La demostración geométrica de un producto de Cauchy

(1 - 1 + 1 - 1 + ...)² = 1 - 2 + 3 - 4 +...

imagen via [The Math Kid]

La mejor demostración es aquella que puede ser visualizada, como las sumatorias demostradas por geometría que presentamos hace dos Carnavales atrás. De esta manera podemos atraer más personas al lado demostrativo, el lado menos visto de las matemáticas.

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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Los relojes matemáticos: ¿adorno de pared u oportunidad pedagógica?

La proliferación de los relojes matemáticos (relojes donde los números del 1 al 12 son sustituidos por expresiones equivalentes) en los últimos años han sido un éxito positivo para la enseñanza de la materia. Ahora bien, podemos darle más protagonismo a éste en el aula de clases, no solo como adorno para una pared, sino como herramienta de comprobación de destrezas.

Un reloj como el que ven a su izquierda se puede utilizar en una clase de cálculo de secundaria para demostrar con deducción o inducción, procedimientos formales y definiciones que la ecuación o expresión es equivalente al número natural que están sustituyendo. Es un ejercicio de preparación para los estudios post-secundarios.

Ejemplo: Demostrar que 5[csc (π / 6)] = 10

Solución: El cosecante de un ángulo Θ es el recíproco del seno de ese mismo ángulo Θ. El seno de (π / 6) es igual a (1 / 2). Por definición de cosecante, csc (π / 6) = 1 / (1/2) = 2. Entonces:

5 [csc (π / 6)] = 5 [2] = 10.

Q.E.D.

De ésta manera podemos verificar si los fabricantes de los relojes hicieron sus cómputos bien, que no sea como el reloj que dice que 9 = 3(π - .14).

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Demostraciones geométricas de sumatorias

Cuando pienso en demostrar sumatorias regresan a mi mente los día del método de inducción, donde hacías tres procedimientos. Dado una sumatoria de una expresión, con valores k = 1 a n:

• Evaluabas la expresión en k = 1 [f(1)]

• De f(1) ser cierta, Asumias que la sumatoria era cierta. En otras palabras, evaluabas la expresión en n. [f(n)]

• Para terminar la demostración, verificabas si f(n + 1) = f(n) + f(1). Si podías separarlo con éxito, entonces demostraste por inducción.

Ahora bien, existe un método geométrico para demostrar varias sumatorias conocidas. No es tan formal como el anterior, pero en una sola imagen podrán observar la solución de la sumatoria.

Primero que nada, veamos uno de los ejemplos clásicos de matemáticas, uno que descifró el pequeño Gauss: la suma de números consecutivos:

En el rectángulo de largo n + 1 y ancho n, podrán ver que en forma escalonada, aparece un punto más que en la fila anterior, quitándole un espacio vacío. Al final solo la mitad del rectángulo está lleno de puntos, siendo esta cantidad la sumatoria de n números consecutivos.

De sumar solamente los números impares de 1 a 2n - 1, obtendrán el cuadrado de n. En el cuadrado de arriba, se detuvieron en k = 8.

También se puede dar el caso de la sumatoria de potencias en la forma 1 / (p^k), donde:

Aquí los primeros tres valores para p: 2, 3, 4.

Opinión: Cuando toquen el tema de series y sucesiones en las clases de precálculo, se debe suplementar la enseñanza del método formal y computacional de las demostraciones con un método gráfico-geométrico, de ser posible; especialmente con esta nueva cepa de estudiantes que son más aptos a la enseñanza visual.

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Demostraciones visuales: via [bloodredonion]

Referencia:
Nelsen, R. B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Cuadrados perfectos especiales

Hay una serie de cuadrados perfectos cuya alineación numérica puede ser sacada sin hacer una multiplicación complicada.

Primero tenemos los cuadrados perfectos de x, este siendo un número natural entre 41 y 50:

Demostración: 

Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (x - 25) es en realidad 100(x - 25). Entonces al sumarlo con (50 - x)² nos debe dar a x²:

x² = 100(x - 25) + (50 - x)²

x² = (100x - 2500) + (2500 - 100x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-2500 + 2500) + x²

 x² = x²

Q.E.D.

Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (50 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 41.

