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Sunday, December 2, 2012

Avisos, consejos y hallazgos al finalizar el semestre (RLFB 38)


    • El relato de éste enlace lo pude comprobar hace mes y medio atrás.

Tuesday, June 26, 2012

Un surtido de imágenes aleatorias (RLFB 32)

  • Estaba verificando los clasificados digitales en busqueda de ofertas en libros, cuando veo éste ejemplar de libro de Geometría; ya que por fín utilizan otra estructura puertorriqueña en la portada, el Coliseo de Puerto Rico José Miguel Agrelot (El Choliseo). ¿Qué te parece Cholito, qué te parece?


  • Ésta es una página de Peak Mathematics (1981) para pimera año de primaria en el Reino Unido. Fíjese que están introduciendo las figuras planas mediante el uso de los teselados.




  • Este grupo de criaturas matemáticas fueron hechas basándose en una aportación al mundo matemático, nombrándolas de acuerdo a sus creadores. Por ejemplo: Cantor es un aleph (la letra que compone la más grande teoría de Georg Cantor); Cartesio es un plano cartesiano (Descartes); Tartaglia es el valor numérico del número imaginario i, etc. imagen via [Chistes Matemáticos]


  • Con un marco para retratos con un vidrio/plástico y papeles de diversos colores puedes hacer una pizarra pequeña para marcadores, la cual sale muchísimo más barata comparado con las que te venden en los school/office supply. imagen via [mrskaaay]@Tumblr


  • El reto geométrico de Link. imagen via [thesocket]


  • Crisantemo + dodecaedro: Natural Math II por Jenny Beard


  • Para finalizar, una de las varias ilustraciones que hizo Tad Krumeich para Matemática de Silver Burdett. Me agrada debido a que la visualizo como decoración para aula de primaria.

Saturday, June 23, 2012

Sobre los baticírculos

Ayer en la noche estaba pensando sobre cual sería el tamaño de cada uno de los cinco círculos y dos elipses que forman la insignia de Batman. Tras un poco de observación de la imagen final, pude deducirlos:


El círculo más pequeño lo pusimos como el círculo de diámetro b para así compararlo com los otras dos variantes. La única diferencia se encuentra en las elipses, ya que ambas rotan 30°, pero en diferentes direcciones. Al final, queda así. Recuderda que debes juntarlos un poquito.


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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Scientia.

Friday, June 22, 2012

Como construir el logo de Batman con solamente círculos y elipses (o Diagramas de Venn)

Partiendo de dos Diagramas de Venn frikis de cultura popular, se puede elaborar el logo del superhéroe sin poderes salvo la lógica detectivesca y la fuerza humana, el Caballero Oscuro, Batman.







Solamente traza las curvas de los círculos como ve arriba y conecte.
imágenes via [Imgur]

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Scientia.

Thursday, June 14, 2012

Reciclando e inventando matemáticamente (RLFB 31)

  • via [Neon Pi]: Esta ventana ovalada tiene como diseño integrado al rectángulo aúreo, junto con las espiral Fibonacci.




  • via [biohazard9658]: una calculadora, cuya cubierta está hecha de cartón, integrada a una libreta (cuaderno). Yo he visto este tipo de calculadoras y la mayoría están hechas de cartón reciclado.

 imagen via [xelazine]

  • ¿Qué Pitágoras era un asesino que le tenía fobia a las habichuelas? Conozca el porqué; y cómo se demostraba que la hipotenusa de dos catetos de longitud uno era irracional al estilo geométrico en el más reciente video de Vi Hart.

Tuesday, June 12, 2012

Ferretería Matemática: El círculo y sus componentes

El círculo no tendrá lados, pero tiene su propio conjunto de componentes, como el radio y la cuerda.



Definiciones:
  • círculo - una figura formada por todos los puntos en un plano equidistantes de un punto llamado centro.
  • cuerda - un segmento con sus extremos sobre el círculo.
  • diámetro - cuerda que pasa por el medio del círculo.
  • recta tangente - recta que interseca solamente un punto del círculo.
  • recta secante -  interseca dos puntos del círculo.
  • radio - es un segmento que va del centro del cículo a uno de los puntos del círculo.
  • ángulo central - ángulo cuyo vértice es el centro del círculo.
  • arco - parte de un círculo.
  • sector - región comprendida de un arco y dos radios.

