Como hallar la cantidad de divisores de un número sin hacer el arcoiris de factores

Normalmente pensamos que a nivel elemental solamente vemos aritmética, geometría, estadística y un poco de preálgebra. La realidad es que casi nunca notamos que se pueden ver conceptos simplificadas o hiperaplicadas de topología, matemáticas discretas, álgebra abstracta y la teoría de números. Ésta última se introduce formalmente cuando necesitamos conocer sobre primos, compuestos, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, y  factorización (tanto en forma de árbol o en arcoiris) para comprender el mundo de las operaciones fraccionarias. Claro está, al pasar de los grados se cuelan más temas, como la factorización prima, la aritmética del reloj y los sistemas de numeración de base n; pero se usan como aplicaciones al álgebra o recreaciones que lamentablemente no entran al aula por falta de tiempo.

Volvamos al arcoiris de factores por un momento. Busqué información por la red y me  percaté que era simplemente el ejercico en donde encierras en dos corchete todos los factores / divisores de un número natural en específico.:

Ejemplo: 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Lo que difiere el ejemplo de arriba al arcoiris de factores es que trazas un arco el cual conecta el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente.

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Ahora bien, existe un método en el cual puedes saber cuántos factores tiene un número natural n menor que 1 sin la necesidad de conocer cuáles son. Para ello necesitarás conocer que todo número natural n menor que 1 tiene su factorización prima única. Piénselo como si cada n diferente de uno tiene su propio zip code compuesto de la multiplicación de exponentes cuyas bases son diferentes entre sí. Abajo podrá ver una explicación algebraica:

Lo que yo necesito saber de esa factorización prima son las potencias ( las a) que tiene cada número primo. Entonces las multiplico todas, sumándole 1 a cada potencia antes de multiplicar. El producto resultante es la cantidad de divisores (d) que tiene el número natural n.

 Para probar lo dicho, volvamos al ejemplo de arriba. La factorización prima de 30 es 2 · 3 · 5, donde las potencias son 1, 1 y 1, respectivamente. Entonces d = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =2 · 2· 2 = 8 divisores. Abjo les muestro dos ejemplos más, los cuales puede comprobar hallando de mente los factores.

La técnica es excelente cuando tienes que hallar números gigantes o para decir rápidamente la cantidad de divisores en cuadrados (d = 3), cubos (d = 4) o cuartos perfectos (d = 5)
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Ésta es la primera entrada de La Covacha Matemática para la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

Integración curricular: Muestras históricas para la clase de matemáticas

Mientras que es cuesta arriba presentar y cautivar a los alumnos con conceptos matemáticos en la clase de historia; en el caso inverso el resultado es totalmente opuesto. Los estudiantes no esperan que temas como la probabilidad, el porciento o los decimales tengan un conexto histórico. Es por ésto que si queremos darle más significado al tema matemático podemos amarrale un relato de tiempos pasados, para que puedan ver que no solamente son una serie de símbolos, fórmulas y estrategias de solución.

Éstas curiosidades (y las anteriores) son ideales para enriquecer un curso de Historia de las Matemáticas o Apreciación de las Matemáticas (más aún si incluye el libro que reseñó Rafalillo el Carnaval anterior):

• El acertijo de Diofanto y la numeración diofantina: Diofanto podía expresar los primeros 899 números enteros positivos como una secuencia de letras. Además, el matemático griego nos dejó como acertijo algebraico descifrar su edad.

 

• La multiplicación en cuadrícula es basada en los huesos de Napier (unas varillas que contenían los múltiplos de uno de los dígitos del 1 al 9).

• El cuadrado mágico de Dürer

• La evolución simbólica del porciento: Lo que era la palabra per cento proviene del vocablo latín per centum (por cada cien partes).

• La invención del punto decimal.

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Ésta es la segunda entrada de La Covacha Matemática para la Edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Series divergentes

Ferreteria Matemática: Una torre de Hanoi de facil elaboración

El matemático francés Éduard Lucas inventó hace aproximadamente 130 años atrás un rompecabeza matemático, el cual consiste de pasar discos de una varilla a otra (tres en total), de extremo a extremo, con dos simples reglas a seguir:

• Solamente puedes mover un disco a la vez, a cualquiera de las varillas.

