Los doce mitos matemáticos "en arroz y habichuelas" (II)

Continuación de ésta entrada:

Mito #2: La matemática requiere lógica, NO intuición.

Para poder explicar la falsedad del enunciado, tenemos que conocer ambos términos.

• La lógica es la ciencia del razonamiento correcto, donde debes comprobar que una línea de razonamiento, derivada de un conjunto de enunciados llamados premisas, y su conclusión sean válidas; sea mediante la inducción o la deducción. Ambas líneas de pensamiento se estudian a nivel escolar, especialmente en las clases de geometría.

• La intuición es un conocimiento claro, directo, inmediato y evidente, donde se llega a la veracidad sin necesidad de la razón. Esencialmente, es lo primero que te sale de la mente.

La precondición mental de la gente es que la matemática es meramente un proceso racional, y que para todos casos tiene que seguir unos pasos racionales. No nos percatamos que la intuición, cusado por la emoción del momento, la utilizamos a diario. Más aún, no nos hemos fijado que la intuición es el empujón necesario en las matemáticas para comenzar una línea de razonamiento.

Bajo el manto de las matemáticas, la intuición es una destreza que se adquiere tras años de estudio.  

Ejemplo: cuando estamos en la escuela elemental, tu ves 2 + 2 escrito en la pizarra y recitas directamente el número 4. La causa es que el maestro te enseñó que 2 + 2 = 4 es una verdad; por tanto, intuyes esa conclusión.

Al final, dependiendo del conocimiento adquirido, la mayoría de tus primeras ideas hacia un problema verbal muchas veces resultarán en una respuesta correcta.

Mito #3: La matemática no es creativa

Supongamos que en la clase de español te asignen un ensayo argumentativo. Entonces, ¿qué sucede en el proceso para crear esa obra escrita?

1. Trabajas intensamente en hacer el borrador con tus argumentos. Como sabes que la mente se gasta,  descansas y la despejas un rato para más tarde continuar.
2. Cuando haces la revisión, habrán ocasiones donde hallaras descubrimientos que enriquecerán tu ensayo y otras veces verás que tu línea de argumento está incorrecta, la cual puede frustrarte en miles de reescritos y horas perdidas... 
3. ...pero, al final, celebrarás ante el descubrimiento de ese dato que arma todo el rompecabeza, dándolo por demostrado y concluido.

Ahora cambie la palabra ensayo argumentativo por teorema matemático. El proceso que han tenido que hacer grandes matemáticos como Descartes, Leibniz, Gauss, Euler, Pascal, Fermat y Wiles es uno igual al de un ensayo. Como el ensayo argumentativo es un acto de creatividad, y el proceso creativo detrás de los teoremas matemáticos es igual al de los ensayos argumentativos; entonces los teoremas matemáticos son actos de creatividad. Por tanto, la matemática es creativa.

Si las matemáticas no fuesen creativas, no tendríamos teoremas para demostrar, fórmulas para aplicar, ni los mismos símbolos modernos para sumar y restar. Siempre vemos la parte fría y calculadora, pero nunca nos percatamos que la matemática tiene un aspecto humano. Dicho aspecto, converge a un ente creativo imaginativo, intelectual, intuitivo y estético sobre lo correcto de las cosas.

Como ilustra el libro Math Over Mind: "La creatividad es central en las matemáticas como lo es en el arte, la literatura y la música.". La matemática está entre medio de las ciencias y las humanidades haciéndola idónea para utilizar piezas de cada disciplina existente para sus aplicaciones o recreaciones.  Es más, en éste blog podrás ver varias demostraciones de creatividad matemática, como las pequeñas aportaciones que le hice a la multiplicación acortada o los diferentes fondos de pantalla. Tenemos que abrir la ventana creativa de la matemática para que ésta pueda volar libremente y no se quede encerrada en un mundo en tono lógico grisáceo.