Ejemplo 1: Halle el cuadrado de 47:

Primeros dos dígitos de 47²: 47 - 25 = 22

Últimos dos dígitos de 47²: (50 - 47)² = 3² = 09

•  (si el número resultante es de un dígito , añada un cero a la izquierda)

 Por lo tanto: 47² = 2209

Ejemplo 2: Halle el cuadrado de 45:

Primeros dos dígitos de 45²: 45 - 25 = 20

Últimos dos dígitos de 45²: (50 - 45)² = 5² = 25

 Por lo tanto: 45² = 2025

Existe otro grupo de cuadrados prefectos que tienen un fenómeno similar:

Demostración: 

Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (2x - 100) es en realidad 100(2x - 100). Entonces al sumarlo con (100 - x)² nos debe dar a x²:

x² = 100(2x - 100) + (100 - x)²

x² = (200x - 10000) + (10000 - 200x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-10000 + 10000) + x²

 x² = x²

Q.E.D.

Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (100 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 91.

Ejemplo: Halle el cuadrado de 98: 

Primeros dos dígitos de 98²: 2(98) - 100 = 196 - 100 = 96

Últimos dos dígitos de 98²: (100 - 98)² = 2² = 04

Por lo tanto: 98² = 9604

Pueden verificar cada ejemplo y el cuadrado de cada elemento en el conjunto de x en ambos casos usando la calculadora. Sorprenda a sus amigos con estos atajos de cómputos.

Las realidades y expectativas de un curso de geometría

imagen via [The Math Kid]

Es común pensar que la clase de geometría es solamente conocer las figuras geométricas planas y del espacio y conocer sus perímetros, áreas, y/o volúmenes. La realidad es que un curso de geometría la mayoría de las veces es el primer curso introductorio a las demostraciones formales, donde estudias los métodos de deducción e inducción probando mediante teoremas y postulados; lo cual muchos estudiantes fallan en hacer dicha transición. Es por esto que creo que sería más adecuado nombrar el curso de geometría como Geometría Demostrativa o Geometría Lógica.

El currículo podría comenzar con lógica proposicional y demostraciones (modus ponem, inducción, etc.), para luego comenzar con toda el álgebra, propiedades, postulados, y teoremas de geometría, siempre repasando los métodos de prueba para cada caso en particular (rectas, triángulos, cuadriláteros, círculos, etc.).  El enfoque de un curso de geometría debe ser que el alumno pueda ejecutar un ejercicio formalmente, con orden y secuencia lógica.

Definiciones matemáticas comunes

Aquí una traducción de una entrada de Thought Pool sobre como palabras clave pueden a veces demostrar como la mente de algunos profesores y matemáticos trabaja a la hora de hacer demostraciones, basado en las palabras que usan:

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claramente = no quiero escribir los pasos intermedios

trivial = si tengo que mostrarles como hacerlo, están en la clase equivocada

obviamente = espero que usted no se haya quedado dormido cuando lo discutimos, porque no lo voy a repetir de nuevo.

recordar = No debería decirles esto otra vez, pero para aquellos que borran cinta, aquí está...

sin pérdida de generalidad = No voy a hacer todos los posibles casos, solamente haré uno, y el resto los descifran ustedes

uno puede demostrar = uno ya lo hizo, Gauss.

es de conocimiento común = vea “Mathematische Zeitschrift Asfknqekoft”, vol XXXVI, 1892.

verifíquelo usted mismo = esta es la parte aburrida de la demostración, así que usted lo hace a su tiempo.

descripción de una demostración = no pude verificar los detalles, así que lo partiré en partes que no pude probar.

pista = la forma más dificil de hacer una demostración.

fuerza bruta = ♫♪ cuatro casos especiales, tres argumentos de conteo, dos largas inducciones, y una perdiz en un árbol. ♪♫

demostración suave = Un tercio menos de relleno (por página) de una prueba regular; pero te tomas dos años más de trabajos en curso sólo para entender los términos.

demostración elegante = no requiere conocimiento previo de la materia y es menos de 10 líneas de largo.

similarmente = al menos una de las líneas de la demostración es igual a la anterior

forma canónica = 4 de 5 matemáticos encuestados recomiendan esta respuesta como la final.

los siguientes son equivalentes = Ésto es lo mismo que aquello, aquello es lo mismo que lo otro, lo otro es lo mismo...

por un teorema anteriormente discutido = no me recurdo como iba (pensándolo bien, ni estoy seguro si lo hicimos), pero si lo declaré bien, el resto es como sigue...

demostración de dos líneas = voy a dejarlo todo excepto la conclusión

brevemente = me queda poco tiempo, así que escribiré y hablaré más rápido

vamos a platicar = no voy a hacerlo en la pizarra, porque cometeré errores.

proceda formalmente = manipule símbolos basados en las reglas sin indicios de su significado.

cuantifique = no encuentro errores en su demostración excepto que no funciona para x en 0.

finalmente = solo faltan diez pasos más.