• No puedes colocar un disco grande sobre uno de menor tamaño.

A este reto lo llamó la Torre de Hanoi.

Existe una versión donde no se utilizan varillas, sino estaciones numeradas del 1 al 3 y los discos hechos de cartón, gomaespuma, o fomi. Sencillamente usted

1. recorta de discos de diferentes tamaños (preferiblemente mayor o igual de 6); y 
2. escriba en un papel los números del 1 al 3.

y estás listo para jugar. Si quieres hacerlo estilo tablero de juego, coge un pedazo de cartón, píntalo de tal manera que puedas tener tres círculos numerados del tamaño del disco más grande.

Aquí les presento un set de Torre de Hanoi que hice el sábado basado en uno que tenían en la escuela donde trabajo:

En la mañana de hoy se lo mostré a mis estudiantes y querían descifrar la secuencia ganadora, lo cual es más dificil de descifrar que calcular la cantidad de movimientos mínimos dado n discos (2ⁿ -1).

Puede jugarlo solitario o con amigos, la Torre de hanoi lleva recreación matemática con solamente un papel y varios discos.

Las matemáticas recreativas de Tuto el Astuto (II)

El año pasado les presenté a Tuto el Astuto, uno de los personajes del Sistema de Matemáticas de Silver Burdett (1973). Éste acompañado de su ayudante Berto presentaba retos, acertijos, y material complementario; como por ejemplo la división corta, la multiplicación en cuadrículas y  los números binarios al alumnado de niveles del K al 8.

Una parte interesante que encontré rehojeando los textos es que parte de los acertijos presentados eran bastante interesantes para los grados a cuales se le ofrecían:

• En tercer grado, introducían el concepto del cuadrado mágico (un cuadrado n × n, donde el total de la suma es igual en cada columna, fila y diagonal), ya sea verificándolos o resolviéndolos.

• Problemas básicos de lógica y conocimiento espacial se podían observar.

• Más aún, te encontrabas con varios ejercicios recreativos y retantes en cada capítulo, de diferentes niveles de dificultad.

Lo asombroso del asunto es  que este grupo de retos, los cuales aparecen en periódicos o revistas a un público en general, están en libros de matemáticas de 3° y  5°. Hoy día, este tipo de exposición al reto se ve solamente en alumnos que se preparan para competencias o en la Semana de las Matemáticas.

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Scientia.

El Triángulo de Pascal y sus regiones de divisibilidad

Otra razón por la cual considero al Triángulo de Pascal como la navaja suiza del matemático:

De la entrada anterior recordarán que al Triángulo de Pascal se le enumeran las filas desde el cero  (1 solo) hasta n (la secuencia numérica 1 n ... n 1), nombrado así por la potencia n de (x + 1)ⁿ, donde cada Fila n son los coeficientes de (x + 1)ⁿ ordenados por grado.

Ya que les menciono este dato, hagamos un experimento. Marcaremos todas las filas donde n = p, un número primo (Fila 2, Fila 3, Fila 5, Fila 7, ...), sombreando solamente aquellos números en la fila diferentes de uno.

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35    35    21    7    1

1     8     28     56     70     56     28     8     1

Ahora bien, una de las propiedades del Triángulo de Pascal es el hecho de que podemos hacer cada nuevo elemento de una fila sumando los dos números arriba de ésta.

Ejemplo: El tercer elemento de la Fila #4 (6) es el resultado de la suma de 3 y 3

¿Qué tiene que ver éste dato con las regiones de divisibilidad? Verán que los elementos marcados en cada Fila p son todos números naturales divisibles por p. Por tanto, cada elemento nuevo creado por dos números marcados y adyacentes también será divisible por p. Seguirá sucediendo hasta que quede un solo elemento:

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35    35    21    7    1

1     8     28     56     70     56     28     8     1 

¿Observan el patrón?

Cuando p = 2, solamente encontramos el mismo 2 (1 elemento)
Cuando p = 3, tenemos  dos 3 y un 6 (2 elementos)
Cuando p = 5 hay 10 elementos

Todos formando un triángulo invertido al Triángulo de Pascal. Éstos son las regiones de divisibilidad

imagen via [The Math Kid]

Cada region de divisibilidad se expande a p - 1 filas debajo de la fila p. En total cada región de divisibilidad tendrá [(p)(p-1)] / 2 elementos.