Sunday, June 10, 2012

Exploración esférica experimental

Al presentar áreas y volúmenes de figuras planas y del espacio, la mayoría de las veces soltamos al instante la fórmula, sin darles al alumno las razones del porqué esa combinación de variables da como conclusión el área o volumen.

Éxito en las matemáticas 8 (1982) presenta dos oportunidades para reanimar el entusiasmo matemático sin memorización inmediata de fórmulas; con experimentos de exploración donde observarán como salen tanto el área de la superficie y el volumen de una esfera:

Área de la superficie de una esfera:

Con una cuerda una pelota y un alfiler o clavo, haces éstos tres pasos:


Recuerda que una de las mitades de la pelota es para el segundo paso y la otra para el tercero. Se espera que, de haber cortado la pelota por la misma mitad, el largo del cordel que se envolvió alrededor de la region circular sea la mitad del largo del cordel envuelto alrededor del hemisferio. De ahí llegamos a las conclusiones.

Volumen de una esfera:

El experimento para conocer la fórmula del volumen de una esfera es una adaptación de la actividad clásica para hallar el volumen de un sólido al sumergirlo en una probeta. En esta ocasión se debe utilizar un cilindro cuya altura sea igual a su diámetro de su base circular y al diámetro de la pelota. Entonces se siguen éstos pasos (colocando una bandeja debajo del cilindro para recoger el agua):


Se espera que una tercera parte del líquido se quede dentro del cilindro, de tal manera que la esfera es dos terceras partes el volumen del cilindro.

El volumen del cilindro  es πr²h, el de la esfera es (2/3)πr²h.  Sustituyendo h con 2r, obtendremos el volumen de la esfera.


El segundo experimento lo veo especialmente útil, ya que en octavo grado tradicionalmente se ofrece la actividad de volumen en la clase de Ciencias Físicas; de tal manera implementar una buena integración curricular.

Tuesday, May 22, 2012

La demostración geométrica de un producto de Cauchy

(1 - 1 + 1 - 1 + ...)² = 1 - 2 + 3 - 4 +...

imagen via [The Math Kid]

La mejor demostración es aquella que puede ser visualizada, como las sumatorias demostradas por geometría que presentamos hace dos Carnavales atrás. De esta manera podemos atraer más personas al lado demostrativo, el lado menos visto de las matemáticas.

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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Saturday, April 28, 2012

Sobre la Copa Eugene Francis

Organizada por la Asociación de Estudiantes de Matemática y Ciencias de Cómputos (AEMCC) de la Universidad de Puerto Rico - Recinto Universitario de Mayagüez, la Copa Eugene Francis es una competencia de matemáticas en equipo, dedicada al Dr. Eugene Francis, quien fuese profesor y director del Departamento de Ciencias Matemáticas y uno de los grandes baluartes que ha tenido la UPR-RUM.

Las reglas:
  • Pueden participar alumnos a nivel superior tanto de escuelas públicas y privadas de Puerto Rico.
  • Cada escuela tiene la opción de enviar, a lo más, dos (2) equipos de tres (3) estudiantes con un suplente.
  • La competencia consiste en resolver diez (10) problemas de diversos temas (geometría, álgebra, estadística, trigonometría, etc.) cuya duración son entre los 2 y 8 minutos cada uno. Cada problema tendrá un valor de diez (10) puntos.
  • Se les entrega a cada integrante del equipo el problema a completar. Después de terminar el tiempo de cada problema, tienen 30 segundos para decidir cuál de los papeles van a entregar para que los jueces corrijan.
  • Aquél equipo que tenga la mayor puntuación al final del décimo problema será el ganador de la Copa. de haber empate, se hacen problemas de desempate.