Euclides y sus elementos

El punto, la recta y el plano: tres términos indefinidos que dan apertura a la geometría euclidiana, con su organización lineal y deducción lógica, la introducción de nuevos conceptos mediante la presentación de postulados (datos obvios), y la demostración infinita de teoremas con sus lemas y/o corolarios. Ésta es la idea principal de lo que muchos llaman rigor matemático, basado en el método de Euclides.

Pero, ¿está desapareciendo a niveles universitarios? Ya es conocimiento común que a nivel escolar se ha favorecido el uso de datos y procedimientos, muchas veces sin explicaciones claras, pero ya los cursos universitarios están empezando a ser laxos en sus currículos

NJ Wildberger tiene una idea similar: el rigor matemático euclidiano está en decadencia y lo discute en detalle:

MathFoundations 88: The decline of rigour in mathematics

por NJ Wildberger

Finalmente, auto-evalúese un momento: ¿Cuántos cursos del campo de las matemáticas usted tomó donde la secuencia de temas era una lineal, dónde TODO lo demostraban?

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Scientia.

Paradojas a minuto

Una frase que comúnmente usamos es "paradojas de la vida", donde nos cuestionamos, mediante el razonamiento lógico, una duda que tenemos sobre un asunto.

Un ejemplo sería preguntarse: ¿Qué pasaría si Pinocho dice "Mi nariz va a crecer."? Si recuerdan el cuento infantil, al títere de madera le crecía la nariz solamente cuando mentía. Entonces existen dos alternativas a la pregunta:

• A: Le crece la nariz
• De ocurrir: Pinocho dijo la verdad, pero su nariz delata que mintió.

• B: No le crece la nariz
• De ocurrir: Pinocho miente debido a que su nariz no creció.

La paradoja es formada cuando no se puede detectar cual es la falacia (el error en una línea de pensamiento lógico) dentro de la demostración. Tiene un argumento que se escucha lógico y aparenta tener veracidad, pero en realidad hay un paso desconocido que lo contradice completamente.

60-Second Adventures in Thought

via [OUlearn]@Youtube

Open University nos presenta seis cortos animados de aproximadamente un minuto sobre paradojas que influenciaron más allá del campo matemático y científico, sino también en el filosófico. Narrado por el comediante David Mitchell, explica mediante el humor al Hotel infinito de Hilbert; la habitación china; el gato de Schrödinger; la paradoja de los gemelos de Einstein; Aquíles y la tortuga; y la paradoja del abuelo.


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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Ciencia Conjunta

Las realidades y expectativas de un curso de geometría

imagen via [The Math Kid]

Es común pensar que la clase de geometría es solamente conocer las figuras geométricas planas y del espacio y conocer sus perímetros, áreas, y/o volúmenes. La realidad es que un curso de geometría la mayoría de las veces es el primer curso introductorio a las demostraciones formales, donde estudias los métodos de deducción e inducción probando mediante teoremas y postulados; lo cual muchos estudiantes fallan en hacer dicha transición. Es por esto que creo que sería más adecuado nombrar el curso de geometría como Geometría Demostrativa o Geometría Lógica.

El currículo podría comenzar con lógica proposicional y demostraciones (modus ponem, inducción, etc.), para luego comenzar con toda el álgebra, propiedades, postulados, y teoremas de geometría, siempre repasando los métodos de prueba para cada caso en particular (rectas, triángulos, cuadriláteros, círculos, etc.).  El enfoque de un curso de geometría debe ser que el alumno pueda ejecutar un ejercicio formalmente, con orden y secuencia lógica.

Logic Gaga

Parece que Lady Gaga se ha colado al mundo de la lógica proposicional y el razonamiento inductivo y deductivo, cuando queda inmortalizada en un libro:

La fuente donde se encontró la imagen no nos dice el libro donde lo encontró ni el tópico que se estaba cubriendo, pero parece ser que dijeras si el razonamiento expuesto en el enunciado fue deducido o inducio; pero también puede ser un ejercicio para verificar si el enunciado es cierto o falso, cuyo caso sería un p entonces q. De todas maneras, la Gagamanía ha entrado en terreno matemático.

