El Triángulo de Pascal: la herramienta multiusos de los matemáticos

¿Se acuerdan de la serie estadounidense MacGyver, en donde el personaje titular utilizaba sus conocimientos de química, física, e ingeniería para resolver las crisis que se le encontraban en su camino con baja tecnología? MacGyver nunca usaba armas ni aditamentos, solamente traiga consigo una navaja suiza y cinta plateada.

Loa matemáticos tenemos también una navaja suiza capaz de ayudar en diferentes campos de la matemática. Dicho aditamento fue nombrado en honor al matemático, físico, filósofo, y teólogo francés Blaise Pascal, aunque ya conocido por anteriores civilizaciones griegas, italianas, chinas, hindúes, y persas. Les hablo del Triángulo de Pascal.

Brevemente explicado en este blog en enero del año pasado, sin saber el porqué de las filas numeradas, el Triángulo de Pascal tiene mucho más usos que poner los coeficientes del binomio (x + 1)^n; con n comenzando desde cero:

1 [Fila n = 0]
1 1 [Fila n = 1]
1 2 1 [Fila n = 2]
1 3 3 1 [Fila n = 3]
1 4 6 4 1 [Fila n = 4]

...

Muchas utilidades existen para este dínamo: aritmética (el patrón del bastón de hockey, las potencias de dos, y las del once), geometría (número de puntos en un círculo, números poligonales), álgebra (potencias de binomios), combinaciones, la secuencia Fibonacci y el número áureo, divisibilidad/números primos, hasta el triángulo de Sierpinski se encuentra. Ésto es solamente las aplicaciones básicas y a simple vista, explicadas en la página All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle (Todo lo que tiene que saber sobre el Triángulo de Pascal).

De Pascal a Leibniz

Una de las propiedades que no menciona la pógina es la de convertir el Triángulo de Pascal al Triángulo Armónico de Leibniz, del cual su diferencia fundamental es que los números de cada fila se consiguen de abajo para arriba. Vamos a explicarlo:

Tenemos el Triángulo de Pascal. Sabemos que cada fila comienza y termina con uno y que consigues los terminos de la fila siguiente sumando los dos números que están arriba de éste:

1 [Fila n = 0]
1 1 [Fila n = 1]
1 2 1 [Fila n = 2]
1 3 3 1 [Fila n = 3]
1 4 6 4 1 [Fila n = 4]
1 5 10 10 5 1 [Fila n = 5]
...

Paso 1: Sustituya cada elemento de la fila con su recíproco:

1
1 1
1 (1/2) 1
1 (1/3) (1/3) 1
1 (1/4) (1/6) (1/4) 1
1 (1/5) (1/10) (1/10) (1/5) 1
...

Paso 2: Multiplique cada fila por 1/(n + 1), basado en el valor de n en cada fila

[1] * (1/1)
[1 1] * (1/2)
[1 (1/2) 1] * (1/3)
[1 (1/3) (1/3) 1] * (1/4)
[1 (1/4) (1/6) (1/4) 1] * (1/5)
[1 (1/5) (1/10) (1/10) (1/5) 1] * (1/6)
...
[1 (1/n) ... (1/n) 1] * (1/n)

Al final, el triángulo armónico debe quedar de la siguiente forma:

1
(1/2) (1/2)
(1/3) (1/6) (1/3)
(1/4) (1/12) (1/12) (1/4)
(1/5) (1/20) (1/30) (1/20) (1/5)
(1/6) (1/30) (1/60) (1/60) (1/30) (1/6)
...
(1/n) 1/[n * (n-1)] ... 1/[n * (n-1)] (1/n)

Entre las propiedades del triángulo armónico se encuentran que la suma de los elementos de cada fila n siempre va a resultar uno, y la forma de conseguir los elementos de las filas de abajo es diferente a la de Pascal (restando y luego buscar el valor absoluto). Pero la más importante es que la suma de la segunda diagonal (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... 1/[n*(n + 1)] = n/[n+1]) es la serie leibniziana, mientras que la primera diagonal es la serie armónica.

Como pueden ver las posibilidades de sacarle usos a una secuancia numérica como el Triángulo de Pascal son tan infinitas como los artefactos que creó MacGyver para salir de aprietos.

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Esta es la segunda entrada hecha para la X Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a La Ciencia de la Mula Francis