La matemática en todos lados, inclusive cuando vandalizan los baños

De vez en cuando, al visitar el baño de algún establecimiento comercial, escuela o universidad nos encontramos las puertas o las paredes con mensajes y garabatos, muchas veces con un tono grosero. Pero, de vez en cuando, sale algo fuera de lo normal, como lo que ha encontrado Riki Pride: lecciones de trigonometría y cálculo:

imagenes via [rikipride]@Tumblr

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Ésta es la primera entrada de La Covacha Matemática para la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog eulerianos.

Textos, finanzas y la espera del progreso educativo (RLFB 34)

imagen via [Cálculo]

• Un nombre conocido en el cálculo universitario: Todo estudiante que ha tomado la clase de cálculo en la universidad quizás hayas utilizado el texto de James Stewart. La revista brasileña Cálculo lo entrevisto y reveló como en 2555 días logró confeccionar la primera edición en 1987; con éxito tal que ahora es millonario.

• Tecnología en el aula: Incorporar las nuevas tecnologías (las digitales) pueden ser una pérdida de tiempo y dinero si no se ponen a contestar 4 simples dudas: metas finales de la integración tecnológica en el estudiante, ayuda en la proficiencia de éste, desarrollo profesional para el docente, y la recolección de datos para demostrar éxito. Recordar también que existen maestros que son tecnofóbicos, los cuales una de estas 11 razones pueda ser considerada su negativa a la implementación.

• Para los futuros maestros y primerizos: Una serie de artículos que deben leer:
• Si quieres ser maestro, autoevalúate contestando seis preguntas.

• Los diez mandamientos para una mejor enseñanza.

• De ofrecer clases de matemáticas, demuéstrale a los estudiantes que deben evitar, además de los 12 mitos matemáticos, esta otra serie de ideas falsas referentes a como los alumnos deben trabajar un curso de matemáticas.

• Deben ser maestros innovadores.

• Siempre escucha consejos de aquellos que ya pasaron por su primer año impartiendo clase, ya que ellos tienen empatía con los primerizos.

• La Covacha Matemática, definición gráfica. via [Math Hombre]@Tumblr

El Hombre Integral y el uso del comic como método de avalúo en el aula.

Las tirillas cómicas eran lo ue me hacía despertar temprano en las mañanas de domingo (digo hacía, ya que muchos periódicos locales han dejado de publicarlas y/o dejarlas a una sola página llena de crucigramas). Esta mañana me hizo recordar gratos momentos cuando encuentro un comic sobre la integración, expuesto en la página Royst Beef:

El comic escrito en inglés parece haber sido creado como proyecto final de clase, común en escuelas estadounidenses como método de extra crédito. Contiene un dato sobre los integrales (que el área bajo una curva se halla mediante la integración) y un ejemplo aplicado a las leyes superheróicas (hallar el área de una bala, para entonces conocer su punto de vulnerabilidad y el Hombre Integral desintegrándolo con un golpe karateca).

Elementos así hacen el uso del cómic dentro del aula uno enriquecedor, ya que incluyes datos de relevancia (como deficiones, teoremas, postulados) y uno que otro ejemplo; más aún cuando se pueden integrar suavemente en la narrativa (como el de arriba).

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Esta es la octava entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Cuando te dicen "estudiar religiosamente las matemáticas"...

...no significa algo así:

P.S. Para aquellos que no han utilizado el libro se Stewart, el 5.3 es el Teorema Fundamental del Cálculo.

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.

Sudoku de dos niveles

La página de Facebook Chistes Matemáticos publicó éste sudoku bastante particular, donde las pistas deben ser resueltas antes de poder comenzar a completar el sudoku. Con dominio del álgebra, trigonometría, operaciones binarias y hexadecimales, factoriales, derivación e integración puede hallar las pistas facilmente.

Solución de las pistas

Solución del sudoku

Equis-Cerito (Tic Tac Toe) de Cálculo

En la página del Trollegio, publicaron la imagen que ven abajo: nueve ejercicios alineados como el clásico juego Tic-Tac-Toe. La premisa del juego en esta ocasión es conocer quién fue el ganador de la partida (las x, los ceros, o el gato), resolviendo cada cuadro.  Requiere conocimiento del cálculo básico y vectorial.