Galería de arte matemático (1)

Aquí varias ilustraciones donde exponen un comentario o idea referente a las matemáticas. Esta va a ser la primera de varias publicaciones.

via [malalegacy]@Tumblr

Golden Rectangle por John Lemasney



Llamas Love Limits
via [artistwritten]@Tumblr



Retro Geometric Design Print por Simon Page

Lil' 7734llraiser por [spacesick]@Flickr

Lógica Proposicional por Cuito Cuanavale

La lógica detras de las decisiones de los estudiantes de la UPR en sus asambleas

En la pasada semana los dos recintos grandes de la Universidad de Puerto Rico celebraron asambleas estudiantiles extraordinarias para ver cual sería su acción a tomar en los temas que ocurren al momento: la pronta implementación de una cuota de 800 dólares para el semestre que se aproxima, el comienzo de un campus abierto, y la acreditación de diez de los once recintos del sistema por parte de la MSCHE. Como siempre ocurre en las asambleas siempre se soplan los vientos de huelgas y paros, en el cual grupos de estudiantes a favor de una universidad abierta dicen que al cerrar portones (irse a huelga) puede no solo quitarnos la acreditación, sino cerrar para siempre la UPR; mientras que los huelguistas dicen lo contrario, que ya han hecho todas las alternativas de protesta posibles y que este es el único que les queda usar.

Como ven, cada estudiante tiene su opinión del asunto, pero es cuando se reunen en asamblea que se toma la decisión como recinto. Toda esta explicación se reduce a dos variables: la cuota y la huelga. la cuota es una variable aparte, mientras que la huelga combina los puntos de los portones y la acreditación. Razón de esto es que los estudiantes mismos han dicho (si/no) cuota / (si/no) huelga.

Ya con esta parte explicada, demosle paso a los resultados de cada una de las asambleas, analizando su ultimatum mediante el uso de la lógica proposicional básica.

Aquí tenemos la del recinto de Rio Piedras: Decidieron en una asamblea llevada a cabo el miércoles primero de diciembre, con menos del 7% de la matricula reunida, que tras la celebración de un paro de dos días (7-8 de diciembre), le dan un utlimatum al presidente de la UPR, José R. de la Torre y la Junta de Síndicos a que desistan de la idea de implantar la cuota antes del 14 de diciembre o UPR-RP se va a una huelga indefinida. La reinterpretación lógica para el argumento sería:

Análisis de los escenarios:

• Escenario #1: ambas ciertas: Es la más probable que ocurra, debido al hecho de tener dos fuerzas que no quieren echar para atrás sus intenciones. La administración no cede, los estudiantes huelguistas tampoco.
• Escenario #2: el evento imposible del grupo. Los huelguistas están ansiosos de cerrar portones y decirle las verdades a la administración. Por tanto, no se van a quedar quietos.
• Escenario #3: Este escenario comienza como el escenario #1 (ambas ciertas), pero la administración cierra la UPR indefinidamente tras comenzar la huelga, por tanto no implementando la cuota.
• Escenario #4: Todo se resuelve antes del 14 de diciembre, evento probable en lo mínimo.
  

Veamos el caso del Recinto Universitario de Mayagüez: El jueves pasado, con un asistencia de casi una tercera parte de los estudiantes, decidieron darle un ultimatum también hasta el 14 de diciembre, pero en ese día se celebrará una segunda asamblea y la enmienda a una resolución que dice que los estudiantes de la UPRM no quieren cuota y tampoco quieren una paralización del sistema, ambas aprobadas por mayoría evidente. O sea, que de no ocurrir cambios en la segunda asamblea, los estudiantes pensaron de ésta forma:

Análisis de escenarios: No hay mucho que explicar, solamente digo que estos eventos no son realistas. Yo quisiera que fueran reales, pero es que son sueños utópicos que son imposibles de realizarse. En otras palabras, la realidad es lo opuesto a lo expuesto:

Demostrado por las leyes de Morgan:

con la siguiente tabla de verdad:

Ahora, quitando la negación que está fuera de c v h, obtendremos la siguiente tabla, la selección entre la cuota o la huelga por parte del estudiantado:

Dicha tabla describe, basando en los comportamientos de ambos bandos (vea el primer escenario en RP), cuatro decisiones que han pasado y que podrían cambiar dentro del periodo de diez días a un mes.

