Una medalla Colegial pitagórica

Pasando por las páginas de ventas en línea mientras buscaba libros a precios de rajatabla. Me encontré a un usuario que tenía a la venta reliquias antiguas del pasado puertorriqueño, la mayoría de finales de los 1800s y principios de 1900s.  Mientras que todo eran papeles, existían también metálicos, como monedas y ésta medalla:

Éste es un premio a la excelencia matemática otorgada en 1955 al Sr. Emilio C. Garcés de parte del Colegio de Agricultura y Artes Mecánicas, o como se conoce actualmente el Recinto Universitario de Mayagüez (alias la universidad donde adquirí mi bachillerato de Educación Matemática).

La maravilla de la medalla se encuentra en el frente. Se supone que lo que veamos en la foto sea la demostración del Teorema de Pitágoras para el triple pitagórico 3-4-5; pero, gracias a la diferencia de tamaño en las divisiones del cuadrado 3 × 3, se dibujó un triángulo 1-1-(√2), el cual NO es un triple pitagórico (dado a que uno de los números no existe en los enteros, particularmente los naturales).

Voy a ver si contacto al dueño de la medalla y comprársela, ya que contiene historias y memorias (además que es una buena introducción a los triples pitagóricos).
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Ésta es la primera entrada de La Covacha Matemática para la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog pimedios - la aventura de las matemáticas

Reciclando e inventando matemáticamente (RLFB 31)

• via [Neon Pi]: Esta ventana ovalada tiene como diseño integrado al rectángulo aúreo, junto con las espiral Fibonacci.

• via [The Math Guru]: Estudiante confecciona traje para su baile de graduación con su tarea de matemáticas

• via [biohazard9658]: una calculadora, cuya cubierta está hecha de cartón, integrada a una libreta (cuaderno). Yo he visto este tipo de calculadoras y la mayoría están hechas de cartón reciclado.

 imagen via [xelazine]

• ¿Qué Pitágoras era un asesino que le tenía fobia a las habichuelas? Conozca el porqué; y cómo se demostraba que la hipotenusa de dos catetos de longitud uno era irracional al estilo geométrico en el más reciente video de Vi Hart.

Estética trigonométrica

Imagen via [Sugarnails.com]

Evidencia que una uña puede contener un dato que puede ayudarlo a pasar (o cancelar) un examen completo.

Sudoku de dos niveles

La página de Facebook Chistes Matemáticos publicó éste sudoku bastante particular, donde las pistas deben ser resueltas antes de poder comenzar a completar el sudoku. Con dominio del álgebra, trigonometría, operaciones binarias y hexadecimales, factoriales, derivación e integración puede hallar las pistas facilmente.

Solución de las pistas

Solución del sudoku

El problema de la espada y el cofre

 

Problema: Un soldado tiene que guardar una espada de 70 centímetros de largo, pero solamente le proveyeron un cofre rectangular con 40 centímetros de largo, 30 cm de ancho, y 50cm de altura. ¿Podrá el soldado colocar la espada dentro del cofre de forma tal que no sobresalga ninguna parte de ésta?

Solución: Antes de empezar a machacar números tenemos que visualizar las diferentes maneras como podemos colocar la espada dentro del cofre.

Por la descripción del cofre, la espada no se puede colocar a lo largo, a lo ancho, o a lo alto debido a que las medidas son menores a la longitud de la espada. Entonces tendremos que buscar as diagonales de las seis caras para ver si el largo de uno de éstos es mayor o igual a 70 cm. Tenemos la base (y tapa) del cofre (30 × 40 cm²), la cara #1 (30 × 50 cm²), y la cara #2 (40 × 50 cm²).

