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Friday, December 31, 2010

Una última relojeada al 2010


imagen por Nemanja Djordjevic
[via]


De las infinitas veces que hemos hablado de relojes por el año, me topo con uno, justo a minutos de terminar el 2010 (y para mis lectores que ya están en el 2011, Feliz Año Nuevo). Nemanja Djordjevic no solo hace la imagen, sino nos regala un patrón para hacer tu propio reloj para matemáticos con un reloj de pared o despertador análogo, del cual pueden cambiar de tamaño al ser una imagen en vector. Lo pueden bajar aquí.

Gauss y los grafos aparecen discretamente en mi clase de sociología (Entrada cuasi personal)

---------PARTE PERSONAL - MARCADA ENTRE LAS LINEAS ROJAS---------
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En la tarde del jueves terminó mi semestre de clases en la universidad, tomando dos cursos, Metodología Matemática e Introducción a la Sociología. La razón de tomar la segunda fueron un gran accidente: el encargado de matricularme una electiva libre para completar los seis créditos no quería forzarme en clases que yo quería deveras tomar (como Lógica o Photoshop). Al no tener ninguna opción, acepté el reto. era el único de matemáticas en un universo de 90 personas lleno de futuros psicólogos, sociólogos, historiadores, y dos o tres empresarios, científicos agrícolas, ingenieros, y biólogos que tomaban la clase como electiva sociohumanística recomendada en un salón que se usa para dar clases de física y matemáticas prebásicas.

Ahora viendo el camino desde el otro lado, la experiencia fue excelente y mejor de lo que esperaba: los exámenes eran un mamey gracias a las explicaciones del Dr. Michael González-Cruz, un profesor, mediador de conflictos y defensor de las causas justas de Puerto Rico y Latinoamérica. A veces tenía ganas de tomar una siesta (la clase era a las 12:30 PM, en un salón frío, y casi siempre luego de haber almorzado), pero me gozaba las clases, muchas veces por las mismas opiniones del Dr. González sobre el gobierno y la universidad junto con las conversaciones previas con las amistades formadas.

Honestamente, cuando uno es un estudiante de mate y la clase a tomar es totalmente fuera del espectro matemático, uno se siente que no se puede expresar completamente, especialmente cuando los estudiantes y hasta algunos profesores le tiraban su puya (indirectas) a las matemáticas solamente porque es su kriptonita académica. Pero como dije en otra ocasión: "Todos tomamos y aportamos aplicaciones para que cada una de las concentraciones pueda trabajar con un problema que nosotros no podamos entender" y que "...cada grupo tiene sus fortalezas y debilidades ••• debemos ponernos en sus zapatos y ayudarnos mutuamente en lograr el bachillerato."
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Una de esas experiencias matemáticas dentro del espectro sociohumanístico que es la sociología ocurrió el jueves pasado. Estábamos discutiendo sobre grupos y organizaciones, topándonos en el tema del tamaño de los grupos. Me pongo a ver el impreso de la presentación en Powerpoint para ver un patrón reconocido de inmediato que quizas mis compañeros de clase ignoraron: los números triángulares, con todo y error en la primera parte.



La presentación decía que en un grupo de dos personas se producen 2 relaciones, lo que es cierto (persona 2 → persona 1, persona 1 → persona 2) , pero al ver que cuando le añadías un persona al grupo seguía el patrón visto en la imágen las relaciones se estaban contando una por el precio de dos (persona 1 ↔ persona 2). Además tenía una explicación que decía sobre mayor tamaño el grupo, mayor cantidad de relaciones internas, lo cual resumo junto con todo esto del tamaño de los grupos en esta fórmula:


"la cantidad de posibles relaciones internas de un grupo de n personas"

Dicha fórmula se deriva de la hazaña que hiciera el niño Carl Fredrich Gauss allá para 1783, cuando su maestro de escuela les dijo a sus estudiantes que sumaran los números del uno al cien. de ahí el pequeño de seis años sacó la solución al problema: en vez de estar sumando 1 + 2 + 3 + ••• +99 + 100, realiza que puede alterar la secuencia, agrupando el primero y el último (1 + 100) resultando en 101. De ahí saca lo siguiente:

1 + 2 + 3 + ••• + 99 + 100 = ?

1 + 100 + 2 + 99 + 3 + 98 + ••• + 50 + 51 = ?