Ejemplo: La región de divisibilidad para p = 31 constaría de 465 elementos.

[(31)(30)] /2 = (31)(15) = 465

¿Cuántos usos más encontraremos para el Triángulo de Pascal? Como dirían en el comercial de Tootsie Pop, "The world may never know".

Sobre la multiplicación acortada.

El sábado les presenté el método de multiplicación acortada, basado en la sutra de las verticales y cruzados, la cual elimina escribir y hallar dos productos parciales.

Ésta es la idea detrás de la multiplicación acortada: tratar a cada factor como una secuencia de dígitos, como si fuese una matriz 2 (factores) × n.(dígitos)

Se utiliza con eficacia cuando ambos números tienen dos dígitos o más.

Empecemos multiplicando dos números de dos dígitos y tres dígitos. A continuación les presentamos los pasos a seguir para cada caso:

Es importante recordar que debes dejar buen espacio entre los dígitos para colocar las cantidades reagrupadas del paso anterior. A diferencia de la multiplicación tradicional, que siempre se colocan sobre la columna del número, en la multiplicación acortada habrán ocasiones que la cantidad reagrupada se coloca entre columnas, indicativo que las multiplicaciones que vallas a ejecutar son todas cruzadas; pero cuando está sobre una columna, existirá a lo más una multiplicación vertical, el resto siendo cruzados.

Además, todo cómputo en itálico que ve en los ejemplos son cálculos mentales. La persona que quiera utilizar con efectividad la multiplicación acortada debe dominar las aritméticas mentales.

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De seguro habrán notado el patrón en los pasos: moviéndose de derecha a izquierda ocupando poco a poco columnas hasta que las adquiere todas, para luego dejar una por una las del extremo derecho hasta quedarse con la primera desde el extremo izquierdo.Observe la multiplicación de dos factores con 4 dígitos y siga los pasos.

Existe otro patrón: la cantidad de pasos necesarios para hallar el producto:

• dos dígitos = 3 pasos

• tres dígitos = 5 pasos

• cuatro dígitos = 7 pasos

• n dígitos = 2n - 1 pasos

Así podremos generalizar la multiplicación acortada a dos casos: cuando los factores tienen n dígitos impares o n dígitos pares.

Cuando n es impar, al momento de tener todas las columnas ocupadas el dígito a reagrupar estará sobre una columna, indicando que todas las columnas (menos la del medio, Columna # [n + 1]/ 2) se multiplican cruzado con su columna complemento.

Columna #1 con Columna #(n); Columna #2 con Columna #(n - 1); ... ; Columna #([n + 1]/ 2) + 1 con Columna #([n + 1]/ 2) - 1

En el caso de n ser par, todas las columnas se multiplican cruzado con su columna complemento.

Columna #1 con Columna #(n); Columna #2 con Columna #(n - 1); ... ; Columna #([n + 1]/ 2) con Columna #([n + 1]/ 2) + 1 

Otros casos:

• Se puede utiulizar con enteros y decimales.

• Cuando la cantidad de digitos entre factores es dispareja, añades ceros frente al menor hasta que quede parejo:
• 4726 × 53 se escribiría 4726 × 0053.

Los atajos aritméticos y la multiplicación acortada

Pasando los canales de cable, veo este inusual infomercial sobre un producto para "agilizar la mente" de los estudiantes de primaria en las matemáticas, presentando, en varias viñetas al inventor, preguntándole a los estudiantes que contestaran cuadrados perfectos, y conversiones de fracciones a decimales, hasta seis lugares; con los niños recitándolas en segundos. También salían los testimonios, donde presentaban los métodos, en su mayoría de multiplicación: como hallar el cuadrado de todo número que terminase en 5, multiplicar dos números noventipico, y cosas por el estilo.

Poco a poco me percaté que éstos métodos son solamente atajos aritméticos (todos bajo un término llamado matemáticas védicas), los cuales, en mi opinión, ayudan a que el estudiante aumente su autoestima, elimine sus ansiedades, y tenga una actitud positiva hacia las matemáticas, para que puedan tener un mejor desempeño. En ese punto le veo un propósito al producto. El problema principal es que cae en memorización de casos específicos de multiplicación, en una ruta que pronto se encontrará con variables y ecuaciones.

