemos actitudes positivas hacia la solución de problemas e intentamos convertirlo de una actividad pasiva a una activa, podremos cambiar las actitudes que los estudiantes tienen hacia éstas; de esta manera cultivando la semilla del reto, razonamiento y análisi matemático.

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Sentido común vs análisis matemático

¿Cree poder hallar en menos de 10 segundos la cantidad de regiones que formarían seis puntos unidos?

En el texto de Geometría de la Serie Matemática Moderna se nos presenta esta situación para que el alumno pueda ver como el sentido común (la primera intuición que la persona tiene hacia un problema, muchas veces de facil solución) nos puede traicionar y darnos una respuesta incorrecta.

El alumno que se va por el sentido común notará al instante que existe un patrón multiplicativo en la cantida de regiones formadas: 2^(n - 1); por tanto diciendo que seis puntos unidos dentro de un círculo formarán 32 (2^5) regiones. Pero al analizar más allá de cómputos y concentrándonos en la hacer la figura, notarán que no formaría dicha cantidad. Y como no especifica si el hexagono formado es regular o irregular, existirían dos soluciones diferentes.

Eso sí, la única forma que pudiese sacarlo en 10 segundos por sentido común correctamente es que supiese de antemano sobre grafos completos de n vértices y la fórmula para sacar la cantidad de aristas formadas, la cual es la misma fórmula de Gauss utilizó para sumar números consecutivos cuando tenía 6 años.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Resolver problemas verbales, ¿un arte que pocos cultivan? (Parte I)

Durante toda la semana, se ha rondado en las redes sociales una imagen similar a la que presento arriba, donde generalizan al problema verbal de matemáticas como una inentendible verborrea donde lo que relata y la respuesta no tiene nada en común con la pregunta principal y la información provista.

Entonces, ¿a que se debe esta reacción negativa a la matemática narrativa?

Una de las varias razones para que ocurra semejante hecho es debido a que existen muchos alumnos que durante el transcurso del año escolar solucionan una ínfima cantidad de problemas verbales. Así, cuando le ponen un problema verbal de frente, se paniquean. Se agrava la situación cuando la preparación que ofrece el docente para resolver dichos problemas es una paupérrima, sin rigor, razonamiento y/o reto matemático. Estudiantes que se les hace dificultoso los problemas verbales matemáticos piensan que todos los datos están presentes en la información; y vaticinan que el resultado puede ser sacado por sentido común, mediante el machacamiento de cómputos. Pero más importante, no pueden traducir la información del lenguaje hablado a la matemática. Es el arte matemático que pocos dominan y muchos evitan cultivar.

Si Joaquín Monserrat "Pacheco", eterno presentador infantil de Puerto Rico, natural de Barcelona, estuviese con nosotros, daría el consejo de la imagen para todo atleta, sea deportivo y/o académico.

• Resolver problemas verbales toma bastante práctica, ya que debes construir la habilidad de reconocer lo que pide el problema, datos explícitos e implícitos, y conocimiento previo que hagan conectar la información provista con una solución. 

• Recuerda: Resume la situación presentada, Plantea tu estrategia de solución, Resuélvelo con todos los pasos lógicos y Contéstalo en oración completa. 

• Debes estar activamente resolviendo acertijos y problemas, acrecentando el rigor y nivel de razonamiento y análisis lógico, crítico y matemático de vez en cuando.  

• Acuérdate que, como los atletas olímpicos, dominar una destreza toma tiempo y esfuerzo.  

• No te desanimes ni te rindas si no te sale el problema. Hasta los mismos matemáticos se han tardado años en resolver problemas. Si se te hace dificil hallar la solución de un problema, descansa tu cerebro un rato y ten un momento de ocio. Quizás la solución salga cuando menos lo esperas.

Éste sería el grano de arena que debe aportar el alumno para un mejor desempeño en la resolución de problemas verbales matemáticos; ya que el maestro trae consigo éstas y otras responsabilidades; las cuales hablaremos en la segunda parte.

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Selección de problemas Copa Eugene Francis (soluciones)

Lo prometido es deuda. En la última entrada les expliqué los pormenores de la Copa Eugene Francis, y les presenté éstos problemas que han sido  parte de la competencia en ediciones pasadas; donde el reto es hacerlo en el tiempo estipulado con solamente lápiz, papel, conocimiento adquirido y razonamiento lógico (SIN ningúna ayuda electrónica). Bajo cada problema encontrarán la solución de cada una.

[Solución]

[Solución]

[Solución]

[Solución]

[Solución]

Claro está agradecer a la AEMCC por el ímpetú en desarrollar este concepto; y a los profesores del departamento de Ciencias Matemáticas del UPR-RUM, quiénes cooperan en la elaboración de éstos problemas y donan de su tiempo para ser jueces. Sin ellos, no sería posible celebrar cada año la Copa.