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ••• + (50 + 51) = ? [50 pares formados por agrupación]

101 + 101 + 101 + ••• + 101 = 50 (101) = 5050
Q.E.D.
La fórmula final para sumar una cantidad de n cantidad de números en orden del 1 al n es

(n)(n+1)/2

Ahora se preguntarán cómo es posible que la fórmula de Gauss influya en las relaciones internas de grupo. Sencillamente sustituya n por n-1:

(n-1)[(n-1)+1]/2

(n-1)(n)/2 = r

Pero señores y damas, esto no para aquí. El miércoles es que me digno a leer el capítulo 7 del libro Sociología (de Macionis), cuando, no solo me dá la razón en cuanto al error de la hoja de Powerpoint sino que me da una sorpresa discreta:



Aparecen seis grafos simples (grafos con n vértices y hay exactamente una arista incidente con cada par de vértices) representando las relaciones mutuas de cada persona. Como pueden apreciar, cada vertice tiene una arista direccionada a cada persona, y si contamos cada relación de las personas, eliminando las repetidas, nos dará a la cantidad descrita debajo. Inclusive podemos aplicar la fórmula de las relaciones basado en el número de vértices.

Son esos detalles que me hace sentir feliz del haber inursionado en el mundo matemático, porque dnde menos te lo esperes aparece.

Wednesday, December 29, 2010

Cuando hacer cómputos no es suficiente

Uno de los deberes de enseñar matemáticas a nivel superior es el adaptar al estudiante a un razonamiento más amplio y fuera de lo que vea directamente en el papel, que use la lógica y la intuición en dichos problemas y que tome decisiones de la acción a ejecutar previo a machacar números en el papel mediante la computación de la solución. Tengan este problema verbal de tres estrellas como prueba de lo dicho:



Problema (Traducción): "Le tomó a Marie 10 minutos para serruchar un tablón en 2 pedazos. Si ella trabaja con la misma velocidad, ¿cuánto le tomaría a ella serruchar otro tablón en 3 pedazos?"

Solución: El acercamiento que debemos tener al problema es más lógico y no computacional (por eso las tres estrellas). Se le está dando a Marie un nuevo tablón para que cotre en tres pedazos y que trabajará a la misma velocidad, cortando el tablón completamente a los 10 minutos, dejando dos pedazos. Repite el mismo procedimiento con uno de los pedazos (podemos decir que hace lo mismo que el tablón original, pero con uno más pequeño)

¿Qué nos queda al final? Marie cortó los tres pedazos en veinte minutos.

Creo que una representación grafica de la explicación, lo cual recomiendo que los estudiantes hagan, puede explicar mejor y sin enredos, la ejecución de Marie.


Reexplicando: a los cero minutos, Marie ya marcó por donde iba a cortar el tablón nuevo. Empieza a cortarlo hasta que lo logra a los diez minutos, donde marca uno de los pedazos, para repetir el procedimiento, a la misma velocidad, partiéndolo en otros dos en la marca de veinte minutos, resultando en tres tablones.

Si tradujeramos el problema a una extensión de cómputos matemáticos sería convertir el tiempo de Marie en una fórmula:
t = 10(n-1)


donde t es el tiempo total que se tardaría Marie cotrando n cantidad de tablones, sabiendo que se tarda 10 minutos por partir pedazo en dos.

Veamos otro problema, esta vez uno que tuve que resolver para la clase de Metodología Matemática:


Problema: Lo han enviado por agua al río con dos baldes sin marca alguna, cuya capacidad es de 7 galones y 3 galones, respectivamente. ¿Cómo puede llevar exactamente 5 galones de agua a casa?

Solución: Es posible c
on los baldes de siete y tres galones llevar exactamente cinco galones a su casa si sigue los siguientes pasos (en negrilla)
  1. Llega al río con los baldes vacíos.
  2. Llena el balde de 7 galones (B7G) por completo.
  3. Vierta el agua del B7G en el balde de 3 galones (B3G) hasta llenarlo. De esta forma nos quedamos con 4 en el B7G.
  4. Vacía los contenidos del B3G.
  5. Repita el paso 3. Esta vez nos quedamos con un galón de agua en el B7G y con tres galones en B3G.
  6. Repita el paso 4.
  7. Repita el paso 3. Ahora el B7G está vacío y el B3G tiene un galón.
  8. Repita el paso 2.
  9. Repita el paso 3. Como el el B3G tenemos ya un galón, del B7G solamente necesitamos 2. Como el B7G está lleno por completo (7 galones), al vertir los dos galones al B3G, el B7G se queda con 5 galones.
  10. Repita el paso 4.
Explicación gráfica de los pasos:



En el problema de arriba no se requirió computación más allá de suma y resta de primer grado para solucionarlo, . Ahora, tenemos que empezar a darle espacio a problemas verbales de este calibre en el aula de clases, que los ayude a progresar en el razonamiento y pensamiento crítico. El estudiante no se puede quedar cegado por toda la vida machacando una calculadora, sino crear personas que puedan determinar si lo apropiado sin precipitarse de inmediato.