Eso sí, no todo tema en las matemáticas védicas son solamente para casos específicos. Una de las más conocidas es la de los verticales y cruzados, donde no necesitas escribir los productos parciales de la multiplicación, ya que los estás haciendo mentalmente. Es como la división corta, donde abrevias las restas y escribes el residuo entre los dígitos del dividendo.

La multiplicación abreviada (o acortada) es un método que elimina el escribir los productos parciales, donde se trabaja a los dos factores como una matriz 2 × n, donde n es la cantidad de dígitos mayor entre ambos factores; moviéndose de derecha a izquierda, columna a columna. Es recomendable usarla cuando ambos factores tienen 2 dígitos o más.

Ejemplo: En la multiplicación de dos números con dos dígitos, tenemos la columna de las decenas y la de las unidades, por tanto:

• las unidades del producto se saca multiplicando verticalmente la columna de las unidades de los factores, reagrupando de ser necesario.

• las decenas del producto es el total de los productos cruzados de las columnas y, de haberlo, el número reagrupado.

• las centenas del producto es la multiplicación vertical de la columna de las decenas de los factores

Aquí un caso:

Notarán que el orden en el que se multiplican y se suman los números son idénticos, la única diferencia siendo el método hacia la solución.

La cosa cambia cuando son de tres o más dígitos, donde el algoritmo clásico se descarta y tienes que pensar diferente:

• De derecha a izquierda, trabajas las columnas 2 × n: Supongamos que la columna más a la izquierda es llamada Columna 1, la siguiente Columna 2 y así sucesivamente hasta llegar a la Columna N; y R, el dígito reagrupado. Entonces, el producto tendrá: 
• Unidades: Columna N: verticalmente,
• Decenas: [Columna N y Columna (N - 1)], total de productos cruzados + R,
• Centenas: [Columna N y Columna (N - 2)], cruzados + Columna (N - 1), vertical + R,
• Millares:  [Columna N y Columna (N - 3)], cruzados + [Columna (N - 1) y Columna (N - 2)], cruzados + R, 

Hasta que se utilizan todas la columnas para hallar el próximo dígito:

• Si n es impar: todos cruzados excepto la Columna (N/2):  [Columna 1 y Columna N] +  [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 2) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 1)] + Columna (N/2), vertical + R,

• Si n es par: todos cruzados:  [Columna 1 y Columna N] +  [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 ) y Columna (N/2 + 1)] + R,

Luego de ésto, la cantidad de columnas utilizadas se disminuye, hasta que solamente tengas que multiplicar verticalmente la Columna 1.

Creo que es más facil exponer un ejemplo de dos números, uno de dos dígitos y otro de tres:

En fin, el método acortado de multiplicación requiere pleno poder de las aritméticas mentales. Advierto que este tema es uno puramente recreativo y que si vas a hacer cómputos artiméticos, mejor hacerlos de la manera larga y clásica.

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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Imágenes matemáticas de ayer y hoy (RLFB XVI)

Una interesante idea para mostrar fórmulas con variables para los anti-algebraicos.

via [salsamidaspower]@Tumblr

Dato curioso: Algunos edificios de Google fueron nombrados por números de gran importancia en el mundo matemático (e, π, 0, 1, φ).

via [dmountain]@Flickr

Sets, Numbers, Numerals (Laidlaw, 1965) Uno de los textos preparando a alumnos a la pronta llegada de la matemática moderna.

via [Etsy]

Éste problema ha dado recientemente rondas por diversas redes sociales. Dice lo siguiente:

"Este problema puede ser resuelto por niños de pre-escolar en menos de 10 minutos; por programadores en una hora, y por personas con alta educación... bueno, véalo por si mismo"

Yo sé la solución, pero de necesitar una pista haga "highlight" entre los asteriscos:

*Piensa matemáticamente como preescolar*

Si está interesado en otro acertijo, vea el problema de las cinco habitaciones y su solución en Me quemé...

"Más práctica, menos Skyrim." para todos aquellos que entran al periodo de pruebas en abril.