Para aquellos que quieran conocer la solución, pueden verla aquí. Además dejé pistas en las etiquetas (tags).

La primera lección de integración

imagen via {Math Fail}

1. La integral de cualquier cosa dx, donde cualquier cosa es una constante o una expresión que no contenga la variable a integrar, es esa cosa multiplicada por x.


2. Cuando no hayan valores para evaluar la integral, recuerde que siempre tiene que añadir + c al final.


3. Hay profesores que utilizan blah para presentar, al final de varios ejemplos explicados, la idea general del procedimiento para todos los casos. Se los cuento porque así pasaba en la clase de Álgebra Lineal, con excelentes resultados. También se utilizan figuras geométricas, frutas, y otros objetos en sustitución de variables y/o números.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

La competencia de integración de MIT

El Massachussets Institute of Technology, mejor conocida como MIT, es una institución reconocida por sus prospectos, mayormente en las ciencias físicas e ingeniería. Una de las tradiciones que acostumbran hacer es celebrar en enero la Competencia de Integración (Integration Bee), la cual se celebró el pasado martes. Ésta es un torneo de prestigio mundial y creado hace décadas atrás, donde en cada ronda los estudiantes solamente necesitan hallar la solución primero que su oponente.

Reglas: 
(Traducidas y resumidas del reglamento del MIT Integration Bee 2012)

Ronda clasificatoria:

• Se le administra a todos los participantes un examen escrito con 25 ejercicios de integración, el cual deben completar en 20 minutos.

• Las dieciseis (16) participantes con el mejor desempeño serán finalistas.

El torneo:

• El Integration Bee es un torneo de eliminación sencilla (así) donde el #1 se enfrenta al #16, el #2 con el #15, y así sucesivamente. 

• Todas las integrales presentadas en una ronda tienen la misma dificultad, no-trivial; pero ésta crecerá a medida que entren a la siguiente ronda.

• El ganador será coronado como El Gran Integrador.

• Primera ronda: El primero que resuelva dos ejercicios de integración correctamente pasa a la segunda ronda. Cada uno debe ser resuelto en menos de un minuto.

• Segunda ronda: El primero que resuelva dos ejercicios de integración correctamente pasa a la tercera ronda.  Cada uno debe ser resuelto en menos de dos minutos.

•  Tercera ronda: El primero que resuelva tres ejercicios de integración correctamente pasa a la ronda final. Cada uno debe ser resuelto en menos de tres minutos.

• Ronda final: El primero que resuelva tres ejercicios de integración correctamente será El Gran Integrador. Cada uno debe ser resuelto en menos de cuatro minutos. 

• Cuando el participante circule la solución de la integral, el reloj se detiene, para que el juez pueda verificar la solución. De ser correcta, se le otroga un punto. De lo contrario, el reloj continúa hasta que dicha solución sea encontrada o el tiempo de regulación termine.

• Un participante sólo tiene dos oportunidades para mostrar la solución correcta de la integral. 

• Si en el espacio de tiempo ningún participante halló la solución, se procede a contestar otra integral.

Para muestra, tenemos la intensa ronda final del torneo del 2009:

video via [msa1926]

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Opinión: Deberían hacer una competencia de integración (o de derivación) interuniversitaria aquí en Puerto Rico.Es como las Competencias de Cálculo que hacen aquí sin depender del procedimiento.

"Y de postre, una dulce derivada..."

Doing Math at Ben & Jerry’s

imagen por rvilan

Yo siempre recomiendo que las sesiones de estudio para los exámenes de matemática no pueden ser una sola sesión fuerte y alargada, tratando de rellenar el cerebro lo más que pueda dos o tres días antes para ver si maravillosamente obtienes una puntuación dominante. Éste no es el método para domar al monstruo que muchos llaman matemática. Aquí unos tips:

• Cuando un tema sea completado, escribe en un papel aparte los puntos importantes del tema, como las fórmulas, teoría, y el procedimiento; y las dudas que tengas, para así sean contestadas para la clase siguiente. 