Thursday, December 23, 2010

Fractalizando la Navidad

¿Qué pasaría si matemáticos especializados en teoría de caos se prepararan para la llegada de Papá Noel?

Dos cosas:

1. En vez de muchas galletas con leche, solamente harían una sola galleta con expansión infinita:



La galleta de Mandelbrot
via [squashed]@Tumblr

2. Santa pondría los regalos debajo del árbol de Navidad de Sierpinski.



via [what-a-trip]@Tumblr

Wednesday, December 22, 2010

Los matemáticos celebramos la Navidad dos veces al año...

... en Navidad y Halloween.



El porqué: Por el wallpaper, vemos la igualdad dec 25 = oct 31; donde dec 25 significa decimal 25, o sea 25 en decimal, al igual que tenemos oct 31, que es 31 en octal (base 8). Demostremos por la derecha:

dec 25 = oct 31

dec 25 = (31)8

dec 25 = [(3 * 8^1) + (1 * 8^0)]

dec 25 = [24 + 1]

dec 25 = (25)10

dec 25 = dec 25
Q.E.D
Por eso será que las tiendas por departamento ponen los artículos de Navidad en octubre, y acá en Puerto Rico celebramos Navidades desde septiembre...

En fin, que la pasen bonito con sus familias, gocen un montón, coman y beban con moderación, de parte de JavierOmar y La Covacha Matemática.

Friday, December 17, 2010

El número de Harry Potter


imágen via [itsharrypotter]

Tras el transcurso de los siete libros de Harry Potter, el número siete ha sido uno que ha aparecido en bastantes ocasiones. Aquí algunos ejemplos de el número de Potter en los libros:
  • Harry estuvo 7 años en Hogwarts
  • Hogwarts tiene 7 pisos
  • una varita mágica costaba 7 galeones
  • el juego de quidditch tiene 7 posiciones
  • 7 tareas en La piedra filosofal
  • En el mundo de la brujería y hechicería existen 7 razas: humanos, gigantes, elfos, duendes, hombres lobo, centauros, y veelas
  • Hay 142 escaleras en Hogwarts: 1 + 4 + 2 = 7
  • 7 maestros de la Defensa Contra las Artes Oscuras
J.K. Rowling ya tenía el siete encerrado en la elaboración del libro desde el principio, si el mago al quedar huérfano le cicatrizaron la frente con el siete en la frente junto con su reflexión al eje de x, el cual forma la runa 'suwolo': la promesa de la victoria.



El resto de la lista la pueden leer aquí, donde sale la imágen de arriba.
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Esta es mi tercera entrada hecha para la IX Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a Rescoldos en la trébede de Juan González.

Wednesday, December 15, 2010

Ferretería Matemática: los mapas conceptuales en la enseñanza matemática

Los mapas conceptuales son utilizados para describir gráficamente los conceptos discutidos en la clase siempre siendo el punto más alto en la jerarquía. Se hace fragmentando la definición principal direccionando flechas hacia los conceptos relativos y ejemplos abajo de éste. No se debe confundir con un flujogama (tiene orden de jerarquía, pero su utilidad principal es para organizar los procesos a seguir en una tarea (como el factorizar un polinomio); o un organizador gráfico, que puede o no tener orden, no se rige por las flechas, y abarca más del tema a discutir, sin reducirlo a conceptos específicos.

Como yo utilizaría dicha técnica de avalúo: Basándome en el modelo ECA (exploración, conceptualización, aplicación), el cual se utiliza en las aulas públicas de Puerto Rico, podría darle el máximo uso de los mapas conceptuales en las primeras dos fases. En la fase de exploración, tras los estudiantes dar un torbellino de ideas sobre lo que piensan es la definición del concepto, es responsabilidad del maestro escoger las palabras que va a utilizar para armar la definición del alumno y luego entregárselo de manera correcta en la fase de conceptualización. Otra idea es ya sea entregada de la primera clase pero con espacios en blanco para que los estudiantes puedan explorar. Aquí un ejemplo utilizando la fórmula cuadrática:



En el ejemplo que vemos arriba, se dejó un espacio para que el maestro o los estudiantes demostraran que de ax^2 + bx +c sale la cuadrática completando el cuadrado, destreza que en una clase pasada se les enseñó.