Sudoku de dos niveles

La página de Facebook Chistes Matemáticos publicó éste sudoku bastante particular, donde las pistas deben ser resueltas antes de poder comenzar a completar el sudoku. Con dominio del álgebra, trigonometría, operaciones binarias y hexadecimales, factoriales, derivación e integración puede hallar las pistas facilmente.

Solución de las pistas

Solución del sudoku

Equis-Cerito (Tic Tac Toe) de Cálculo

En la página del Trollegio, publicaron la imagen que ven abajo: nueve ejercicios alineados como el clásico juego Tic-Tac-Toe. La premisa del juego en esta ocasión es conocer quién fue el ganador de la partida (las x, los ceros, o el gato), resolviendo cada cuadro.  Requiere conocimiento del cálculo básico y vectorial.

Para aquellos que quieran conocer la solución, pueden verla aquí. Además dejé pistas en las etiquetas (tags).

Ferretería Matemática: Del cuadrado al tangrama

Basado en experiencias previas dentro del salón de clase, en ninguna ocasión me dijeron de donde salían las partes que componían el rompecabezas chino que llamamos tangrama. Los maestros nos entregaban una plantilla con las piezas marcadas para recortar y hacer otra copia exacta para hacer el avalúo.  Era eso o ya las tenían recortadas con fomi.

Creo que si demostramos como se crea el tangrama en la escuela, sería una buena actividad donde los estudiantes mismos exploren que, con unos cuantos dobleces y recortes, pueden hallar las siete piezas.

Lo único que el maestro tendría que hacer es recortar los papeles para que sean cuadrados n × n. Así podría entregarle a cada estudiante cuadrados de diferentes áreas y así economizar papel.  Recomiendo que el mínimo sean (3 × 3) pulg² (7.5 × 7.5 cm²).

 El primer paso es doblar el cuadrado de punta a punta (doblez diagonal) y recorta.

Dobla uno de los triángulos por su eje de simetría y recorta, para así obtener las primeras dos piezas, las más grandes.

Con la otra mitad del cuadrado hacemos lo siguiente: Llevamos la punta al borde, formando un trapecio. Acto seguido, usando el doblez como guía, formamos un triángulo rectángulo y lo doblamos al lado opuesto. Ya hecho, cortamos nuestra tercera figura.

El trapecio restante se dobla por el eje de simetría; y usándola como guía, formas el paralelogramo. Cuando desdobles el trapecio y recortes los dobleces, habrás hallado las figuras restantes.

Al final de la actividad el alumno tendrá la capacidad de crear el rompecabezas chino para actividades y/o recreación dentro y fuera de la escuela, con solamente tener a su mano cualquier pedazo de papel y unas tijeras.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Que no te aburran las m@tes

El juego de los cuatro 2

Hoy les traigo un juego para pasar el tiempo y crear el aspecto de la literacia matemática junto con la escritura de equivalencias. En el juego de los cuatro 2, usted debe expresar un número entero basado en una expresión equivalente que utilice solamente cuatro #2 y una o más de las operaciones matemáticas descritas (adición, sustración, multiplicación, división, raíz cuadrada, exponenciación, paréntesis, factorial, o juntar los dígitos para rear el 22, 222, ó el 2222).

Hay distintas maneras de jugarlo. Aquí una cuantas sugerencias:

• Usted provee los números a buscar. El primero que los consiga correctamente y siguiendo OOp gana.
  

Ejemplo: Halla equivalencias a 5, 3, y 9.

5 = 2² + (2 ÷ 2)

3 = (sqrt (2))² + (2 ÷ 2)

9 = ((2 + (2 ÷ 2))²

• Diferentes expresiones para el mismo número. Provee un número. El que más expresiones pueda sacar en cierta cantidad de tiempo gana. Sugerimos hacerlo con el 4.
  

• Usted provee la cantidad de enteros a buscar. El primero que los consiga correctamente y siguiendo OOp gana. Aquí es una versión más libre, ya que el jugador halla los números que quiera. Ejemplo: Halla diez (10) enteros.

• Limitar las operaciones. Igual que los anteriores, pero eliminando opciones, como el juntar dígitos, o el factorial.

Útil para explorar el concepto del orden de operaciones o retar a que los estudiantes utilicen el razonamiento lógico y puedan comprender las expresiones y lenguaje matemático.