 

Utilizando el Teorema de PItágoras (c² = a² + b²), encontraremos los valores de las diagonales de cada cara,como si fuesen hipotenusas, dado a que por propiedad de los cuadriláteros, sus ángulos miden 90°. Haciendo los cálculos las diagonales de cada una de las caras tienen a siguientes longitudes:

 

Puede verificar utilizando esta aplicación del teorema:

diagonal = √(largo² + ancho²)

Como podrán observar, ninguna de las diagonales es de longitud mayor de 70 cm. Pero no se preocupe, todavía falta una diagonal, la diagonal del cofre, la única tridimensional. Dicha diagonal es la hipotenusa formada por la altura del cofre (50 cm) y la diagonal de la base del cofre (50 cm).  Por los triángulos rectángulos especiales sabemos que cuando los catetos tienen la misma medida, su hipotenusa es esa medida multiplicada por √2.

Entonces 50 cm multiplicado por √2 da como resultado aproximadamente 70.7 centímetros, cantidad ligeramente mayor que la longitud de la espada.

 Por tanto, la espada puede ser colocada en el cofre sin que ninguna parte sobresalga. Q.E.D.
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Referencia: The Big Book of Brain Games: 1000 Playthinks of Art, Mathematics & Science (Moscovich, 2006)
Problema #37.

Na na na na na na na na BatMath

Uno de mis superhéroes favoritos es Batman, porque solamente necesita de sus inventos, destreza física y razonamiento lógico para combatir el crimen en Ciudad Gótica.Por estas razones siempre es bueno utilizarlo en problemas verbales.

imagen via [failblog]

Por ejemplo, aquí se utiliza para aplicar la trigonometría de los triángulos rectángulos, donde queremos saber cuán ancho es el abismo y si es seguro para Batman saltarlo. Una de varios métodos de solución del problema es hallar el ángulo del árbol al otro lado, para luego igualar la tangente de ésta a 20/x (x siendo el ancho del abismo):

Los resultados indican que con todo y cinturón jet, sería imposible para Batman saltar hasta el otro lado del abismo.

Tambien han aplicado al Caballero Oscuro en problemas de Batifísica y hasta han nombrado ecuaciones en su nombre. Puntos de bono por usar al Guasón de la película del '89.

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog La Aventura de la Ciencia

Ferretería Matemática: Triángulos y triples pitagóricos

imagen via [The Math Kid]

La imagen presentada arriba muestra brevemente los diferentes tipos de triángulos existentes, además de las medidas angulares del triángulo equilátero y los triángulos rectángulos especiales.  también muestra un tiángulo donde salen los triples pitagóricos.

Los triples pitagóricos (x, y, z) son tres números enteros positivos x, y, z donde los tres números son relativamente primos, x, y < z, donde se le aplica el Teorema de Pitágoras: x² + y² = z².  Uno de los triples pitagóricos más conocidos es (3, 4, 5), pero también existen otros como (5, 12, 13), ó (8, 15, 17)

Para que las tres medidas x, y, z de un triángulo sean un triple pitagórico, tienen que ser números enteros positivos, sii cumple los siguientes requerimientos: 

• x, y, z son resultados de ecuaciones formadas por los dos enteros positivos m & n 
• m & n  son relativamente primos (dmc(m, n) = 1) 
• m > n
• uno de los dos enteros es par y el otro impar

tales que:

x = m² - n²

y = 2mn

z = m² + n²

 Inténte hallar los triples pitagóricos para los siguientes pares (m, n):

• (5, 2)
• (2, 1)
• (3, 2)
• (4, 1)
• (4, 3)
• (5, 4)
• (6, 1)
• (6, 5)
• (7, 2)
• (7, 4)
• (7, 6)

No una ni dos, SEIS demostraciones del Teorema de Pitágoras

Continuando con los apéndices de la Guía para el maestro de Introducción al Álgebra (DIP-PR, 1987), fue una sorpresa ver que hay varias ayudas para el maestro, como la explicación de la estrategia Exploración-Conceptualización-Aplicación (ECA), e información sobre la teoría de conjuntos y el número π. Pero una de las cosas que me sorprendió fue que explican y demuestran seis acercamientos diferentes a dominar el Teorema de Pitágoras, y ninguna de estas es la de contar el área por cuadritos. Incluyen aportaciones del educador barranquiteño Raul Marrero Ortiz, el presidente James Garfield y el libro, que se usaba de referencia, El Mundo del Número E.G.B. 7.