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Ahora le mostramos unos mapas conceptuales matemáticos que serán de utilidad para resumir los temas. Créditos van al anónimo que creó estos mapas y los puso en pdf, porque en realidad me los enviaron por correo.

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ÁLGEBRA
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Números reales
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Números complejos
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Polinomios
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Igualdades/Desigualdades
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GEOMETR
ÍA/TRIGONOMETRÍA
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Triángulos
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Vectores
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Geometría Vectorial Plana
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Trigonometría
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CÁLCULO

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Límites
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Derivada
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Integral
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FUNCIONES

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Funciones
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Funciones trascendentales
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ESTAD
ÍSTICA
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Estadística
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Variables estadísticas de dos dimensiones
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Técnicas de conteo
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Esta es mi segunda entrada hecha para la IX Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a Rescoldos en la trébede de Juan González.

Monday, December 13, 2010

Carta a Buzz Lightyear



texto original (en inglés) via [proofmathisbeautiful]
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Esta es mi primera entrada hecha para la IX Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a Rescoldos en la trébede de Juan González.

Friday, December 10, 2010

Como hacer una espiral Fibonacci

Gianni DiMuzio nos demuestra geométricamente con regla y compás como la espiral de Fibonacci se encuentra en el rectángulo áureo. En el video nos cuanta que "las espirales son formadas al dibujar arcos conectados a lados opuestos de los cuadrados en el tejado de orden Fibonacci".



Aunque con la explicación gráfica se entiende, resumiremos como usted puede hacer la espiral de Fibonacci. Acuérdese que la secuencia de tejas (cuadrados) va acorde a la secuencia numérica (0, 1, 1, 2 3, 5, ...):
  1. Se dibujan dos cuadrados de lado uno conectados por un lado
  2. Con un compás, va a hacer un arco cuadrado de un punto al punto opuesto. Acuérdese que el punto inicial del arco para el cuadrado siguiente es en punto donde paró en el cuadrado anterior.
  3. Conecte un cuadrado de longitud del lado más largo del rectángulo (en éste caso de largo 2)
  4. Trace el arco correspondiente al cuadrado.
  5. Repita los pasos 3 y 4 hasta que esté complacido con los resultados. Recomendamos que lo repita cuatro veces (llege al cuadrado de lado 13), como en el video.
Aplicación al aula de clases: Como clase explorativa al uso del compás, esto es una maravilla, porque así podemos enseñarle que para que los arcos conecten los puntos opuestos, la distancia entre el lápiz y la aguja del compás tienen que ser igual al largo del lado del cuadrado. también se puede adaptar para que los alumnos exploren la proporción áurea, y la misma secuencia Fibonacci.

Tuesday, December 7, 2010

RLFB (XV)


imagen via [monstercentral]@Tumblr


- via [3LambsStudio]@Flickr: Para algunos el karma es un círculo, para otros es una cinta Mobius.

- via [TheDailyWhat]: Abre tus cervezas con un abridor de botella de Klein.

- via [madonnaandmaradona]@Tumblr: El reloj Colors de Richard Shed, no tan complicado y agradable a la vista, rueda las manecillas con los colores en orden de arcoiris.

- via [SpikedMath]: ¿Qué pasaría si los matemáticos comenzaran a escribir libros de chistes para niños?

- via [NYMag]: Los diez cursos de matemáticas con los títulos más ridículos en verdaderas escuelas de artes liberales.

- via [ThereIFixedIt]: Haga que sus niños aprendan las operaciones básicas mientras suben y bajan por el ascensor

- via [f***yeahmath]@Tumblr: Deja que Euler te guarde los lápices y sujeta tu café de manera normal.