142857 te saca una séptima parte de suerte

Fuente: Matthen

142857 es uno de esos números que tienen un significado fuera de ser un valor de cierta cantidad de objetos. Este número tiene la habilidad de simplificarnos la manera de calcular séptimos. ¿A qué se debe esto?

Si empezamos a multiplicar el número por los números naturales veremos varios hallagos interesante:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

142857 × 7 = 999999

• Los primeros seis múltiplos de 142857 utilizan los mismos dígitos pero realineados. Es sorprendente ver que solamente se mueven cierta cantidad de dígitos al final de la cola para formar los múltiplos.
• Si 142857 × 7 = 999999, entonces 0.142857 × 7 = 0.999999 ≈ 1. Entonces 0.142857 ≈ 1/7.

Con solamente recordarse 142857 puedes convertir séptimos a decimales.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Juegos Topológicos de José Luis Rodríguez Blancas.

2 + 2 = pez

Aquí tenemos un acertijo donde te muestra resultados de una adición en donde botamos el libro de matemáticas por la ventana.

Aquí los datos que sabemos:

• 2 + 2 = pez
• 3 + 3 = VIII
• 7 + 7 = ▼

Solución: Todos los resultados constan de unir el número con su reflexión vertical, para así formar una figura geométrica que asemeja tales objetos:

¿Puedes encontrar otra suma de dos números iguales que forme otro objeto?

El otro método para multiplicar por 11

En esta ocasión simplificaremos el procedimiento mental para multiplicar un número entero por once. para esto debemos ver una de las diversas equivalencias de 11, en este caso 11 = 10 + 1, para entonces multiplicarlo distributivamente.

Como todo número entero multiplicado por 10 es ese número con un cero añadido al final y todo número entero multiplicado por uno es ese mismo número, se hace más facil sacar el producto mediante la suma directa de 1on + 1

Ejemplo: 11 × 523:

10 × 523: 5230
1 × 523: + 523
---------------------------
11 × 523 = 5753

Aquí se ve más claro el porque uno hallaba los dígitos sumando el dígito del múltiplo y el número adjacente a la derecha' y porque los números de los extremos se uqedaban igual (a menos que hubiese reagrupación).

También podemos aplicar el mismo método cuando multiplicamos por 9 usando la compensación, donde en vez de multiplicar por 9, hallamos el producto de (10 - 1). Lo mismo que el 11, pero restando.

Ejemplo: 9 × 523:

10 × 523: 5230
-1 × 523: - 523
---------------------------
9 × 523 = 4707

Multiplica por 11 mentalmente

Basado en la información encontrada en dailyscholar.tumblr.com

Existe un truco para sacar todos los múltiplos de 11 (incluyendo el cero). La mayoría se sabe la tabla del once hasta 11 × 11, pero si quieres sorprender a tus conocidos, vea como calcular mentalmente múltiplos de once:

11 × un número de dos dígitos: Ejemplo: 11 × 65

• 11 por cualquier número de dos dígitos mayormente producirá un número de tres dígitos, así que hacemos tres espacios:

11 × 65 = _ _ _

• En el primer y último espacio escribimos los dígitos del número al que le estamos multiplicando 11

11 × 65 = 6 _ 5

• El espacio del medio es la suma del primer y último dígito. Si la suma es mayor o igual que 10, las decenas se reagrupan al primer dígito..

11 × 65 = 6 (6 + 5) 5 = 6 (11) 5 = 715

• Por tanto 11 × 65 = 715

• Otros ejemplos:

11 × 43 = 4 (4+3) 3 = 473
11 × 81 = 8 (8 + 1) 1 = 891

11 × un número de tres dígitos: Ejemplo: 11 × 645

• 11 por cualquier número de tres dígitos en la mayoría de las veces producirá un número de cuatro dígitos, así que hacemos cuatro espacios:

11 × 645 = _ _ _ _

• En el primer y último espacio escribimos el primer y último dígito del número al que le estamos multiplicando 11

11 × 645 = 6 _ _ 5

• El segundo espacio es la suma del primer y segundo dígito del número al que le estamos multiplicando 11. Si la suma es mayor o igual que 10, las decenas se reagrupan al primer dígito..