Algunos problemas de pasados años:

En la Copa Eugene Francis no se permite utilizar calculadoras ni cualquier otro aditamento electrónico, solamente lápiz, papel, y mente. Con estas condiciones le presento esta selección de problemas de las ediciones 17 (2008), 18 (2009), y 19 (2011). El reto mayor es poder hacerlo correctamente en el tiempo estipulado (en rojo). El lunes publicaré las soluciones.






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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Un examen de geometría analítica de 1891


imagen via [cowboy-robot]

Esta evaluación de los Regents de Nueva York para 1891, de tres horas de duración, debía pasarse con 75% o más de aprobación.

Verán que hay tanto preguntas teóricas (memorísticas y demostrativas) como prácticas, donde había que explicar bastante y construir toda función (por eso las tres horas).

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog DesEquiLIBROS: Lectura y cultura

Thursday, April 19, 2012

La única forma que 64 sea igual a 65.


Si haces los siguentes cortes a un cuadriculado 8 × 8 podrás cambiar el área de un cuadrado de 64 unidades cuadradas a una de un rectángulo de 65 unidades cuadradas.

Veamos como se crea la ilusión:

Supongamos que, luego de cortar el cuadrado en dos triángulos y los dos trapezoides, seleccionemos uno de cada uno y hallemos su área por pieza y su área total:

A (triángulo rectángulo pequeño) = ½ × 8 × 3 = 24 / 2 = 12 u²

A (trapeziode) = [(3 + 5) / 2] × 5 = 4 × 5 = 20 u²

A (total) = A (triángulo) + A (trapezoide) = 12 + 20 = 32 u²

Ahora, juntamos las piezas para formar un triángulo rectángulo con base 13 y altura 5. Hallemos su área:

A (triángulo rect. grande) = ½ × 13 × 5 = 65 / 2 = 32.5 u²

Es ese margen de error de 0.5 en ese triángulo rectángulo la causante de que un cuadrado de 64 u² sea igual a un rectángulo de 65 u².

Saturday, April 7, 2012

Una forma interesante de enseñar las transformaciones geométricas

Vea como este libro de geometría explica rotación y reflexión.



El estudiante, al intentar leer el texto explicando los conceptos, tendrá que crear un centro de rotación (al mover el libro) o hacer una reflexión de la imagen original con un espejo. Y luego dicen que los libros interactivos es algo de reciente incursión.

Tuesday, March 20, 2012

Como saqué tres planes de la manga: dados con potencia, medición del tangram, y triángulos cartesianos

Era la noche del viernes 9 de marzo y todavía estaba tratando de buscar la manera de que pudiera dar cuatro horas consecutivas de tutorías a un grupo de estudiantes de séptimo grado sin que se empezaran a inquietar y pelear entre sí. Las pasadas seis semanas han sido causa de frustración por esa razón y la supervisora ya me había indicado que calmara el grupo, ya que hacían mucho escándalo, lo cual traía más presión al asunto. Son esas condiciones las que me hacen más creativo todavía.

Haciendo una búsqueda por mi cuarto encontré mis dados que saqué de un juego de role-play. Tomé dos y los utilicé para crear una actividad sobre exploración de potencias:

Un dado de 12 caras servía como la base y uno de 10 caras, donde contenía un 0, servía como exponente. Luego de que los alumnos arrojaban los dados, tenían que completar una tabla con lo siguiente:
  1. La potencia
  2. La notación multiplicativa de la potencia
  3. La base de la potencia.
  4. El exponente de la potencia.
  5. El valor numérico de la potencia
Tenían que hacer 4 tiradas, con dos de ellas asumiendo casos especiales: que la base era negativa y otra donde la base era el decimal 0.base. Luego de haberlo entendido, pasaban al cuaderno y ompletaban otra tabla igual, pero llenando los espacios en blanco.

Interesante por demás es que podíamos sacar todas las leyes de los exponentes, pero me desistí porque había puesto a los estudiantes en grupos de 2 y que los rotaba de actividad en actividad al pasar la hora.

La segunda actividad que presenté no fué idea mía, sino de mi maestra consejera cuando estaba en la práctica docente, la Sra. Ramos. Se trataba de armar una figura utilizando el rompecabezas chino, mejor conocido como el tangram y trazarla en un papel provisto.