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Saturday, December 4, 2010

La lógica detras de las decisiones de los estudiantes de la UPR en sus asambleas

En la pasada semana los dos recintos grandes de la Universidad de Puerto Rico celebraron asambleas estudiantiles extraordinarias para ver cual sería su acción a tomar en los temas que ocurren al momento: la pronta implementación de una cuota de 800 dólares para el semestre que se aproxima, el comienzo de un campus abierto, y la acreditación de diez de los once recintos del sistema por parte de la MSCHE. Como siempre ocurre en las asambleas siempre se soplan los vientos de huelgas y paros, en el cual grupos de estudiantes a favor de una universidad abierta dicen que al cerrar portones (irse a huelga) puede no solo quitarnos la acreditación, sino cerrar para siempre la UPR; mientras que los huelguistas dicen lo contrario, que ya han hecho todas las alternativas de protesta posibles y que este es el único que les queda usar.

Como ven, cada estudiante tiene su opinión del asunto, pero es cuando se reunen en asamblea que se toma la decisión como recinto. Toda esta explicación se reduce a dos variables: la cuota y la huelga. la cuota es una variable aparte, mientras que la huelga combina los puntos de los portones y la acreditación. Razón de esto es que los estudiantes mismos han dicho (si/no) cuota / (si/no) huelga.

Ya con esta parte explicada, demosle paso a los resultados de cada una de las asambleas, analizando su ultimatum mediante el uso de la lógica proposicional básica.

Aquí tenemos la del recinto de Rio Piedras: Decidieron en una asamblea llevada a cabo el miércoles primero de diciembre, con menos del 7% de la matricula reunida, que tras la celebración de un paro de dos días (7-8 de diciembre), le dan un utlimatum al presidente de la UPR, José R. de la Torre y la Junta de Síndicos a que desistan de la idea de implantar la cuota antes del 14 de diciembre o UPR-RP se va a una huelga indefinida. La reinterpretación lógica para el argumento sería:


Análisis de los escenarios:
  • Escenario #1: ambas ciertas: Es la más probable que ocurra, debido al hecho de tener dos fuerzas que no quieren echar para atrás sus intenciones. La administración no cede, los estudiantes huelguistas tampoco.
  • Escenario #2: el evento imposible del grupo. Los huelguistas están ansiosos de cerrar portones y decirle las verdades a la administración. Por tanto, no se van a quedar quietos.
  • Escenario #3: Este escenario comienza como el escenario #1 (ambas ciertas), pero la administración cierra la UPR indefinidamente tras comenzar la huelga, por tanto no implementando la cuota.
  • Escenario #4: Todo se resuelve antes del 14 de diciembre, evento probable en lo mínimo.

Veamos el caso del Recinto Universitario de Mayagüez: El jueves pasado, con un asistencia de casi una tercera parte de los estudiantes, decidieron darle un ultimatum también hasta el 14 de diciembre, pero en ese día se celebrará una segunda asamblea y la enmienda a una resolución que dice que los estudiantes de la UPRM no quieren cuota y tampoco quieren una paralización del sistema, ambas aprobadas por mayoría evidente. O sea, que de no ocurrir cambios en la segunda asamblea, los estudiantes pensaron de ésta forma:


Análisis de escenarios: No hay mucho que explicar, solamente digo que estos eventos no son realistas. Yo quisiera que fueran reales, pero es que son sueños utópicos que son imposibles de realizarse. En otras palabras, la realidad es lo opuesto a lo expuesto:

Demostrado por las leyes de Morgan:

con la siguiente tabla de verdad:


Ahora, quitando la negación que está fuera de c v h, obtendremos la siguiente tabla, la selección entre la cuota o la huelga por parte del estudiantado:



Dicha tabla describe, basando en los comportamientos de ambos bandos (vea el primer escenario en RP), cuatro decisiones que han pasado y que podrían cambiar dentro del periodo de diez días a un mes.

Análisis de los escenarios:
  • Escenario #1: No se puede seleccionar ambas, pero puede pasar que la huelga no dé resultados y al final tengamos que pagar la cuota.
  • Escenario #2: Según los huelguistas, esta fue la decisión de Mayagüez, porque de no seleccionar huelga, estás seleccionando indirectamente la cuota.
  • Escenario #3: La selección de Rio Piedras en su asamblea.
  • Escenario #4: la selección de Mayagüez.
Todas estas predicciones se reducirán el 14 de diciembre. Solamente esperemos que su decisión sea la más razonable al final.

Wednesday, December 1, 2010

cos b



"La civilización tenía demasiadas reglas para mí, así que hice mi mejor esfuerzo para reescribirlas"

"No sé cual es la clave del éxito, pero la clave del fracaso es intentar agradar a todo el mundo."

-Bill Cosby