Q.E.D. = T. G. I. F.

prueba omitida = confíe en mí, es cierto.

Un día como hoy nació Pierre.

Hace 410 años atras nace en Francia, uno de los hombres que revolucionó la matemática: Pierre de Fermat. Aunque sus descubrimientos abarcan los campos del cálculo diferencial y la geometría nalítica, se hizo comocer por la teoría de números, con el, hasta hace aproximadamente 16 años atrás, irresolvible Último teorema de Fermat.

Google se ha unido a la celebración, al recordarle al mundo el célebre teorema, el cual dice lo siguiente:

Si n es un entero mayor que 2, no existen tres números naturales, x, y, z, tales que la suma de las n-ésimas potencias de x & y sean iguales a la de z (x, y mayores que cero), tanto que los tres no sean iguales.

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Un video para que disfruten el Día de Fermat:



Andrew Wiles y el Último Teorema de Fermat

el documental de Simon Singh para BBC Horizon, en su totalidad, sobre la persona que finalmente demuestra con excelencia el Teorema de Fermat en 1995, para convertirse en celebridad dentro del las esferas matemáticas.

versión en español: [1] [2] [3] [4] [5]

versión en inglés via [dkahn400]@Youtube
versión en español via [volunteersimplicity]@Youtube

De la aplicación a la demostración: el volumen de una esfera

imagen via [TheMathKid]

Muchas personas ven que las fórmulas salieron del aire para ayudar a sustituir variables con cualquier número inimaginable. Tomemos como ejemplo el volumen de una esfera. En la escuela solamente tenías que conocer el valor numérico radio para elevarlo al cubo y multiplicarlo por (4/3) π. ¿Sencillo verdad? Pero son pocos los que ven de donde sacamos que V = (4/3) πr³.

Como había dicho el año pasado, una de las mejores manera de introducir el cálculo es mediante la demostración que las fórmulas de los círculos se integran y las esferas se derivan (o viceversa). En la imagen de arriba tenemos la demostración de hallar el volumen de una esfera de radio 2 mediante el uso de la integral triple. Demostrar una triple integral de una superficie esférica envuelve hacer varios pasos para asegurar una prueba exitosa:

• Dibujar la superficie esférica: Hay que visualizar como es la superficie, por eso se dibuja la esfera en el plano x-y-z.

• Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas: Para poder integrar la esfera hay que integrarla con sus coordenadas, las cuales son rho (ρ, el radio de la esfera), phi (φ, ángulo del radio en la sección positiva del eje de z, visualizarlo como semiesfera), y theta (θ, la rotación en el plano xy). Cambiamos las variables rectangulares a sus equivalencias esféricas.

• Definición de la triple integral esférica: También hay que buscar la equivalencia esférica a la definición integral del volumen, donde dx dy dz es sustituido por |J| dρ dφ dθ, el Jacobiano, una matriz determinante donde, en el caso específico esférico, cada fila es la derivada parcial de una de las variables rectangulares respecto a cada una de las variables esféricas. El determinante resultante del Jacobiano es ρ² sin (φ), resultando en dV = ρ² sin (φ) dρ dφ dθ
  

• Integrar: Ahora solamente tenemos que integrar. Sabiendo que el radio es 2, ρ va desde el origen (0) a 2. φ, al ver la esfera como una semiesfera, es un ángulo de π radianes. Finalmente, como θ da la rotación completa, θ va desde 0 a 2π. Enonces se hace la integración. Si el resultado es igual al que te dio en la formula que aprendiste en geometría, lo hiciste bien.
  

¿Cuando enseñar demostraciones formales?

Extracto de Como entender y hacer demostraciones matemáticas de Daniel Solow

Mis primeras demostraciones matemáticas formales las hice a un año de graduarme de escuela superior (2003-04) en la clase de Geonmetría Superior. Probar que las figuras son congruentes, que dos líneas son perpendiculares, cosas sencillas (si sabías los teoremas y postulados). No fue hasta que estuve en tercer año de universidad (2007 - 08) que tuve que aprender a fuerza a demostrar por inducción.