11 × 645 = 6 (6 + 4) _ 5 = 6 (10) _ 5 = 70 _ 5

• El tercer espacio es la suma del segundo y tercer dígito del número al que le estamos multiplicando 11. Si la suma es mayor o igual que 10, las decenas se reagrupan al primer dígito..

11 × 645 = 70 (4 + 5) 5 = 7095

• Por tanto 11 × 645 = 7095

• Otros ejemplos:

11 × 867 = 8 (8 + 6) (6 + 7) 7 = 8 (14) (13) 7 = 8 (15) 37 = 9537

Ésto no se limita a números de cierta cantidad de dígitos. Solamente recuerda que el cuando vayas a encontrar la solución de 11 × n solamente sigue los pasos:

1. cuenta los dígitos (d) que tenga n
2. escribes d+1 espacios en blanco
3. el primer espacio es el primer dígito de n
4. el último espacio es el último dígito de n
5. el segundo espacio es la suma del primer y segundo dígito de n. Si es mayor o igual que 10, se reagrupa.
6. el tercero espacio es la suma del segundo y tercer dígito de n. Si es mayor o igual que 10, se reagrupa.
7. se siguen llenando los espacios con la suma del dígito correspondiente al número del espacio y su dígito adyacente a la derecha, hasta que se termine.

Reto: ¿Crees que puedas comprobar con el método mostarado arriba, demostrar que 84639 × 11 = 931029?

Contig 60™: Herramienta reenforzadora de la redacción matemática

video via [professorphardal]@Youtube

Creado por John C. del Regato y modificado por la Dra. Mary E Goldfeather, Contig 60™ es uno de los varios juegos que componen la tercera división del torneo académico llamado Pentatlón Matemático®.

Materiales: Para poder jugar necesitarás el tablero de juego (última página), 25 fichas (dos sets de colores diferentes), papel, lápiz, y tres dados de seis caras.

Objetivo: El objetivo principal del juego es poder colocar cinco fichas del mismo color en línea recta (vertical, horizontal, diagonal) contiguamente; o de acabarse las fichas y no lograr alineralas, el vencedor será la persona que acumule más puntos, los cuales se restan de un puntaje inicial de 60. También ganan si la puntuación de uno de los jugadores llega a cero (con diferencia de dos puntos o más de los otros).

Reglas del juego: Combiné aspectos descritos en las reglas de competencia del pentatlón con los descritos en el video, y redactados por la Dra. María José Ferreira da Silva, profesora de matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Sao Paulo. las adaptaciones fueron necesarias para poder utilizar el juego en escuelas de nivel secundario, inclusive en cursos de razonamiento matemático o educación matemática.

1. Los jugadores tiran un dado cada uno para decidir el primer turno. Comienza aquél que consiga un valor mayor. Se juega alternadamente.
   
2. El jugador tira los tres dados. Con los tres valores numéricos se debe crear una oración matemática, cuyo total debe estar en el tablero de juego y no tapado por una ficha. Para crear el enunciado puede utilizar la suma, resta, mutliplicación, división, paréntesis, exponentes, y radicales, siguiendo las reglas del orden de operaciones. Importante: Si en tu enunciado vas a utilizar exponentes y radicales, estárás consumiendo dos de los tres valores (exponente-base e índice-radicando).
3. Los jugadores acumulan puntos cuando colocan fichas adyacentes a un espacio con ficha ya puesta, sin importar color. Dependiendo de cuantas fichas estén adyacentes, serán la cantitad de puntos restados de la puntuación. cada turno los jugadores anotan en un papel las puntuaciones y valores que sacaron en los dados.
   
4. Si uno de los jugadores pasa el turno porque no puede construir un enunciado con los valores que tiene, del otro jugador encontrar una construcción antes de hacer su jugada, los puntos deducidos en el turno se multiplican por dos, y luego tiene otro turno extra. en otras palabras, se roba un turno.
   
5. El juego termina cuando uno de los jugadores pueda alinar cinco fichas del mismo color o, de acabarse las fichas, el que tenga la puntuación más baja.

Beneficios de Contig 60™:

• Razonamiento computacional: el estudiante construye enunciados matemáticos utilizando la suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicales. Además, utiliza la probabilidad para ver cuales combinaciones son más posibles.

• Razonamiento lógico-científico: puede observar posibles combinaciones de encunciados mediante el orden de operaciones, teoría de números, experimentación e hipótesis, razonamiento inductivo y deductivo.