La aritmética de Plutón

(Problema #2 de la XIX Copa Eugene Francis, celebrada el 7 de mayo del 2011 en el Recinto Universitario de Mayagüez)

Los habitantes de Plutón usan los mismos operadores matemáticos que nosotros ( +, -, etc.). Ellos además usan un operador, @, que nosotros no conocemos.


Las siguientes son ciertas para cualesquiera números reales x, y:

Entonces, ¿cuál es el valor de 12 @ 5?

[Solución]

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

La herencia del millonario

(Problema #2 de la XX Copa Eugene Francis, celebrada el pasado 21 de abril del 2012 en el Recinto Universitario de Mayagüez)

El testamento de un millonario lee: "Le dejo 4/17 de mi fortuna a mi hijo, 7/13 del restante a mi esposa, 2/3 de este nuevo restante a mi hija y los restantes $2,000,000 a mi perro". ¿Cuánto era el total de dinero de la herencia?

[Solución]

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Los (problemas) cogebobos

Se les llama cogebobos a aquellos acertijos y problemas verbales donde las personas tienen que analizar más las palabras y frases usadas que los datos cuantitativos de la pregunta para poder hallar la respuesta. Comúnmente parte de los retos matemáticos, son puestos para verificar cuán apto está la persona en el pensamiento lógico y crtítico, una reflexión cognitiva.

En otras ocasiones, hemos presentado y discutido esta clase de problemas (aquí, aquí), pero volveremos a hacerlo una vez más debido a que quiero que vean como pueden descifrar y resolver los cogebobos.

1. ¿Cuantos sellos de 3 centavos hay en una docena?

Solución: La primera intuición de algunos los pondría a dividir 12 entre 3, mientras que otros observarán que los tres centavos es el valor monetario de los sellos, una mera descripción.

Respuesta: 12 sellos.  

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2. ¿Cuántos metros cúbicos de arena hay en un hoyo de 3 metros de largo, 4 metros de ancho, y 5 metros  de altura?

Solución: El detalle está en las palabras y metas de la pregunta: Nos esta pidiendo hallar la cantidad de metros cúbicos de arena en un hoyo. Si es un hoyo (un espacio tridimensional de puro aire), entonces la rena es inexistente.

Respuesta:  0 metros cúbicos.

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 3. Científicos observaron como una bacteria se desarrollaba dentro de un platillo. En sus anotaciones decían que cada día la bacteria era el doble de su tamaño anterior, y que se tardó 48 días en cubrir el platillo por completo. De ser así, ¿cuánto se tardó para cubrir la mitad del platillo?

Solución:  Supongamos que la bacteria tiene en el día cero un tamaño 1. Por los datos provistos en el problema, vemos que la bacteria habrá crecido el doble al final de cada día. Para el primer día, la bacteria tendrá tamaño 2, el siguiente un 4 (2²), siguiendo un patrón exponencial hasta que llena el platillo:

Podemos también inferir que si la bacteria crece el doble el día siguiente, entonces tenía la mitad del tamaño el día anterior. De ser así:

Respuesta: Se tardó 47 días para cubrir la mitad del platillo.

Para finalizar: Los cogebobos son llamados así muchas veces porque la gente no se ha acostumbrado a la práctica de resolver problemas verbales, espcialmente aquellos donde el problema está más encerrado en los verbos y frases utilizadas, no en las cantidades numéricas. Uno como maestro es deber el inculcarle a sus estudiantes el resolver problemas verbales, ya que esta es parte de la conexión directa de las matemáticas con la vida cotidiana.

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Scientia potentia est

La solución al problema de los Angry Birds

el problema

la solución
via [UltraMaXAtAXX]@Youtube

Angry Birds y trigonometría del movimiento de un proyectil

imagen via [digitizor]

"En el popular juego 'Angry Birds' (refiérase a la Figura 2), para asegurarnos que la ave roja pueda darle al cerdo verde, ¿cuál debería ser el ángulo de lanzamiento (respecto a la línea horizontal) de la resortera, si el tiempo de vuelo es 2.50 segundos?"

Resuelva con cuidado

Hoy les tengo parte de unos problemas verbales que utilicé en la Práctica Docente para que pasen el tiempo. Si quieren pueden poner la solución en los comentarios abajo.

1. ¿Cuál es el resultado de dividir 50 por ½ y sumarle 20?
2. Si tomas 4 de 6 manzanas, ¿cuántas tienes?
3. Si cada hombre se come una manzana en medio minuto, ¿cuántos hombres hacen falta para comer 30 manzanas en 15 minutos?
4. En una familia hay 8 hermanas. Cada una tiene 1 hermano. Si se incluyen la madre y el padre, ¿cuántas personas hay en la familia?
5. ¿Cuántos sellos de 3 centavos hay en una docena?
6. ¿Cuántos metros cúbicos de arena hay en un hoyo de 5 metros de largo, 4 metros de ancho, y 3 metros de hondo?
7. Cinco números naturales al sumarlos dan como total a 15 y al multiplicarlos da 120. ¿cuáles son?
8. ¿Qué número en inglés tiene la misma cantidad de letras que el número que expresa?
9. ¿Cuál es la cantidad mínima de cortes que necesita el panadero para repartir una torta cilíndrica en 8 pedazos iguales?