• Un consejo que me dieron la primera semana como universitario allá para el 2005, era que le dedicáramos 10 horas a la semana a los estudios de matemáticas. Muchos vemos que eso es imposible porque pensamos en hacerlas de corrido. La clave del éxito es distribuir el tiempo por toda la semana (LMWJVSD).
• Ejemplos: 
• 2 horas (LMWJV o LWVSD)
• 1 hora (LMWJV) y 2.5 horas (SD)

•  A mí se me ha hecho efectivo, cuando estoy trancado para terminar un ejercicio o escrito, empezar a "procrastinar"; donde, mientras hago otra actividad, sea una labor o momento de ocio, estoy pensando como encontrar la solución adecuada. De hacerlo, rápidamente vuelvo al trabajo. En cortas palabras, capitaliza en los momentos que no tengas nada que hacer para terminar el trabajo y viceversa.

Finalmente, como la imagen de arriba sugiere, las matemáticas no terminan en el salón o en la asignación. Es deber del estudiante repasar el material donde sea y como sea.

La vaca prima

Q: What's the first derivative of a cow?

A: Prime Rib
(dale highlight después de A: para la respuesta)

Galería de arte matemático (1)

Aquí varias ilustraciones donde exponen un comentario o idea referente a las matemáticas. Esta va a ser la primera de varias publicaciones.

via [malalegacy]@Tumblr

Golden Rectangle por John Lemasney



Llamas Love Limits
via [artistwritten]@Tumblr



Retro Geometric Design Print por Simon Page

Lil' 7734llraiser por [spacesick]@Flickr

Lógica Proposicional por Cuito Cuanavale

De la aplicación a la demostración: el volumen de una esfera

imagen via [TheMathKid]

Muchas personas ven que las fórmulas salieron del aire para ayudar a sustituir variables con cualquier número inimaginable. Tomemos como ejemplo el volumen de una esfera. En la escuela solamente tenías que conocer el valor numérico radio para elevarlo al cubo y multiplicarlo por (4/3) π. ¿Sencillo verdad? Pero son pocos los que ven de donde sacamos que V = (4/3) πr³.

Como había dicho el año pasado, una de las mejores manera de introducir el cálculo es mediante la demostración que las fórmulas de los círculos se integran y las esferas se derivan (o viceversa). En la imagen de arriba tenemos la demostración de hallar el volumen de una esfera de radio 2 mediante el uso de la integral triple. Demostrar una triple integral de una superficie esférica envuelve hacer varios pasos para asegurar una prueba exitosa:

• Dibujar la superficie esférica: Hay que visualizar como es la superficie, por eso se dibuja la esfera en el plano x-y-z.

• Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas: Para poder integrar la esfera hay que integrarla con sus coordenadas, las cuales son rho (ρ, el radio de la esfera), phi (φ, ángulo del radio en la sección positiva del eje de z, visualizarlo como semiesfera), y theta (θ, la rotación en el plano xy). Cambiamos las variables rectangulares a sus equivalencias esféricas.

• Definición de la triple integral esférica: También hay que buscar la equivalencia esférica a la definición integral del volumen, donde dx dy dz es sustituido por |J| dρ dφ dθ, el Jacobiano, una matriz determinante donde, en el caso específico esférico, cada fila es la derivada parcial de una de las variables rectangulares respecto a cada una de las variables esféricas. El determinante resultante del Jacobiano es ρ² sin (φ), resultando en dV = ρ² sin (φ) dρ dφ dθ
  

• Integrar: Ahora solamente tenemos que integrar. Sabiendo que el radio es 2, ρ va desde el origen (0) a 2. φ, al ver la esfera como una semiesfera, es un ángulo de π radianes. Finalmente, como θ da la rotación completa, θ va desde 0 a 2π. Enonces se hace la integración. Si el resultado es igual al que te dio en la formula que aprendiste en geometría, lo hiciste bien.
  

La sopa de letra como técnica de Assessment matemático

via [themysteryoftime]@Tumblr

Si trabajas para ministros/departamentos de educación inflexibles, que te ordenan regirte por el currículo de un curso, tienes que alinear todo trabajo que hagas a una serie de estandares (lo que se conoce como estandarización), donde cada parte que hagas tiene un propósito para que el alumno pueda llegar a dominar como mínimo las expectativas proyectadas. Ésto incluye a las técnicas de Assessment o técnicas de avalúo.

Arriba ustedes pueden obervar una simple sopa de letras con términos que usted puede ver en un curso introductorio de Cálculo. Para poder alinearlo a los estándares, uno puede darles la sopa de letras y que en sus casas se pongan a buscar las definiciones del libro. Otra cosa puede ser, que se ofrezca el primer día de clases y conversar con los estudiantes sobre cuáles términos reconocen y cuáles son nuevos para ellos, para entonces introducir la clase, dejando la sopa de letras para el hogar. Todo está en la inventiva del maestro.

Super Mario y la continuidad

A la hora de preparar los ejercicios que les vamos a ofrecer a los estudiantes, debemos tener en cuenta el nivel de dificultad que queremos que ellos dominen, la cantidad de ítemes, y si hay problemas verbales, el elemento de poder aplicar el tema a una situación donde los estudiantes no se fijan que hay razonamiento lógico-matemático envuelto, como los videojuegos.

Muchos fuimos los que jugamos los juegos de Nintendo y nunca nos fijamos que la trayectoria de ese regordete fontanero italiano es una compuesta de funciones por partes. Parece que un profesor si se fijó y la adaptó para su clase. El problema dice:

"Mario está corriendo y saltando hacia la derecha del primer nivel de Super Mario World. Cuando su posición horizontal es x, su altura h(x) es dada por la siguiente conjunto de funciones:

Prueba que el recorrido de Mario es contínuo en el intervalo [0, 9]. En otras palabras, verifique que la función h(x) es contínua en x = 3, 4, y 6"

Estos problemas son los que hacen al estudiante pensar como rayos está la matemática ahí, para luego tratar de contestar. Además, es un buen tema de conversación.

El cuento de e^x

La arrogante funcion exponencial e^x estaba insultando a las otras funciones mientras andaba de paseo. Se burla de un polinomio que deambulaba por su corta serie de Taylor. Luego empieza a reirse disimuladamente de una función continuamente diferenciable de soporte compacto por su visible falta de un serie de potencias convergente en varios de sus puntos. Después se rie mientras pasa por |x| por ser no-diferenciable en el origen. Se rie pensandose a si mismo "¡Que bien se siente ser e^x! Soy realmente analítico por todos lados. Yo soy mi propia derivada. Me expando más rápido que nadie y también me reduzco con mucha velocidad. Todas las otras funciones suckean."

Perdido en su propio egocentrismo, choca con la función constante 3, el cual corría de terror de la dirección opuesta.

"¿Qué te sucede? ¿No puedes ver por dónde caminas?", demanda e^x. Entonces ve el miedo en los ojos del 3 y le dice "Te ves atemorizado."

"Lo estoy.", dice el 3 lleno de pánico. "Hay un operador diferencial a la vuelta de la esquina. Si me deriva, ¡seré redicido a nada! ¡Tengo qué irme lo más lejos posible!" Dicho ésto, 3 salió disparado, corriendo a buscar refugio.

"Estúpida constante.", piensa e^x. "Yo no tengo nada a que temerle a un operador diferencial. Él puede seguir derivándome cuantas veces quiera, y todavía estaré aquí.".

Pues se va a buscar el operador para regodearle su magnificencia en su cara. Lo encuentra y desafiantemente se introduce al operador: "Hola, soy e^x."

"Hola, soy d/dy."

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Traducido por mí
Versión original via [alionamongladies]@Tumblr

El límite del amor (SVM II: 2/14)

dedicada a aquellos que recientemente comenzaron a expresar su amor por Cálculo I.

Domingo de lectura educativa y matemática

Aquí les traigo unas noticias interesantes y columnas de opinión, para que puedan estar éste domingo leyendo tranquilo desde su ordenador:

• Lo que quieren hacer con la Iupi: El Vlade interpreta la situación de la educación de Puerto Rico, basado en el conflicto huelgario de la UPR.

[Blasfemias y Recuerdos]

• Tomar un examen es la mejor forma de aprender: Estudios revelan que alumnos sacan mejores calificaciones si se les ofrece más examenes.

[PODER 5]

• Nuevas teorías revelan naturaleza en los números: Los matemáticos Ken Ono y Zach Kent han demostrado que hay una relación entre los números de partición y los fractales.

[Ciencia Kanija]

• Escuchar: una variable crítica en el aprendizaje de las matemáticas: El profesor Gary E. Davis nos recuerda lo importante que es para el estudiante estar atentos a la clase de matemáticas y para maestro dejar tiempo razonable para poder escuchar al estudiante.

[Republic of Mathematics]

• Una introducción gentil a la enseñanza del cálculo: Escrito en el 2008, Kalid Azad, nos insta a transformar el modo en que se dicta el cálculo.

[BetterExplained]

Ferretería Matemática: Plano x-y-z hecho de palillos chinos

Imagen via [melioda]@Tumblr: Para poder entender mejor las gráficas en el espacio en su clase de Cálculo III, esta joven crea un plano xyz rompiendo palillos chinos en dos y pegándolos a una base de tal forma que quedaron como se presenta arriba.

Opinión: Me encanta como la estudiante tiene iniciativa de mejorar sus estudios a otro nivel más arriba que solo tomar de referencia el libro o bucar ayuda de un tutor. También me encanta el manipulativo, ya que es sencillo de producir, y costoefectivo para hacer múltiples al instante. En muchos de los restaurantes los palillos te salen gratis; un poco de pegamento, algo que sirva de base, y listo. Super útil para aquellos que no puedan dibujar figuras en el espacio.

Un poco de orden no vendría mal

A la hora de resolver problemas, la matemática tiene siempre unos pequeños trucos para poder darle un corrientazo a la mente y hacer recordar la manera de poder hallar la solución esperada en unas pocas letras. A dicho método le llamamos estrategia nemótecnica.

Anteriormente mostramos como recordar dígitos de las constantes e y π, excelentes para un momento de conversación con los estudiantes, pero no necesariamente útiles para trabajar. En esta ocasión les mostraremos dos estrategias que ya son menester de la lección en el aula y que todo estudiante pueda ordenar su trabajo.

PEMDAS (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción): Además de indicarles la manera apropiada de hacer el orden de operaciones, les muestra que no todo ejercicio se hace de manera lineal y que tienen que hacer una observación del ejercicio previo a la calculación. Variantes al PEMDAS incluyen el cambiar la P por B (brackets), la E por I (índices), u O (potencias de orden), e intercambiar el orden de la M y la D, resultando en las siguientes: BEDMAS, BODMAS, BOMDAS, BIDMAS, BIMDAS.

ILATE (Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales): Recuerdo que ésto fue la primera lección cuando tomé el curso de Cálculo II en la universidad. Esta nemotécnica se utiliza para determinar cuál función será la variable u y cual la v cuando vayamos a integrar por partes. La u siempre será la función cuya inicial quedase más a la izquierda, la otra siendo v. Hubiese sido cómico que en la clase el profesor le dijese a un estudiante "LIATE (utilizando la definición 6), que vas mal en el curso".

Por el momento éstas dos son las únicas que he estudiado y mis maestros han utilizado en el salón de clases. Sabemos que existen miles de nemotecnias y que no son exclusivas de las matemáticas. Espero que los maestros pudiesen aplicar más métodos alternos de memorización.

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Esta es mi primera entrada hecha para la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez

Rondando la frontera blogosférica (XIV)

- Para estudiar de matemáticas debes tener paz interna , y sobretodo evitar procrastinar jugando video juegos, porque entonces carecería de sentido.

- via [MathMonday]: Geometría con la que te puedes vestir.

- via [proofmathisbeautiful]: Cuidado con la banda de solucionadores compulsivos, que están dejando su marca en los automóviles.

- via [Reddit]: The Nut Cracker, El mejor afiche para romperte la cabeza. pasarás horas buscando lo que significa cada elemnto en las paredes de la oficina del profesor Ernest Albright.

- via [arstechnica]: Shock eléctrico te hace mejor en matemáticas.

- via [discovermagazine]: Las matemáticas detrás de la belleza.

- Lectura recomendada: Construyendo la ciudad fractal de Nikos A. Salingaros

- Se acerca el periodo navideño, y ya los currículos de cálculo comienzan a dar integrales.

- Cuando quieras explicar el procedimiento sin tener que entrar a hacer ejercicios, sustituye la ecuación con ésta palabra. Lo digo porque tuve un profesor que lo hacía, y funcionaba.

- Han descubierto un nuevo animal de índole matemático y renombraron una propiedad.

-
via [MathFail]