• Valores/Actitudes: Objetivos 1-17 y 20-26 de los Objetivos actitudinales en el aula de matemáticas.
  

CONTIG 60™ © Pentathlon Institute Inc.

Matemagia: Conociendo el día de cumpleaños de otra persona

La magia matemática es un recurso para mostrale a tus pares tus dotes de presdigitador, cuando en realidad estás usando razonamiento matemático. La mayoría de los trucos constan de adivinar números que representan algo en específico, pero existen otros que implementan los clásicos de la magia. La matemagia de adivinar números se hace por medio de que el voluntario haga cálculos aritméticos, que dicta el matemago, usando lápiz y papel o una calculadora.

Por ejemplo queremos que alguien nos diga su día de cumpleaños indirectamente.

1. El mago le dice que, en un papel, escriba el día de su cumpleaños en formato mes y día númerico todo junto. Ejemplo: Si nació el 5 de junio escribiría 0605.
2. Al número formado se le halla su doble.
3. Al producto obtenido se le suma 5.
4. Multiplica el número por 50.
5. 23 es sumado al resultado.
6. Se le resta 250.
7. El voluntario dice el número final.
8. De hacer los primeros seis pasos correctamente, el mago adivinará el día de nacimiento.

Ahora bien, creo que quieren saber el secreto del truco. Para esto tienen que darle highlight al texto que escribiré abajo:

El secreto para descifrar esta adivinación numérica se basa en que el número incógnito es multiplicado por 100 y sumamos una cantidad menor de 100 para que se viera como un número auténtico. Si lo hacemos con la variable n siendo nuestra incógnita verán el truco:

(((n × 2) + 5) × 50) + 23 - 250 ==> ((2n + 5) × 50) + 23 - 250 ==> 100n + 250 + 23 - 250 ==> 100n + 23

Se añaden pasos para que el público tenga que pensarlo dos veces en descifrar el truco.

Este truco sirve para toda cosa que quieras saber numéricamente de tu voluntario (día de cumpleaños, edad, un número cualquiera). Claro está, ten siempre a tu ayudante vigilando lo que haga el voluntario, para verificar veracidad. Recuerden este es solamente un tipo de truco matemágico, existen más que hablaremos en una próxima ocasión.

Multiplicación polaca

La multiplicación al estilo polaco es de ejecución similar a la multiplicación rusa, con la diferencia que puedes multiplicar por cinco, al no tener que juntar dedos. Solamente sigues las instrucciones que te da el comic y listo.

comic via [SaturdayMorningBreakfastCereal]

El puño cerrado vale cinco, con cada dedo levantado añade uno al valor de la mano (un dedo = 6, dos dedos = 7,...). La mano abierta vale 10.

Entonces, ¿cómo multiplicamos? Los dedos que dejas levantados son múltiplos de 10, mientras las cantidades de dedos que dejas encerrados por mano son los factores a los cuales le vas a hallar el producto.

Otro ejemplo: 6 × 6:

Básicamente con los datos provistos, usted puede hacer 21 combinaciones (sin contar la operación conmutativamente) pero hay posibilidad de expandir la gama de multiplicaciones posible.

Las matemáticas recreativas de Tuto el Astuto

Uno de los primeros libros de escuela elemental (primaria) que más me llamó la atención fue Matemática de Silver Burdett (1974), con sus caricaturas y páginas a todo color. No fue hasta la semana pasada que me regalaron los textos de 3er y 5to año y los pude volver a ver.

Cada libro tenía un personaje principal, como Coco Drilo (3ro) y León Reyes (5to), pero el resto del elenco estaban en todos los tomos: El Conde Muchomás, Listín, Canelín, Peli Agudo, Berto, y del único que me recurdaba el nombre porque rimaba: Tuto el Astuto.

Tuto era el zorro que presentaba los trucos, acertijos, y retos por los capítulos, además de los suplementos, los cuales algunos se han integrado al currículo regular y otros se quedaron como curiosidades:

Patrones

Matemáticas del calendario

Números binarios

Multiplicación en una cuadrícula



Multiplicación abreviada



División corta



Los ángulos de un triángulo forman un semicírculo

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog seispalabras de Clara Grima