Análisis de los escenarios:

• Escenario #1: No se puede seleccionar ambas, pero puede pasar que la huelga no dé resultados y al final tengamos que pagar la cuota.
  
• Escenario #2: Según los huelguistas, esta fue la decisión de Mayagüez, porque de no seleccionar huelga, estás seleccionando indirectamente la cuota.
  
• Escenario #3: La selección de Rio Piedras en su asamblea.
• Escenario #4: la selección de Mayagüez.

Todas estas predicciones se reducirán el 14 de diciembre. Solamente esperemos que su decisión sea la más razonable al final.

De compras por el Mayagüez Mall

A principios de la semana me dieron mi cheque por haber trabajado en el campamento de verano, del cual mencioné anteriormente. Añadiendo un certificado de regalo para una tienda de ropa, decidí ir al centro comercial del oeste de Puerto Rico, el Mayagúez Mall, localizado en la frontera de mi pueblo (Hormigueros), y el pueblo nombrado anteriormente.

Los preparativos para los Juegos Centroamericanos Mayagüez 2010 han puesto al Mall en un ambiente más concurrido, con anuncios colgados de los techos y pantallas digitales en cada pasillo, haciéndolo lucir modernamente tecnológico en una atmósfera noventosa. Pero esto es La Covacha Matemática, así que hablemos de hallazgos matemáticos en mi visita al Mayagüez Mall.

- Selección inmensamente gratificante en Borders

Desde abril del 2005, Borders ha sido una de las tiendas que ha logrado fomentar la pasión por la lectura de todos. En los últimos años han podido expandir tanto la oferta de textos que me quedo maravillado al ver esa sección dedicada a matemáticas.

Parte de mi colección personal de libros ha sido adquirida allí, incluyendo 50 Mathematical Ideas de Tony Crilly (libro recomendado). Empecé a verificar y encontré varios títulos, los cuales tengo en consideración para una próxima vez:

The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics - por Clifford A. Pickover

Mathematical Puzzles of Sam Loyd - seleccionados por Martin Gardner

Here's Looking at Euclid:A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math - por Alex Bellos

Math Review for Standardized Tests- por Jerry Brobow

100 Great Problems of Elementary Mathematics - por Heinrich Dorrie

Mathematics: From the Birth of Numbers - por Jan Gullberg

Todos estos libros llenan la mente del matemático en distintas formas, tanto recreativamente, históricamente, o como material de estudio. Será para la próxima...

- Libros con conciencia verde

Dentro de un mes, las escuelas públicas y privadas del país retornarán a las clases, significando las ventas "Back to School" van a estar a fuego este julio. ya se ven las libretas favoritas de niños y grandes, como los eternos Peluches (¿ya van para 20 años ?), Jean Book (la libreta/cuaderno de la juventud); y las de personajes como los luchadores de la WWE e IsaTKM, entre otras genéricas. Entre efectos escolares, había un anaquel de productos de Grupo Santillana en el Walmart local. Sobresalía la serie del Proyecto Yabisí, orientada a la educación ambiental, cívic y ética. Unas hojeadas al libro de sexto grado de primaria de matemáticas y encontré expresiones algebraicas y Gauss. Me quedo estupefacto al ver un gran progreso en los textos elementales matemáticos, los han podido regionalizar exitosamente, aunque tenga esos estándares del Departamento de Educación de PR, que son tan cuesta arriba.

- No solamente el cerebro se nutre de sopas de letras y crucigramas...

