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Friday, April 29, 2011

Cuando la raíz cuadrada se calculaba a papel y lápiz

El currículo de matemáticas es uno siempre cambiante, sustituyendo las bases del conocimiento que se quiere que el estudiante adquiera, como el cambio a un pensamiento más algebraico. Cosas como la enseñanza de la multiplicación ha cambiado de una tradicional, con requerimientos de cambiar el switch entre multiplicación y reagrupar sumas, a utilizar los productos parciales, donde solamente tienes que saber las tablas de multiplicación básicas hasta 9 × 9, multiplicar potencias de 10, descomponer ambos factores en sumas de potencias de 10 y sumar; con la propiedad distributiva opcionalmente.

Ejemplo: 36 × 45 sería:
36 × 45
(30 + 6) × (40 + 5) [descomponer los factores en sumas]
(30 × 40) + (30 × 5) + (6 × 40) + (6 × 5) [distributiva]
1200 + 150 + 240 + 30 [multiplicar]
1620 [suma]
Al menos sabemos que las enseñanzas básicas de multiplicación se han transformado, pero otras técnicas se han quedado en el olvido, como hallar la raíz cuadrada de un número por el método del algoritmo tradicional.

Todavía en las escuela se les enseña a los jóvenes aproximar las raíces cuadradas pero solamente para que ellos sepan su posición en la recta numérica; eso o solamente saben que √2 ≈ 1.41 y que el resto de los valores decimales están en una tablita. Miren la expectativa asociada para los estudiantes de Puerto Rico:

N.SN.7.1.4 Determina (sin calculadora) entre qué dos enteros se encuentra la raíz de un entero que no es un cuadrado perfecto y explica porqué.

Y es rara la ocasión que se enseñe el método tradicional, y más la versión de "divide y promedia".

"Divide y promedia" se trata de dividir el radicando por la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que esté más cercano al radicando. De ahí se promedia la raíz con el cociente resultante, para luego volver a dividir el radicando, esta vez por el promedio resultante. De no ser el cociente aproximadamente igual al divisor, se vuelve a promediar, y así repitiendose en un ciclo.

Creo que con un ejemplo se explica mejor: Hallar √8 por "Divide y promedia", redondeando a la centésima más cercana.
8 está cerca del cuadrado perfecto 9, por eso dividimos 8 por 3:

8 ÷ 3 ≈ 2.67

Entonces promediamos entre 3 y 2.67:

(2.67 + 3) ÷ 2 = 2.84

De ahí volvemos a dividir 8, en esta ocasión por 2.835

8 ÷ 2.84 ≈ 2.82

Promediamos de nuevo:

(2.82 + 2.84) ÷ 2 = 2.83

Dividimos de nuevo

8 ÷ 2.83 ≈ 2.83

Como ya encontramos dos divisor y cociente aproximadamente iguales, podemos estar seguros que √8 ≈ 2.83.
Q.E.D
Y ese método era nuevo para 1990, porque el método tradicional era largo y tedioso que hasta decimales enredaba adentro del radicando.






Algoritmo para determinar la raíz cuadrada de un número
Fuente: Introducción al Álgebra: Guía para el Maestro (DIP-PR, 1987)


Gracias a los avances tecnológicos, los estudiantes no tienen que estar 10 minutos buscando raíces, sino sacarlo en la calculadora solamente en 10 segundos. Lo bueno de esto es que temas como éste quedan solamente para diversión (?) y en el recuerdo de aquellos que pasaron horas en asignaciones.

4 comments:

Beato said...

Ese metodo fue el que me forzo a aprender el Hermano Mediavilla en mis dias de Maristas. Lo vi de nuevo en la Enciclopedia Universal, cuyo capitulo de matematicas es bien enfocado a geometria y drafting.
El hermano Mediavilla me hizo aprender de memoria los cuadrados del 1 al 25. No sabras lo util que es para mis computos constantes de areas y volumenes en los dise/nos de agua.

Beato said...

sorry, mismo ejemplo aqui:
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/algoritmo_raiz/algoritmo_raiz.htm

JavierOmar said...

Saludos beato.

Todavía hay que memorizarse los cuadrados perfectos y sus raices, hasta los primeros diez cubos perfectos, así lo hice con mis estudiantes.

Esos si, el método que aparece en la página que pusiste ahora lo reducen más todavía a hallar la raiz cuadrada entera, el cual se basa en restar el cuadrado perfecto más cercano del número para así hallar el residuo y expresarlo como una suma, igual como sale en la página.

Ej: 28 = 5^2 + 3

Pero yo pienso que si tienen que resolver una raiz cuadrada desconocida, encuentren la factorización prima para sacar la raíz perfecta y utilicen la tabla (con solamente raices de números primos) para convertir la raíz no-perfecta en un decimal para multiplicarlo y hallar la aproximación y verificarla.

Ej: √28 = √4 · √7 ≈ 2 · 2.646 = 5.292 ≈ √28

Beato said...

Me paso bromeando en la oficina que voy a auspiciar un curso titulado: Fundamentos del Marroneo. La aproximacion como modo de vida del ingeniero.
A veces pienso que al tener toda la informacion disponible a par de teclazos se pierde de perspectiva el concepto. O como usar una buena aproximacion a estar dos horas haciendo iteraciones.
Ese es un tema que vale la pena desarrollar en la alcantarilla.
Sobre el certamen...luego vere las reglas. Soy mas ingeniero que matematico. Considera las vacas esfericas...
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cow