Ferretería Matemática: Otra forma de demostrar geométricamente el Teorema de Pitágoras

La lección de introducción al Teorema de Pitágoras en muchas ocasiones es la teórica (dar la fórmula seco y venteao, con solamente decir que se usa en triángulos rectángulos), o la demostrativa tradicional, mediante la geometría, de dibujar los tres cuadrados (a^2, b^2, c^2) con unidades de cuadritos de 1·1, y luego contar si la suma de los cuadritos de a^2 y b^2 son iguales al de c^2.

Existen otras demostraciones donde se utilizan los triángulos rectángulos para formar c^2 y luego descifrar que resulta de la suma de los cuadrados de los catetos a y b.

Estamos mirando la demostración del otro lado, entiéndase: la tradicional prueba que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa; mientras que con la imágen de arriba estamos demostrando que el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos.

Usted puede preparar un kit de demostración.

Materiales:

• una hoja de papel
• tijeras
• regla
• decoración
  

Procedimiento:

1. Doble el papel dos veces, un doblez vertical, y luego otro horizontal. Cerciórese que queden los dobleces perfectamente alineados.
2. Triángulos rectángulos: Con las tijeras, recorte en diagonal, en la esquina donde los papeles quedarán sueltos luego del recorte, formando cuatro triángulos rectángulos exactos
3. Cuadradito: Con la regla mida cada uno de los catetos de uno de los triángulos. la medida de cada uno de los lados del cuadradito será |b-a|. De ahí, recortas el cuadrado.
4. Sigue el procedimiento de la imagen y listo.
   

Útil para clases de nivel secundario, aunque a veces es sorprendente ver las caras de los universitarios cuando observan la "magia".

el Com-π-ndio: Wallpapers éπcos

Como el Día Pi debe ser un día donde los júbilos matemáticos deben estar al máximo, decidí hacer esta serie de fondos de pantalla de manera colorida, a diferencia del ya reconocido fondo negro de mis wallpapers.

¡Feliz Día π de parte de La Covacha Matemática!

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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos

Video Mateclásico: Donald en el mágico mundo de las matemáticas

Hace casi un año atrás que ví esta caricatura de 1959 y todavía es de mi agrado verlo otra vez. Esto es lo que se debe poner como recurso dentro del salón de clase, especialmente en la de geometría, debido a que nos dá temas como Pitágoras y los pitagóricos, el número áureo, y algunas importantes aplicaciones matemáticas al entorno diario (naturaleza y hasta deportes). Acompañe a Donald en ésta aventura educativa de media hora.



Partes: [1] [2] [3]
Subidos por luispdzp @Youtube.

Rondando en la frontera blogosférica... (IV)

-Las princesas del rap matemático [Video]
-Cursos tutoriales en línea por Youtube: BittingerBasicMath, y thefreeuniversity. Incluyen, respectivamente, cursos de matemáticas universitarias y cálculo.
-El Teorema de Pitágoras a lo Darth Vader [Video], y dos versiones simplificadas (agua y arena). Créditos a learnmegood, abreups y a cavernario67 en Youtube.
-Rafael Nuñez Lagos nos muestra como trabaja el editor de ecuaciones de Google Docs [Link]
-El estudiante de Economía de la Universidad de Warwick, Peter Backus creó una ecuación, basada en la Ecuación de Drake, para calcular el número de novias potenciales dentro del Reino Unido. Aquí su disertación.
-El blog Learning Today nos cuenta que Nickelodeon comenzará un nuevo programa infantil dedicado a las matemáticas. [Reportaje]