Super Mario y la continuidad

A la hora de preparar los ejercicios que les vamos a ofrecer a los estudiantes, debemos tener en cuenta el nivel de dificultad que queremos que ellos dominen, la cantidad de ítemes, y si hay problemas verbales, el elemento de poder aplicar el tema a una situación donde los estudiantes no se fijan que hay razonamiento lógico-matemático envuelto, como los videojuegos.

Muchos fuimos los que jugamos los juegos de Nintendo y nunca nos fijamos que la trayectoria de ese regordete fontanero italiano es una compuesta de funciones por partes. Parece que un profesor si se fijó y la adaptó para su clase. El problema dice:

"Mario está corriendo y saltando hacia la derecha del primer nivel de Super Mario World. Cuando su posición horizontal es x, su altura h(x) es dada por la siguiente conjunto de funciones:

Prueba que el recorrido de Mario es contínuo en el intervalo [0, 9]. En otras palabras, verifique que la función h(x) es contínua en x = 3, 4, y 6"

Estos problemas son los que hacen al estudiante pensar como rayos está la matemática ahí, para luego tratar de contestar. Además, es un buen tema de conversación.

Cuando hacer cómputos no es suficiente

Uno de los deberes de enseñar matemáticas a nivel superior es el adaptar al estudiante a un razonamiento más amplio y fuera de lo que vea directamente en el papel, que use la lógica y la intuición en dichos problemas y que tome decisiones de la acción a ejecutar previo a machacar números en el papel mediante la computación de la solución. Tengan este problema verbal de tres estrellas como prueba de lo dicho:

Problema (Traducción): "Le tomó a Marie 10 minutos para serruchar un tablón en 2 pedazos. Si ella trabaja con la misma velocidad, ¿cuánto le tomaría a ella serruchar otro tablón en 3 pedazos?"

Solución: El acercamiento que debemos tener al problema es más lógico y no computacional (por eso las tres estrellas). Se le está dando a Marie un nuevo tablón para que cotre en tres pedazos y que trabajará a la misma velocidad, cortando el tablón completamente a los 10 minutos, dejando dos pedazos. Repite el mismo procedimiento con uno de los pedazos (podemos decir que hace lo mismo que el tablón original, pero con uno más pequeño)

¿Qué nos queda al final? Marie cortó los tres pedazos en veinte minutos.

Creo que una representación grafica de la explicación, lo cual recomiendo que los estudiantes hagan, puede explicar mejor y sin enredos, la ejecución de Marie.

Reexplicando: a los cero minutos, Marie ya marcó por donde iba a cortar el tablón nuevo. Empieza a cortarlo hasta que lo logra a los diez minutos, donde marca uno de los pedazos, para repetir el procedimiento, a la misma velocidad, partiéndolo en otros dos en la marca de veinte minutos, resultando en tres tablones.

Si tradujeramos el problema a una extensión de cómputos matemáticos sería convertir el tiempo de Marie en una fórmula:

t = 10(n-1)

donde t es el tiempo total que se tardaría Marie cotrando n cantidad de tablones, sabiendo que se tarda 10 minutos por partir pedazo en dos.

Veamos otro problema, esta vez uno que tuve que resolver para la clase de Metodología Matemática:

Problema: Lo han enviado por agua al río con dos baldes sin marca alguna, cuya capacidad es de 7 galones y 3 galones, respectivamente. ¿Cómo puede llevar exactamente 5 galones de agua a casa?

Solución: Es posible con los baldes de siete y tres galones llevar exactamente cinco galones a su casa si sigue los siguientes pasos (en negrilla)

1. Llega al río con los baldes vacíos.
2. Llena el balde de 7 galones (B7G) por completo.
3. Vierta el agua del B7G en el balde de 3 galones (B3G) hasta llenarlo. De esta forma nos quedamos con 4 en el B7G.
4. Vacía los contenidos del B3G.
5. Repita el paso 3. Esta vez nos quedamos con un galón de agua en el B7G y con tres galones en B3G.
6. Repita el paso 4.
7. Repita el paso 3. Ahora el B7G está vacío y el B3G tiene un galón.
8. Repita el paso 2.
9. Repita el paso 3. Como el el B3G tenemos ya un galón, del B7G solamente necesitamos 2. Como el B7G está lleno por completo (7 galones), al vertir los dos galones al B3G, el B7G se queda con 5 galones.
10. Repita el paso 4.
    

Explicación gráfica de los pasos:

En el problema de arriba no se requirió computación más allá de suma y resta de primer grado para solucionarlo, . Ahora, tenemos que empezar a darle espacio a problemas verbales de este calibre en el aula de clases, que los ayude a progresar en el razonamiento y pensamiento crítico. El estudiante no se puede quedar cegado por toda la vida machacando una calculadora, sino crear personas que puedan determinar si lo apropiado sin precipitarse de inmediato.