Gauss y los grafos aparecen discretamente en mi clase de sociología (Entrada cuasi personal)

---------PARTE PERSONAL - MARCADA ENTRE LAS LINEAS ROJAS---------
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En la tarde del jueves terminó mi semestre de clases en la universidad, tomando dos cursos, Metodología Matemática e Introducción a la Sociología. La razón de tomar la segunda fueron un gran accidente: el encargado de matricularme una electiva libre para completar los seis créditos no quería forzarme en clases que yo quería deveras tomar (como Lógica o Photoshop). Al no tener ninguna opción, acepté el reto. era el único de matemáticas en un universo de 90 personas lleno de futuros psicólogos, sociólogos, historiadores, y dos o tres empresarios, científicos agrícolas, ingenieros, y biólogos que tomaban la clase como electiva sociohumanística recomendada en un salón que se usa para dar clases de física y matemáticas prebásicas.

Ahora viendo el camino desde el otro lado, la experiencia fue excelente y mejor de lo que esperaba: los exámenes eran un mamey gracias a las explicaciones del Dr. Michael González-Cruz, un profesor, mediador de conflictos y defensor de las causas justas de Puerto Rico y Latinoamérica. A veces tenía ganas de tomar una siesta (la clase era a las 12:30 PM, en un salón frío, y casi siempre luego de haber almorzado), pero me gozaba las clases, muchas veces por las mismas opiniones del Dr. González sobre el gobierno y la universidad junto con las conversaciones previas con las amistades formadas.

Honestamente, cuando uno es un estudiante de mate y la clase a tomar es totalmente fuera del espectro matemático, uno se siente que no se puede expresar completamente, especialmente cuando los estudiantes y hasta algunos profesores le tiraban su puya (indirectas) a las matemáticas solamente porque es su kriptonita académica. Pero como dije en otra ocasión: "Todos tomamos y aportamos aplicaciones para que cada una de las concentraciones pueda trabajar con un problema que nosotros no podamos entender" y que "...cada grupo tiene sus fortalezas y debilidades ••• debemos ponernos en sus zapatos y ayudarnos mutuamente en lograr el bachillerato."

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Una de esas experiencias matemáticas dentro del espectro sociohumanístico que es la sociología ocurrió el jueves pasado. Estábamos discutiendo sobre grupos y organizaciones, topándonos en el tema del tamaño de los grupos. Me pongo a ver el impreso de la presentación en Powerpoint para ver un patrón reconocido de inmediato que quizas mis compañeros de clase ignoraron: los números triángulares, con todo y error en la primera parte.

La presentación decía que en un grupo de dos personas se producen 2 relaciones, lo que es cierto (persona 2 → persona 1, persona 1 → persona 2) , pero al ver que cuando le añadías un persona al grupo seguía el patrón visto en la imágen las relaciones se estaban contando una por el precio de dos (persona 1 ↔ persona 2). Además tenía una explicación que decía sobre mayor tamaño el grupo, mayor cantidad de relaciones internas, lo cual resumo junto con todo esto del tamaño de los grupos en esta fórmula:

"la cantidad de posibles relaciones internas de un grupo de n personas"

Dicha fórmula se deriva de la hazaña que hiciera el niño Carl Fredrich Gauss allá para 1783, cuando su maestro de escuela les dijo a sus estudiantes que sumaran los números del uno al cien. de ahí el pequeño de seis años sacó la solución al problema: en vez de estar sumando 1 + 2 + 3 + ••• +99 + 100, realiza que puede alterar la secuencia, agrupando el primero y el último (1 + 100) resultando en 101. De ahí saca lo siguiente:

1 + 2 + 3 + ••• + 99 + 100 = ?

1 + 100 + 2 + 99 + 3 + 98 + ••• + 50 + 51 = ?

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ••• + (50 + 51) = ? [50 pares formados por agrupación]

101 + 101 + 101 + ••• + 101 = 50 (101) = 5050

Q.E.D.

La fórmula final para sumar una cantidad de n cantidad de números en orden del 1 al n es

(n)(n+1)/2

Ahora se preguntarán cómo es posible que la fórmula de Gauss influya en las relaciones internas de grupo. Sencillamente sustituya n por n-1:

(n-1)[(n-1)+1]/2

(n-1)(n)/2 = r

Pero señores y damas, esto no para aquí. El miércoles es que me digno a leer el capítulo 7 del libro Sociología (de Macionis), cuando, no solo me dá la razón en cuanto al error de la hoja de Powerpoint sino que me da una sorpresa discreta:

Aparecen seis grafos simples (grafos con n vértices y hay exactamente una arista incidente con cada par de vértices) representando las relaciones mutuas de cada persona. Como pueden apreciar, cada vertice tiene una arista direccionada a cada persona, y si contamos cada relación de las personas, eliminando las repetidas, nos dará a la cantidad descrita debajo. Inclusive podemos aplicar la fórmula de las relaciones basado en el número de vértices.

Son esos detalles que me hace sentir feliz del haber inursionado en el mundo matemático, porque dnde menos te lo esperes aparece.