Regresé a Borders antes de irme. Para cortar camino, pasé por las revistas de belleza y decoración. En la parte de abajo están las revistas de niños, las MAD Magazines, y las revistas de destreza mental. Me gusta que en los últimos años se le ha dado reconocimiento a los libros de acertijos lógicos, no solamente los sudokus, sino los kaguros, de probabilidad, clasificar, observar, identificar entre otros. Con esto digo que las matemáticas en Borders no están solamente en un anaquel identificado. es como buscar los huevos de Pascua.

Con eso decidí compara un libro de acertijos: The Big Book of Brain Games: 1,000 PlayThinks of Art, Mathematics & Science por Ivan Moscovich. Este texto es un rajacerebros de calidad, con acertijos tanto conocidos, como nunca antes vistos con nueve niveles de dificultades, campos variados (lógica, aritmética, ciencia, probabilidad, discreta), y hasta la posibilidad de anotar tu tiempo. Ejemplo de lo que ellos llaman Playthink:

¿Puedes probar que siete es la mitad de doce?

Te muestran solamente 7+7-12? y la pregunta. Al principio creía que se ese siete era el seis como numeral hindu (٦). Pero la solución es en demostración inversa: Tomas el numeral romano de doce (XII) con un corte simétrico horizontal para que la parte de arriba te dé siete (VII).

Recomendación: Un libro como éste es útil para los maestros que quieren dar bonos a sus estudiantes. Altamente recomendable.

Cerrando este viaje al centro comercial, fue uno interesante por demás. Me dio seguridad de que las matemáticas van a ser provistas a aquellos que la necesiten, pero tendrán que buscar por cada recoveco.

Gardner y sus juegos matemáticos: mayor aportación a la formación matemática

El 2010 ha sido un año donde hemos perdido grandes colaboradores en la formación matemática. Tal como Escalante ayudó en la formación matemática en la educación, Martin Gardner formó muchos matemáticos y científicos a buscar, y popularizar el lado divertido de las matemáticas y lógica en su columna de la revista Scientific American "Juegos matemáticos". Los flexágonos, el juego de la vida, y acertijos de lápiz y papel, y mentales son escritos que aportó a la comunidad científica este filósofo de las ciencias.

Ahora, las matemáticas recreativas son escenciales al ofrecer la clase en el aula. Al mostrale y quizás asignarle acertijos puede despertar el interés por la materia. Recuerden que estos juegos no son exclusivos de las clases de ciencias. Se pueden usar ambigramas en las clases de lenguaje, o teselados en arte. Puedes buscar cualquiera de los escritos de Gardner y podrás encontarle un uso dentro y fuera de la escuela, especialmente ahora que estamos en temporada veraniega.

El Gran Gardner se nos fue, pero sus seguidores ahora tienen la labor de mostrar mediante sus talentos las múltiples dimensiones que pueden llegar las matemáticas, sea en la magia, lingüística, arte, o lógica, todo está relacionado.

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Este wallpaper incluye el ambigrama hecho por Scott Kim en "La naturaleza de las cosas", y el cuadro de Gardner usando partes del juego de la vida.




Enlaces interesantes:

Matemática para divertirse - Sector Matemática
La naturaleza de las cosas: Martin Gardner: Matemágico [Inglés] - Wagner Brenner en Vimeo

Empezó el conteo regresivo... (SVM 1 of 14)

Una de las cosas que vemos cuando celebramos San Valentín es cuando nuevos romances resplandecen, formando universos color de rosa con pajaritos y abejitas rondando los alrededores y querubines tirando flechas pordoquier. Tenemos que ver que también es una temporada en donde la chispa se esfuma por el aire.

Excusas existen del porqué las parejas rompen, pero maneras elegantes son pocas. Se debe tener toque si quieres conservar a tu ex-compañer@. Importante decirlo directa y claramente. Si no puedes, haz que escuche ésto, Conteo Regresivo de Gilberto Santa Rosa.

El salsero ha hecho una composición elegantemente lógico-matemática para decir que la relación se acabó. Aquí les dejo un wallpaper con la letra de la canción.