Seguido, medían las longitudes de la figura plana para hallar su perímetro, aproximando toda medida al entero más cercano. De igual manera, trazaban y medían cada pieza del tangram por separado, para hallar el área total de la figura:
Si fuésemos a hallar el área total con las medidas exactas, la suma de las áreas de los dos triángulos isósceles grandes debería ser igual al área total de las otras cinco piezas; pero para probar que no importase la figura que formaran, al descomponer la figura en formas reconocibles de hallar su área debe dar al mismo resultado, las aproximamos.

Finalmente, quería un ejercicio de investigación y observación geométrica. Combiné el hallar puntos en el plano cartesiano con las clasificación de triángulos por longitud de lados y por ángulos.


Hallaban tres puntos en el plano, los conectaban y medían para clasificar por longitud, mientras que asumían cuál triángulo era por la medida de los ángulos, Luego completaban ejercicios del cuaderno, indluyendo un pareo de definiciones.

Este trio de planes de tutoría me salió de maravilla, ya que pude mantenerlos trabajando por el tiempo establecido sin muchas interrupciones. El truco en esto es sacar todas las ideas, materiales, y manipulativos para ver que te puede funcionar.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Monday, March 19, 2012

Demostraciones geométricas de sumatorias

Cuando pienso en demostrar sumatorias regresan a mi mente los día del método de inducción, donde hacías tres procedimientos. Dado una sumatoria de una expresión, con valores k = 1 a n:
  • Evaluabas la expresión en k = 1 [f(1)]
  • De f(1) ser cierta, Asumias que la sumatoria era cierta. En otras palabras, evaluabas la expresión en n. [f(n)]
  • Para terminar la demostración, verificabas si f(n + 1) = f(n) + f(1). Si podías separarlo con éxito, entonces demostraste por inducción.
Ahora bien, existe un método geométrico para demostrar varias sumatorias conocidas. No es tan formal como el anterior, pero en una sola imagen podrán observar la solución de la sumatoria.

Primero que nada, veamos uno de los ejemplos clásicos de matemáticas, uno que descifró el pequeño Gauss: la suma de números consecutivos:

En el rectángulo de largo n + 1 y ancho n, podrán ver que en forma escalonada, aparece un punto más que en la fila anterior, quitándole un espacio vacío. Al final solo la mitad del rectángulo está lleno de puntos, siendo esta cantidad la sumatoria de n números consecutivos.

De sumar solamente los números impares de 1 a 2n - 1, obtendrán el cuadrado de n. En el cuadrado de arriba, se detuvieron en k = 8.

También se puede dar el caso de la sumatoria de potencias en la forma 1 / (p^k), donde:

Aquí los primeros tres valores para p: 2, 3, 4.



Opinión: Cuando toquen el tema de series y sucesiones en las clases de precálculo, se debe suplementar la enseñanza del método formal y computacional de las demostraciones con un método gráfico-geométrico, de ser posible; especialmente con esta nueva cepa de estudiantes que son más aptos a la enseñanza visual.
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Demostraciones visuales: via [bloodredonion]

Referencia:
Nelsen, R. B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.
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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Thursday, February 9, 2012

Grandes novelas trágicas de amor matemático (II) (SVM III: 6/14)


Las rectas paralelas
Dos personas, con los mismos gustos e intereses, nunca se podrán conocer debido a estar en rutas separadas. Nunca se cruzarán y vivirán desoladas por la eternidad.

Wednesday, February 8, 2012

Grandes novelas trágicas de amor matemático (I) (SVM III: 4/14)


El punto tangente
La única vez que pudieron encontrarse físicamente fue intensa; pero a la misma vez, su última.

Thursday, December 22, 2011

La leyenda de Zeldinski

La primera iteración para formar el triángulo de Sierpinski se ha conocido por 25 años como la trifuerza (Triforce), de la serie de juegos de Nintendo La Leyenda de Zelda. Cada uno de los triángulos significa algo que necesitamos a la hora de tomar por las riendas a las matemáticas: poder, sabiduría, y valor; donde dependiendo del armamento que tengamos podemos vencer al más Ganondorf de las tareas.
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Veamos el ejercicio de arriba, la caul inspiró a que el estudiante dibujara a Link:
"Un triángulo equilátero es originalmente pintado de negro. En cada ocasión que el triángulo era retocado una cuarta parte de cada triángulo negro cambia a un triángulo blanco, colocada al centro. Despues de cinco cambios, ¿qué fracción del área del triángulo negro original queda negra al final?"
Como todo problema, utilizamos el acercamiento más preciso para resolverlo. Si nos ponemos a dibujar cada uno de los cambios, se nos va la hora de la clase sin encontrar una solución. Así que tendremos que hallar un patrón dado la información provista:
  • Suponemos que el área del triángulo equilátero original (todo negro), al no tener cantidad dada, sea igual a 1.
  • Después del primer cambio, una cuarta parte del triángulo fue retocado de blanco.  Por tanto, el área del triángulo que es de color negro se reduce a 3 / 4.
  • Con cada cambio que ocurra, donde haya un triángulo negro, se cubre una cuarta parte con un triángulo blanco.
  •  En la figura vemos como la cantidad de triángulos negros crece exponencialmente de cambio en cambio (3ⁿ, n = cambio). O sea, que después del primer cambio hay 3 triángulos negros, 9 en el segundo, y así hasta que en el quinto cambio tendremos 243 (3^5) triángulos negros.
Para sacar el denominador: Cada trifuerza nueva tras un cambio tendrá un área blanca de 1 / 4ⁿ (n = cambio), por tanto el área negra de la trifuerza tras cambio número n sería de 3 / 4ⁿ .

Entonces, para sacar el numerador y por ende, la parte fraccionaria negra del triángulo de Sierpinski:
  1.  Para el quinto cambio, el área negra de cada trifuerza será 3 / 1024

  2. Como hay 243 triángulos negros en todo el triángulo de Sierpinski en el quinto cambio, el área negra de TODO el triángulo sería 243 / 1024.

  3. Por tanto, el área negra del triángulo de Sierpinski para n cambios es igual a la 3ⁿ/4ⁿ parte del área del triángulo original. 
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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Que no te aburran las m@tes

Tuesday, December 20, 2011

Ferretería Matemática: Del cuadrado al tangrama

Basado en experiencias previas dentro del salón de clase, en ninguna ocasión me dijeron de donde salían las partes que componían el rompecabezas chino que llamamos tangrama. Los maestros nos entregaban una plantilla con las piezas marcadas para recortar y hacer otra copia exacta para hacer el avalúo.  Era eso o ya las tenían recortadas con fomi.

Creo que si demostramos como se crea el tangrama en la escuela, sería una buena actividad donde los estudiantes mismos exploren que, con unos cuantos dobleces y recortes, pueden hallar las siete piezas.


Lo único que el maestro tendría que hacer es recortar los papeles para que sean cuadrados n × n. Así podría entregarle a cada estudiante cuadrados de diferentes áreas y así economizar papel.  Recomiendo que el mínimo sean (3 × 3) pulg² (7.5 × 7.5 cm²).


 El primer paso es doblar el cuadrado de punta a punta (doblez diagonal) y recorta.


Dobla uno de los triángulos por su eje de simetría y recorta, para así obtener las primeras dos piezas, las más grandes.


Con la otra mitad del cuadrado hacemos lo siguiente: Llevamos la punta al borde, formando un trapecio. Acto seguido, usando el doblez como guía, formamos un triángulo rectángulo y lo doblamos al lado opuesto. Ya hecho, cortamos nuestra tercera figura.


El trapecio restante se dobla por el eje de simetría; y usándola como guía, formas el paralelogramo. Cuando desdobles el trapecio y recortes los dobleces, habrás hallado las figuras restantes.


Al final de la actividad el alumno tendrá la capacidad de crear el rompecabezas chino para actividades y/o recreación dentro y fuera de la escuela, con solamente tener a su mano cualquier pedazo de papel y unas tijeras.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Que no te aburran las m@tes