Lo que dice la cita es verdad: a lo más tardar en octavo grado, se debe comenzar a demostrar. En el último cambio curricular del Programa de matemáticas acá en Puerto Rico, los alumnos ya empiezan a demostrar las mismas pruebas que hacía en geometría en octavo. Al menos están haciendo algo bien, pero de quedar resagados en dichas técnicas, entonces la universidad debe afinarlos.

Latidos a son demostrativo (SVM II: 9/14)

"I Heart Math"

via [shirt.woot!]

Dedicado para los que creen en la propiedad transitiva del amor: una hombre y su pareja equivalen a una unión espiritual eterna, solamente no nos pidan que mostremos todo el trabajo.*



*Basado en la parte escrita en el blog de woot!

Más -phi-losofía de oro

El año pasado mostramos como hallar el número de oro (φ) geométricamente, y hoy le enseñamos como hallar el valor de φ (1.618...), demostrado mediante álgebra:

1. Ésta es la definición de la proporción áurea. Tenemos que demostrar que para cualquier valor de a y b, a/b siempre va a resultar en φ, el cual es igual a 1.618... = [(1+√5)/2].
2. Multiplicamos cruzado en ambos lados para eliminar denominadores.
3. Movemos todo al lado derecho.
   
4. Completando el cuadrado: Descomponemos b² en la ecuación equivalente (-1/4b² + 5/4b²)
5. Completando el cuadrado: ya aplicado el opuesto de (-1/4b² + 5/4b²), asociativamente dejamos fuera a -5/4b². Como todo trinomio completado al cuadrado es de la forma a² + 2ab + b², estamos mostrando que -ba = -(2/2)ba = 2(-½ba) = -½ba + -½ba.
   
6. Completando el cuadrado: Factorización por agrupación.
7. Completando el cuadrado: cuadrado trinómico factorizado
8. Movemos el sobrante al lado izquierdo.
9. Raíz cuadrada en ambos lados.
10. Movemos todo lo que tenga variable b al lado izquierdo, dejando la a sola al lado derecho. El coeficiente de b es φ.
11. Al sdaber que el coeficiente de b es φ, solamente dividimos por b en ambos lados, sabiendo que a/b = φ.
    

Q.E.D.

φ es uno de esos números maravillosos que anda por todos lados y no nos fijamos hasta que nos lo mencionan en el aula de matemáticas. A partir de ahí la gente se pone a ver pinturas antiguas, a escuchar música para ver si está entonada acorde a la proporción aúrea, a ver Donald en el mágico mundo de las matemáticas, entre otros. Por eso estudiar a φ es una φlosofía de vida.

Seis es igual a ocho punto cinco

Así como lee el título, es una premisa que para la mayoría de las personas sería falsa, pero tal como demostré que el amor es menor que tres, puedo demostrar que seis es igual a ocho y medio.

Demostración:

(<=>)

La premisa principal lee

6 = 8.5

Vamos solamente a cambiar un lado, este caso el lado izquierdo e igualarlo a 8.5 en el proceso. Primero, utilizaremos una de las herramientas necesarias para que todo estudiante debe sabar para dominar la matemática: el lenguaje. Por eso voy a transformar 6 en 'seis'.

seis = 8.5

[español]

Ahora dentro del lenguaje existen los idiomas, por eso voy a sustituir el 'seis' por un 'six'

six = 8.5

[inglés]

six no es solamente una palabra que traduce 6. Los antiguos romanos tenían un six también. Los que estudiaron numerales romanos en la escuela, sabrán de I, V, X, L, C, D, y M. Pocos saben de S, equivalente a ½ o mejor dicho 6/12, dado al sistema duodecimal que usaban para sus negocios. ya conociendo esto podremos volver a los numeros y sacar 8.5 de six:

six = 8.5

[números romanos]

(-½) + (-1) + 10 = 8.5
(-0.5) + (-1) + 10 = 8.5
-(0.5 +1) + 10 = 8.5
-1.5 + 10 = 8.5
8.5 = 8.5

Q.E.D.

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Ya poco a poco saber sobre los números romanos, no será relevante, a menos que seas cinéfilo o relojero. Quizás traducir numerales como material para una prueba corta, pero no para un examen sería un método claro para que los jóvenes puedan diferenciar Rocky II de Rocky 'y'. Para conmemorar esto, les traigo otro wallpaper: