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Friday, April 29, 2011

Cuando la raíz cuadrada se calculaba a papel y lápiz

El currículo de matemáticas es uno siempre cambiante, sustituyendo las bases del conocimiento que se quiere que el estudiante adquiera, como el cambio a un pensamiento más algebraico. Cosas como la enseñanza de la multiplicación ha cambiado de una tradicional, con requerimientos de cambiar el switch entre multiplicación y reagrupar sumas, a utilizar los productos parciales, donde solamente tienes que saber las tablas de multiplicación básicas hasta 9 × 9, multiplicar potencias de 10, descomponer ambos factores en sumas de potencias de 10 y sumar; con la propiedad distributiva opcionalmente.

Ejemplo: 36 × 45 sería:
36 × 45
(30 + 6) × (40 + 5) [descomponer los factores en sumas]
(30 × 40) + (30 × 5) + (6 × 40) + (6 × 5) [distributiva]
1200 + 150 + 240 + 30 [multiplicar]
1620 [suma]
Al menos sabemos que las enseñanzas básicas de multiplicación se han transformado, pero otras técnicas se han quedado en el olvido, como hallar la raíz cuadrada de un número por el método del algoritmo tradicional.

Todavía en las escuela se les enseña a los jóvenes aproximar las raíces cuadradas pero solamente para que ellos sepan su posición en la recta numérica; eso o solamente saben que √2 ≈ 1.41 y que el resto de los valores decimales están en una tablita. Miren la expectativa asociada para los estudiantes de Puerto Rico:

N.SN.7.1.4 Determina (sin calculadora) entre qué dos enteros se encuentra la raíz de un entero que no es un cuadrado perfecto y explica porqué.

Y es rara la ocasión que se enseñe el método tradicional, y más la versión de "divide y promedia".

"Divide y promedia" se trata de dividir el radicando por la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que esté más cercano al radicando. De ahí se promedia la raíz con el cociente resultante, para luego volver a dividir el radicando, esta vez por el promedio resultante. De no ser el cociente aproximadamente igual al divisor, se vuelve a promediar, y así repitiendose en un ciclo.

Creo que con un ejemplo se explica mejor: Hallar √8 por "Divide y promedia", redondeando a la centésima más cercana.
8 está cerca del cuadrado perfecto 9, por eso dividimos 8 por 3:

8 ÷ 3 ≈ 2.67

Entonces promediamos entre 3 y 2.67:

(2.67 + 3) ÷ 2 = 2.84

De ahí volvemos a dividir 8, en esta ocasión por 2.835

8 ÷ 2.84 ≈ 2.82

Promediamos de nuevo:

(2.82 + 2.84) ÷ 2 = 2.83

Dividimos de nuevo

8 ÷ 2.83 ≈ 2.83

Como ya encontramos dos divisor y cociente aproximadamente iguales, podemos estar seguros que √8 ≈ 2.83.
Q.E.D
Y ese método era nuevo para 1990, porque el método tradicional era largo y tedioso que hasta decimales enredaba adentro del radicando.






Algoritmo para determinar la raíz cuadrada de un número
Fuente: Introducción al Álgebra: Guía para el Maestro (DIP-PR, 1987)


Gracias a los avances tecnológicos, los estudiantes no tienen que estar 10 minutos buscando raíces, sino sacarlo en la calculadora solamente en 10 segundos. Lo bueno de esto es que temas como éste quedan solamente para diversión (?) y en el recuerdo de aquellos que pasaron horas en asignaciones.

Thursday, April 28, 2011

Cuando uno domina la matemática parece como un milagro.

En la imagen de abajo describe exactamente como muchos nos enfrentamos a los horizontes matemáticos, al final sintiendo la satisfacción de tener correctamente un ejercicio:


imagen via [WIN!]

Tuesday, April 26, 2011

No una ni dos, SEIS demostraciones del Teorema de Pitágoras

Continuando con los apéndices de la Guía para el maestro de Introducción al Álgebra (DIP-PR, 1987), fue una sorpresa ver que hay varias ayudas para el maestro, como la explicación de la estrategia Exploración-Conceptualización-Aplicación (ECA), e información sobre la teoría de conjuntos y el número π. Pero una de las cosas que me sorprendió fue que explican y demuestran seis acercamientos diferentes a dominar el Teorema de Pitágoras, y ninguna de estas es la de contar el área por cuadritos. Incluyen aportaciones del educador barranquiteño Raul Marrero Ortiz, el presidente James Garfield y el libro, que se usaba de referencia, El Mundo del Número E.G.B. 7.








Sunday, April 24, 2011

La aritmética necesaria para entrar a Harvard en 1869 te lo hacen las calculadoras hoy

Uno de los estudiantes del centro de práctica siempre dice cuando termina un ejercicio que va "de aquí a Harvard". Aunque sé que en parte lo dice en broma, las destrezas que ellos están tomando eran los requerimientos mínimos matemáticos para entrar en 1869.

El New York Times publicó una columna sobre como las universidades se anunciaban la prensa hace 150 años atrás; vendiéndose, a tal punto, similar a un bazar. Incluyen un examen de entrada a Harvard de julio de 1869. Entre los temas están latín, griego, geografía, e historia; pero también contenía 3 páginas dedicadas a cinco campos matemáticos:


aritmética, logaritmos, y trigonometría


álgebra


geometría plana

Me tomé la molestia de traducirlo y subirlo a PDF para que así los que pelean con el dificil puedan entenderlo más facilmente y hacerlo.

El examen no cubre temas que jamás vería en las escuelas de hoy día, pero se le ven los años al ver que muchas de estas preguntas quedan obsoletas a los conocimientos que se requieren al día de hoy. Con todo y eso los estudiantes de hoy fallarían si se les ofrece el examen con las mismas condiciones que aquellos prospectos a estudiantes tenían.

Un ejemplo: Para el 2011 el conocimiento aritmético manual, como el algoritmo para hallar raices cuadradas y cúbicas, sacar dividir decimales extensos, o encontrar potencias, han sido eclipsadas por el uso de la calculadora, mientras que la conversión de medidas quedó relegado a un nivel elemental. De esto se puede deducir que gracias a la incursión del uso compulsivo de la computadora y la calculadora, se está dando la transición del pensamiento numérico a uno algebraico.

Respecto a la trigonometría, logaritmos, álgebra, y geometría se han mantenido estáticos y son temas que uno puede ver en las asignaciones de nuestros jóvenes. Eso si, algunas demostraciones de geometría son de nivel universitario, o requieren regla y compás.

En resumen las destrezas que se enseñaban hace 150 años todavía son relevantes el día de hoy, excepto la aritmética manual. Disfruten resolver el examen y digan "¡Puedo entrar a Harvard... ...si estuviese en 1869!"

Thursday, April 21, 2011

Raíces de los Reales

Raíces de los Reales es, como la autora dice, "una historia de amorrrrr" que es parte de los apéndices de la Guía para el maestro del curso Introducción al Álgebra (1987, Dept. de Instrucción Pública), donde describe y explica el diagrama de los números reales para estudiantes de escuela intermedia, como si fuese un árbol genealógico al revés. Incluyen muchas referencias a lugares, eventos, y gente de Puerto Rico:
  • Moneró: el cantante de boleros José Luis Moneró (QEPD)
  • Radar Ionosférico de Arecibo: el Observatorio de Arecibo
  • C.U.C. : Centro Universitario de Cayey, Universidad de Puerto Rico, Recinto de Cayey
  • "El Dr. recientemente había perdido a toda su familia en unas inundaciones...": Sabemos que existen en los irracionales algebraicos y trascendentales, pero parece que vivían en Mameyes. (esta es inferida, así que no estoy seguro que sea o no basado en el evento)
Sin má ni menos, damos paso a la narración.
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RAICES DE LOS REALES
por Olga M. Torres Padilla
Comerío, PR


π es un joven infinitamente agradable que está interesado en conocer sus antecesores. va donde su abuelo, el respetado conjunto de los Números Reales, y éste le cuenta la siguiente historia de amorrrrr...

"Cero era una joven regordita y simpática que conoce en su baile de graduación a Naturales (conocido también como Enteros Positivos). Después de disfrutar la música de Moneró, continúan viéndose, culminando esto en matrimonio y en la procreación de una hermosa niña a quien llamaron Cardinales. La chiquilla creció hasta hacerse una joven esbelta. En cierta ocasión visitó el Radar Ionoesférico de Arecibo, y allí conoció a un joven científico llamado Enteros Negativos. Él le explicó gentilmente todos los detalles del radar, y a medida que iban hablando se profundizaba el interés de ambos jóvenes. Enteros Negativos quiso hablar con el papá de Cardinales, para comunicarle su interés por ella, pero nunca pudieron encontrarse. Cero, como madre al fin, fue el punto de enlace entre ambos y así los jóvenes pudieron casarse en una hermosa mañana del mes de abril. Al transcurrir el tiempo, Cardinales obsequió a su esposo con un robusto varón a quien llamaron Enteros en honor a su padre y a su abuelo.

Mientras esto ocurría, en otro lugar del país celebraban una sencilla boda la pareja formada por Decimales + y - y Fracciones + y -. Prontamente Fracciones + y - quedó embarazada y dió a luz una graciosa criatura a quien papá Decimales llamó Fracciones, como su progenitora. Fracciones y Enteros se criaron separadamente sin imaginar que en el futuro se unirían sus vidas de una manera muy peculiar.

Ambos jóvenes ingresaron en el C.U.C. para estudair una profesión. Una tarde, mientras Fracciones trabajaba en la pizzería (para costear sus estudios), llegó Enteros a comer. Fracciones lo atendió, y desde el primer momento ambos quedaron impresionados el uno con el otro. Aunque provenían de tan diferentes familias, pudieron unirse en matrimonio, culminando éste con el nacimiento de una glamorosa niña a quien llamaron Racionales.

Racionales crece, va a la vocacional y estudia asistente de sala de operaciones. Consigue trabajo en el Hospital San Pablo y es asignada al Dr. Irracional. El Dr. recientemente había perdido a toda su familia en unas inundaciones, por lo que se encontraba muy triste y amargado. Sin embargo continuaba trabajando en el hospital para así mantenerse ocupado. Inesperadamente surge una emergencia en el hospital y el Dr. Irracional se ve obligado a operar una paciente teniendo como única ayuda a su asistente, a la Srta. Racionales. Fueron momentos de gran tensión. El paciente se debatía entre la vida y la muerte, pero al fin la operación concluyó exitosamente. El Dr. sonrió por primera vez en mucho tiempo y para festejar, invitó a Racionales a ver la obra el Hombre Elefante, después de la cula irían a comer. este fue el inicio de una amistad que finalizó con el matrimonio de ellos y el advenimiento de un niño llamado Reales."

Y así concluyó la historia, las RAICES DE LOS REALES.
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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.

Wednesday, April 20, 2011

Objetivos actitudinales en el aula de matemáticas

Dentro de la planificación diaria de una clase existen tres tipos de objetivos: conceptuales (aquellos que desarrollan las destrezas cognoscitivas, como conceptos, datos, y hechos), procedimentales (los que desarrollan el área psicomotora al hacer procesos habilidades, estrategias, y destrezas), y los actitudinales (donde se evalua el lado afectivo de la clase mediante actitudes, normas, y valores). Somos muchos que podemos saber cuales son los objetivos conceptuales y procedimentales matemáticos ya que trabajamos con ellas constantemente; pero nos hacemos un ocho a la hora de elaborar objetivos acitudinales, sea porque pensamos que obligatoriamente tiene que ser una reflexión o que no vemos la conexión.

Por casualidad, esta mañana me pongo a ver varias reliquias del siglo pasado que encontré en el salón donde imparto mi práctica docente. Me pongo a hojear la "Guía del Maestro para el curso 'Introducción al Álgebra' ", del Departamento de Instrucción Pública (ahora Educación) de Puerto Rico, el cual data de 1987 (el año en que nací), cuando de repente me encuentro con los objetivos del curso. Estaban los generales, pero también incluían los actitudinales, superando a los otros en cantidad por más de la mitad.

Ahora comparto para todo maestro, profesor, educador y estudiante de educación matemática estos 16 objetivos, donde demuestra que el estudiante pueda amar las matemáticas.

Algunos objetivos actitudinales para el aula de matemáticas:
Al finalizar (la clase /el curso) los estudiantes estarán capacitados para:
  • Apreciar la claridad del lenguaje matemático.
  • Mostrar deseo de lograr exactitud.
  • Desarrollar sentido de satisfacción por el trabajo realizado.
  • Demostrar respeto por el conocimiento.
  • Desarrollar el hábito de analizar una situación hasta llevarlo a sus componentes.
  • Desarrollar el deseo de buscar la verdad.
  • Demostrar respeto por la minuciosidad al desempeñar una tarea.
  • Desarrollar el hábito de concentrarse en una tarea dada.
  • Apreciar el rigor matemático.
  • Desarrollar una mente alerta.
  • Apreciar el valor de las matemáticas en todo el quehacer de la vida diaria.
  • Apreciar la belleza y el poder del proceso matemático.
  • Desarrollar eficiencia en el razonamiento matemático.
  • Desarrollar habilidad para seguir una sucesión de implicaciones.
  • desarrollar el sentido de respeto hacia la opinión de otros.
  • Sentir satisfacción por ayudar a otras personas para alcanzar metas positivas.
Pronto les mostraré más información valiosa que encontré de ese libro, así que pendientes.
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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.

Monday, April 18, 2011

Atravesando el mundo complejo

"Mapa de los números complejos"
© Fabian Fucci


El animador e ilustrador argentino Fabián Fucci ha diseñado una proyección cartográfica del universo numérico complejo, representado por el diagrama de árbol. Pero más que un simple mapa observo que viéndolo del sentido educativo, darse una caminata para conocer la nación numérica es casi equivalente a dominar los estándares de Numeración (saber sobre cada uno de las villas y poblados) y Operación (poder interactuar entre los elementos de dichas villas).

Todo estudiante pasa sus años elementales conociendo el espectro de los enteros no-negativos y los fraccionarios, dominando los conceptos de suma, resta, multiplicación, y división. Después de eso los sueltan a los rincones oscuros de los racionales, aquellos que son negativos y puedan aplicar nuevas reglas con los signos, aplicándolos a sus conocimientos previos. Mientras eso sucede, se enfrentan al mundo real en localidades exóticas como π y √2. Y aquellos que les permiten atravesar a la isla imaginaria, podrán ver que las operaciones a + bi actuán como los radicales y las variables, lo único con diferentes costumbres, como la racionalización y los conjugados. Todo esto antes de cumplir los 16 años.

Ahora que había estado revisitando ciertos lugares, puedo observar que la travesía es una árdua y que requiere esfuerzo y esmero, pero con un poco de práctica y dedicación, toda persona se peude convertir en amos de la tierra numérica.

Pueden ver las obras de Fucci en DeviantArt.
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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.

Sunday, April 17, 2011

El Álgebra Superior de 1990 es la Aventura Matemática de hoy.

Durante el mes de febrero les conté sobre mi biblioteca personal, y de algunos libros con los cuales quisiera reencontrarme, los cuales puede ver en el album "Cacería de Libros Matemáticos" en el fan page del blog en Facebook.

Recientemente me encuentro con una de las compañeras de clase de metodología, que trabaja como maestra en un colegio privado, y me dice que tiene unos libros que me iba a regalar. Me llevo desde el colegio al Colegio 13 libros, entre los que pude llevarme en la mochila y cargados en una caja, caminando a pie 10 minutos. Con los libros añadidos a la colección, pude llenar el anaquel:




Verificando los textos encontre varias cosas: un boleto de Loto de 1995, una pre-matrícula de prepa del RUM, y esta carta escrita exactamente 21 años atrás:



Escrita por el representante educacional, para la publicadora Scott-Foresman, Victor Coira, presentaba a profesores universitarios y a docentes la oportunidad de examinar un libro nuevo llamado Álgebra Superior 1. Claro está, dicha carta estaba dentro del texto mencionado.



La portada y contraportada son refrescantes y coloridas como los anuncios de la época. Me agrada el hecho de que en la época de los ochenta y noventa, las casas publicadoras tenían oficinas regionales en Puerto Rico y dejaban a los profesores y educadores de las universidades boricuas colaborar en la traducción, adaptación y publicación de libros. La única casa publicadora internacional que todavía existe, que me recuerde, es Santillana.



Bueno, siguiendo con el tema. Para poder usar el libro con efectividad, el estudiante debía haber pasado un curso de álgebra y uno de geometría; además de conocer sobre lógica proposicional y conjuntos. Honestamente ahí limitaba el uso del libro a uno de referencia, u obligatoriamente dar lógica antes de explorar los temas del libro. Más aún, por conocimiento propio: cuando las matemáticas no se daban integradas, Álgebra Elemental y Álgebra Intermedia (si es que se enseñaba) se daba de corrido y después se les enseñaba Geometría; por ende, el texto quedaba la mayoría de las veces para el uso personal del maestro.

Ahora que estamos en la onda del recuerdo, voy a remontarme al 2002, cuando tomé mi curso de Álgebra Superior en décimo grado. Al estar en un grupo avanzado y ya haber tomado Á. Elemental y Á. Intermedia con temas de geometría, estábamos listos. Guiándome en los capítulos del libro, se cubrieron todos los capítulos excepto radicales y complejos. Mientras tanto los cursos regulares estaban buscando los valores de x en ecuaciones lineales.

Llegamos al presente, donde los estándares y expectativas nos obligan a dar los temas mencionados anteriormente a la población general en escuela pública en décimo. Y su usted no lo sabía, poco a poco los tópicos de Álgebra Superior están siendo requeridos para graduarse tanto en la isla como en algunos estados del USA. Pienso que se están esmandando un poco; porque al final aquellos que pasan los cursos de seguro harán tabula rasa y al volverlo a verlo en los cursos básicos universitarios (si es que van a la universidad) estarán tan perdidos como en sus años de prepa.

Si usted no quiere leer todo esto, se lo resumo:
El álgebra superior que se daba en las universidades en los 1990's era el álgebra reservada para los cursos avanzados en las escuelas superiores, y que ahora es la matemática integrada que toma todo estudiante que entra, sin tomar consecuencias en el asunto.
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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.

Saturday, April 16, 2011

Ilustración matemática (Entrada #200)



La imagen de arriba, hecha por Richard Bartlett, Jr., es lo primero que ves antes de comenzar a explorar los capítulos del libro "Álgebra: Curso 1" (Fehr-Carnahan-Beberman, 1962, D.C. Heath & Co.). Al día de hoy la frase descrita abajo tiene vigencia, con la única diferencia de que en vez de otros campos, diría todos los campos.

Poco a poco le hemos mostrado que la matemática está donde menos lo esperabas, como cuando los grafos y Gauss aparecieron discretamente en la clase que tomé de sociología; o que la palma de tu mano puede ser un cuadrante del círculo unitario, además de calcular senos y cosenos con los dedos; ahora más que estoy comenzando mi camino en la futura docencia.

Éstos últimos meses he estado ordenando, preparando y planificando el trayecto conceptual que estaría utilizando para mis clases, cuando en realidad muchas de las ideas salieron al momento, como la integración curricular, el recolector de dudas, y el Proyecto Especial de Matemáticas. han sido meses donde he estado tratando de sacarle el pensamiento crítico y razonamiento a mis estudiantes, ya que en un año tendrán que tomar las PPAA y quiero que las pasen (aunque esté en contra de dichas examinaciones).

Especializarme como un maestro de matemáticas de secundaria es una árdua labor que podría usar unas cuantas armas de la enseñanza extra para evitar futuras bajas y fracasos, pero esta labor de educar es una labor de amor. Hay que estar al día en las destrezas, pero no está mal en recordar el pasado. Y recuerden siempre: Matemáticas = Vida.

P. S. Los enlaces que usted ve por esta entrada son la selección de mis 20 entradas favoritas que fueron hechas después de la #100.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.

Friday, April 15, 2011

La educación matemática estadounidense (y por ende puertorriqueña) a través de las décadas

1950: Aritmética
Un leñador vende un cargamento de leña por $100. Su costo de producción es 4/5 partes del precio. ¿Cuál va a ser su ganancia?
1960:
Un leñador vende un cargamento de leña por $100. Su costo de producción es 4/5 partes del precio, ó $80. ¿Cuál va a ser su ganancia?
1970: "New Math"
Un leñador intercambia un conjunto L (leña) por un conjunto D (dinero). La cardinalidad del conjunto D es 100. cada elemento es equivalente a un dólar. haga 100 puntos representando los elementos del conjunto D. El conjunto C, el costo de producción, tien 20 puntos menos que el conjunto D. Representa el conjunto C como un subconjunto del conjunto D y conteste la siguiente pregunta: ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto G (ganancias)?
1980: "Back to Basics"
Un leñador vende un cargamento de leña por $100. Su costo de producción es $80 y su ganacia es $20. Su asignación: Subraye el número 20.
1990:
Al cortar los bellos árboles del bosque, el leñador logra $20 ¿Qué usted piensa de su forma de vida? ¿Cómo las aves y ardillas se "sintieron" al ver al leñador cortar los árboles? No existen respuestas equivocadas.
2010:
A lumberjack sells a truckload of lumber for $100. His cost of production is 4/5 of the price. What is his profit?
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Traducción y adaptación de "Evolution of Arithmetic Tests" - [trottermath]

Si quieren saber sobre la historia de la educación matemática del siglo XX, tanto en Puerto Rico, como en Estados Unidos, vea las siguientes páginas:
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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez

Wednesday, April 13, 2011

Pensamientos estadísticos

Muchos de los conceptos te hacen pensar dos veces al escuchar como se llaman por primera vez,


como el diagrama de árbol,



y la gráfica de caja y bigote.

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez

Sunday, April 10, 2011

Algeróbicos o bailes funcionales


via [In Web We Trust]

Aunque parezca raro, los estudiantes prefieren levantarse y moverse en las clases, que estar sentados tomando la lección. Por dichas razones, podemos hacer estos ejercicios de estiramiento, no solo para eliminar dolores, sino tambien para aliviar la memorización de funciones.

Fijémonos en las cuatro funciones del medio (valor absoluto, lineal, cuadrática, círculo). Cada una simula una acción y se puede codificar con dicha acción.
  • Al valor absolutlo lo llamo el aleteo, ya que ambos brazos suben y bajan al unísono como las aves al planear.
  • Hablando de planeadores, la función lineal es parecido al juego del avioncito, ya que ambos brazos se mueven en línea recta (como el avión), cambiando la función a creciente, decreciente o constante, debido a la inclinación que le pongan (pendiente).
  • La función cuadrática te dice "¡Manos arriba, para que puedas atrapar la pelota!" ; mientras que el círculo forma el aro para encestarla.
Podríamos formar más asociaciones kinéticas con las funciones, pero quisiera que pensaran en las funciones.

Wednesday, April 6, 2011

Ferretería Matemática: Otra forma de demostrar geométricamente el Teorema de Pitágoras

La lección de introducción al Teorema de Pitágoras en muchas ocasiones es la teórica (dar la fórmula seco y venteao, con solamente decir que se usa en triángulos rectángulos), o la demostrativa tradicional, mediante la geometría, de dibujar los tres cuadrados (a^2, b^2, c^2) con unidades de cuadritos de 1·1, y luego contar si la suma de los cuadritos de a^2 y b^2 son iguales al de c^2.

Existen otras demostraciones donde se utilizan los triángulos rectángulos para formar c^2 y luego descifrar que resulta de la suma de los cuadrados de los catetos a y b.



Estamos mirando la demostración del otro lado, entiéndase: la tradicional prueba que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa; mientras que con la imágen de arriba estamos demostrando que el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos.

Usted puede preparar un kit de demostración.

Materiales:
  • una hoja de papel
  • tijeras
  • regla
  • decoración
Procedimiento:
  1. Doble el papel dos veces, un doblez vertical, y luego otro horizontal. Cerciórese que queden los dobleces perfectamente alineados.
  2. Triángulos rectángulos: Con las tijeras, recorte en diagonal, en la esquina donde los papeles quedarán sueltos luego del recorte, formando cuatro triángulos rectángulos exactos
  3. Cuadradito: Con la regla mida cada uno de los catetos de uno de los triángulos. la medida de cada uno de los lados del cuadradito será |b-a|. De ahí, recortas el cuadrado.
  4. Sigue el procedimiento de la imagen y listo.
Útil para clases de nivel secundario, aunque a veces es sorprendente ver las caras de los universitarios cuando observan la "magia".

Sunday, April 3, 2011

El pueblo habla sobre las PPAA (Opinión)

El pasado viernes 1ro de abril del año en curso, las escuelas públicas de Puerto Rico están administrando a estudiantes de 3ro, 4to, 5to, 6to, 7mo, 8vo, y 11mo grado las PPAA (pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico), cuatro (y en algunas cinco) examinaciones estandarizadas para conocer cuan dominantes los estudiantes se encuentran en las áreas de matemáticas, español, inglés como segundo idioma, y ciencias. Como parte de mi práctica docente, nos ofrecieron la oportunidad de colaborar con los maestros de grado 11 en la administración de las PPAA.

Por casualidad, este año cambiaron el orden de las materias, y ofrecen la prueba de matemáticas en vez del ya tradicional curso de español. Durante las dos sesiones de 75 minutos , observé que las PPAA no eran como en años anteriores. La hoja de contestaciones solitarias capaz de solamente llenar círculos con lápiz número dos había sido alterada. Ahora teníamos selección múltiple mezclado con problemas verbales, cuales soluciones tenían que ser escritas verbalmente en espacios en blanco numerados o cuantitativamente en espacios aburbujados (con un punto decimal de regalo). Este ha sido uno de los pocos aspectos positivos de la prueba, ya que creo que es más demostrativo cuando el alumno escribe su respuesta, en vez de ciegamente escoger una alternativa, aunque se tardaría más tiempo.

La realidad del caso es que las PPAA parece que están hechas para que el estudiante fracase y se le culpe al docente por el resultado. Conozco a maestros responsables que siguen con detenimiento los Estándares de Contenido y Expectativas de Grado, pero con todo y eso, parte de los ejercicios que les dieron y preguntaron, tanto al administrador como a mi, parecían hechos para Pre-Cálculo a nivel universitario. Por algo pusieron matemáticas primero, si el DEPR sabe exactamente el psiquis de la mayoría de sociedad occidental de la materia; se desaniman, y hacen pobremente las otras tres. Inclusive, las pruebas de práctica de ciencias contenían temas de física, lo cual serían tres ciencias, incluyendo biología y química, de tal forma que alumnos de 11 dominan dos terceras partes de la prueba o más (dependiendo de cuanta física se ofrezca).

El contrincante más grande que ha tenido el actual Secretario de Educación, y defensor de las PPAA, Jesús Rivera Sanchez, ha sido el mismo pueblo. Es raro que rápido que comenzaron los aires de boicot, el gobierno gasta una millonada en promocionarlas. Es más, Jesus recluta a 17 estudiantes de una de las escuelas que logró salir del hoyo que llamamos plan de mejoramiento, para que fuesen los profetas de su palabra, con todo y programa especial en televisión abierta y visitas a los planteles escolares. En las últimas semanas esa campaña mediática se puso agresiva, tirándole indirectamente a los padres y maestros opositores de las pruebas estandarizadas. Hasta que llegamos a la hora cero.

Veamos lo que dice el pueblo y la comunidad bloguera al respecto:
PODER 5, blog especializado en el quinto poder boricua, comenta sobre como el DEPR ve a los responsables del fracaso a maestros y directores, y evidencia parte de la campaña mediatica en un rotativo del país.

El mismo periódico fue el único que reportó sobre una trabajadora social que sufrió una crisis nerviosa tras ser interrogada por alegadamente robarse tres pruebas el viernes. Es ilegal apropiarse de las pruebas que los estudiantes hacen, pero veo raro que ella fuese directamente a la boca del lobo a ser atrapada. Puede ser que ya le había sacado copia y por eso, la tuvieron que interrogar. Aquí parte de los comentarios que debemos considerar:
  • "Estas pruebas no están alineadas con los textos del grado. No envían a los salones de clases materiales como cuadernos con tareas y ejercicios que estén alineados con los estándares de las materias. Pero pagan millones de dólares a unas compañias para que le den tutorías por dos meses con materiales alineados. Por qué no invierten ese dinero en la sala de clases?"
  • "Esta noticia no está clara, si se alega que robó unos formularios, ¿cómo sucedió esto? o fue antes de hoy lo que quiere decir que los materiales para la prueba estaban sin custodia, culpa del Director Escolar. Si fue hoy, y dejóndose llevar por la hora que se pone el titular esto no necesariamente puede ser robo, pueder ser que algunos documentos que se entregan junto con las pruebas administradas no aparecen y a ella se le culpa, pero ¿no se supone que la prueba era hasta las 11:30 a 12:00? Si al momento de entregar NO había nadie por irse a almorzar, y la TS se llevó los documentos para fuera de la escuela por ignorancia, entonces TAMBIÉN esto negligencia del Director Escolar. Por estas razones no me cuadra algo de esta noticia. Aparentemente aquí hay mala comunicación en esa escuela y obtaron por reportar como una irregularidad este incidente y Chuito por darse importancia lo llama robo."
  • "Segun la Facilitadora el unico acomodo razonable a un estudiante es un lector, en un salon aparte, pero para los demas con Problemas Especificos de Aprendizaje el unico acomodo era tomar las Pruebas con el resto. En esta categoria de PEA se mete a todo el mundo para no darle los servicios que tienen derecho. Ponen PEA como un diagnóstico poero no ESPECIFICAN cuál es el impedimento."
  • "En mi opinión, estas pruebas están hechas para que los estudiantes fracasen. Hasta los propios maestros de matemáticas se quedaron en blanco cuando los estudiantes le reclamaron cómo ellos podían hacer unas destrezas de matemáticas que a ellos no se les había enseñado. (lo digo por quejas tanto en elemental como en superior) ¿Error de los maestros o lo que se dice hace tanto tiempo sobre que las pruebas no son la realidad de lo que se enseña en los salones de clase?..."
  • "... la realidad social y cultural de las escuelas públicas es otra, donde un gran porcentaje del estudiantado no se interesa en su educación, no le ven importancia a las pruebas y las hacen a lo loco porque saben que no tiene valor en su nota, muchos de estos estudiantes sin apoyo y supervision en el hogar. Si fuese por el dinero, creeme que todas las escuelas las hubiesen pasado, el problema es otro, es un error pensar que el resultado de las pruebas es un espejo del maestro...NO, los resultados son un espejo del estudiante...aprende algo hoy...son un espejo del estudiante. Y si el estudiante no recibe la educacion en su hogar, y pone de su parte, la escuela, los maestros no pueden hacer milagros...recuerde la educacion es una combinacion: hogar+escuela+comunidad+estudiante... Entonces es cuando ocurren actos desesperados como el de esta persona...porque saben que el mismo gobierno tiene tu mentalidad...que el resultado de las pruebas puertorriqueñas son un espejo del maestro...y no es asi...son mas los aspectos a analizar...el hogar, el estudiante, la comunidad, la escuela y o ambiente escolar, etc...el resultado de una prueba puede tambien ser el espejo de un hogar disfuncional, de una sociedad corrompida, de una cultura que piensa en cantidad y no calidad, etc, etc Se educa a nuestros niños no por 3,000 dolares, sino para una enseñanza de calidad, y que aprenda el que le interese su educación, el que no, pues...lamentablemente ese es el futuro del mañana. "
  • "Sólo usan esa prueba para evaluar al estudiante y al maestro. Y quién evalúa a los que dirigen el gobierno y el DE? Nadie. "
  • "Y quien es el que esta a cargo de dar seguimiento de las destrezas que se dan en la clase? el maestro? El maestro no puede llegar a la casa del estudiante y asegurarse que estudia, que analiza, que practique...esa es la labor de una madre o de un padre. Porque niños llegan hasta a kinder sin saber utilizar ni el toilet? porque llegan a grados intermedios sin saber ni sumar, ni dividir, ni multiplicar? porque el maestro le enseño mas que a memorizar??? o porque no hubo seguimiento en el hogar?"
  • "Se de maestros que le leen la prueba a los estudiantes, les escriben ejemplos en la pizarra, les dan e insinuan las respuestas, le llaman ayuda individualizada a proveer o insinuar respuestas, les anotan resultados, les hacen los procedimientos, les explican los conceptos durante la prueba, etc, etc, y muchas de estas situaciones confesiones de estudiantes en escuelas que sacan 100 en resultado. "
  • "Ella no se robó ningunas pruebas. Simplemente iba a las oficinas de superintendente. No sé a qué pero el desespero la llevó a eso. Las pruebas son superdifíciles que ni el mismo Sec. de Educ (podría hacerlas). Todo es razonamiento y análisis, solución de problemas. Equivalencias de sitemas métrico a sistema inglés, medidas, en masa, volumen,álgebra, gráficas de pares ordenados, hablándole de gramos, kilos, cuando en PR apenas se usa esas medidas. Aquí la mayoría de las veces el Sistema Inglés. Eso fue en 5to grado"
  • "Estas Pruebas son una verguenza...este año saldran peores, y el año siguiente y el siguiente etc. No es que no las den, es que deberian de utilizarlas con valor numerico, ya sea para pasar de grado o para combinarlo con la nota, a ver si asi los padres apoyan mas el proceso...y los estudiantes le dan + imtpcia..tengo estudiantes que ni lapiz trajeron, ni siquiera merienda, gracias a Dios, que compré de todo, hasta chubs para mis estudiantes, ya que sus padres piensan mas que en pajaritos preñados"
  • "Las pruebas son irreales porque estos estudiantes estan tan inmersos en la tecnologia y en otras cosas que no son capaces de razonar, de inferir, de pensar con logica, son vagos hasta para leer, se aproximan las de español e ingles, y con esas lecturas tan largas, ellos se frustran y empiezan a adivinar. Si en la casa no los sientan a hacer sus asignaciones, estan mal acostumbrados a la vagancia, y se refleja esto en el resultado de las pruebas. No quieren pensar, ni aprender"
  • "En las pruebas de octavo dan ejercicios de demostracion de teoremas de geometria, este tipo de tema se da en onceavo grado no entiendo porque lo dan en las pruebas de octavo, no esta en los estandares, hasta los estudiantes de onceavo undécimo grado se les hace dificil demostrar teoremas, incluso se le hace dificil a los estudiantes de universidad."
  • "He leído varios comentarios y quisiera opinar. Estas pruebas tienen un solo propósito: demostrarle al gobierno americano que nuestros estudiantes son cada día más ignorantes y que necesitamos más fondos con la esperanza de que alguna vez puedan compararse con niños blancos norteamericanos. Y como eso no es posible por el diseño de las pruebas pues van a tener que privatizar las escuelas para que una agencia privada se robe los fondos y comparta con el gobierno de turno. Se les ve la cosura... "
  • "...los textos viejos que tiene el DE no están alineados con los nuevos estándares. Deben de hacer una nueva alineación con nuevos programas,cuadernos en módulos donde se vayan preparando esos estudiantes. Muchas veces no hay ni donde sacar una copia para tareas para los estudiantes. Prepararlos de tal manera donde razonen, analicen, lleguen a conclusiones...y debe de ser desde el kinder hacia arriba. Que se vayan desarrollando esas destrezas al nivel de cada grado."
  • "En realidad los estudiantes no necesitan aprender a demostrar teoremas a menos que quieran estudiar matematica pura, lo que necesitan es matematica aplicada. Se le enseña a demostrar teoremas en onceavo undécimo grado porque es la unica y verdadera manera de enseñar geometria y en el nombre del formalismo y rigurosidad matematica."
  • "Maldita sean las dichosas pruebas. No van alineadas a lo que se da en los currículos de las clases. Las de matemáticas de grado 11 incluían tópicos y problemas que se dan en la universidad. Están destinadas a que los estudiantes fracasen, dejarlos ver como ignorantes y que los maestros no saben impartir sus clases. Aquí ganan las empresas que contratan en el plan de mejoramiento que se ganan miles de dólares."
  • "...si ahora hay tremendo merecumbé por las PPAA, yo no quiero ni imaginar lo que pasará con las Pruebas PISA y de esas si que no nos salva nadie...ni las van a construir maestros puertorriqueños. Dios nos coja confesados..."
  • "El DE tiene una responsabilidad mas alla de decirle al maestro cuales son los estandares y las expectativas, y a Dios que reparta suerte. El maestro puede comprar libros de consulta y buscar por internet, pero siempre habra lagunas. Lo logico es que antes de un cambio curricular se ofrezcan talleres, no de los mismos teoricos o de temas generales, sino del nuevo contenido."
  • "Fijense no me quejaría del contenido de las pruebas porque se supone que los estudiantes puedan trabajar con ese tipo de ejercicio...el problema consta en que se podra uno matar buscando material, gastando de nuestro dinero para ello ya que el dpto no provee nada actualizado, por lo menos no en mi caso, pero si no hay refuerzo en la casa, si le llegan a uno con miles de lagunas y deficiencias es una cadena del nunca acabar. Y si, los podemos colgar, para hacer la diferencia y que alegadamente pase cuando aprenda las destrezas...pero el mismo departamento los pasa con las pruebas de ubicacion...entonces porque culpan a esos maestros que los pasan raspando (no que los justifique) si mas adelante, ellos mismo lo haran... se de estudiantes que no saben ni multiplicar y los pasaron a dos y tres grados adelantados..."
Finalmente, si usted tras leer todo no entiendo este meollo, Elco Lao te lo explica desde un punto de vista político, incluyendo una inmersión en el mundo matemático.

Friday, April 1, 2011

Capicú relojero

Carbon Design Group ha confeccionado un reloj para los fanáticos del dominó. Dicha obra pone en la sala de su hogar tres dominós grandes que te dan la hora ante o post meridiana como un reloj digital; lo único que en vez de las doce sería las doble seis y dos chuchas.



Ahora, si fuésemos a hacer un reloj-dominó con los paquetes de dominó doble seis (28 piezas), necesitariamos a lo más 3 paquetes para sacar las fichas del reloj, pero solamente utilizaríamos 28 piezas para hacerlo funcionar (23 + 4 + 1) si las fichas relacionadas al número pueden tener variantes en la combinación (suma). De lo contrario, si todas las fichas del número son estrictamente de la misma combinación cada una, la distribución de fichas por paquete cambia (13 + 10 + 5). Pruébelo usted mismo.