Los atajos aritméticos y la multiplicación acortada

Pasando los canales de cable, veo este inusual infomercial sobre un producto para "agilizar la mente" de los estudiantes de primaria en las matemáticas, presentando, en varias viñetas al inventor, preguntándole a los estudiantes que contestaran cuadrados perfectos, y conversiones de fracciones a decimales, hasta seis lugares; con los niños recitándolas en segundos. También salían los testimonios, donde presentaban los métodos, en su mayoría de multiplicación: como hallar el cuadrado de todo número que terminase en 5, multiplicar dos números noventipico, y cosas por el estilo.

Poco a poco me percaté que éstos métodos son solamente atajos aritméticos (todos bajo un término llamado matemáticas védicas), los cuales, en mi opinión, ayudan a que el estudiante aumente su autoestima, elimine sus ansiedades, y tenga una actitud positiva hacia las matemáticas, para que puedan tener un mejor desempeño. En ese punto le veo un propósito al producto. El problema principal es que cae en memorización de casos específicos de multiplicación, en una ruta que pronto se encontrará con variables y ecuaciones.

Eso sí, no todo tema en las matemáticas védicas son solamente para casos específicos. Una de las más conocidas es la de los verticales y cruzados, donde no necesitas escribir los productos parciales de la multiplicación, ya que los estás haciendo mentalmente. Es como la división corta, donde abrevias las restas y escribes el residuo entre los dígitos del dividendo.

La multiplicación abreviada (o acortada) es un método que elimina el escribir los productos parciales, donde se trabaja a los dos factores como una matriz 2 × n, donde n es la cantidad de dígitos mayor entre ambos factores; moviéndose de derecha a izquierda, columna a columna. Es recomendable usarla cuando ambos factores tienen 2 dígitos o más.

Ejemplo: En la multiplicación de dos números con dos dígitos, tenemos la columna de las decenas y la de las unidades, por tanto:

• las unidades del producto se saca multiplicando verticalmente la columna de las unidades de los factores, reagrupando de ser necesario.

• las decenas del producto es el total de los productos cruzados de las columnas y, de haberlo, el número reagrupado.

• las centenas del producto es la multiplicación vertical de la columna de las decenas de los factores

Aquí un caso:

Notarán que el orden en el que se multiplican y se suman los números son idénticos, la única diferencia siendo el método hacia la solución.

La cosa cambia cuando son de tres o más dígitos, donde el algoritmo clásico se descarta y tienes que pensar diferente:

• De derecha a izquierda, trabajas las columnas 2 × n: Supongamos que la columna más a la izquierda es llamada Columna 1, la siguiente Columna 2 y así sucesivamente hasta llegar a la Columna N; y R, el dígito reagrupado. Entonces, el producto tendrá: 
• Unidades: Columna N: verticalmente,
• Decenas: [Columna N y Columna (N - 1)], total de productos cruzados + R,
• Centenas: [Columna N y Columna (N - 2)], cruzados + Columna (N - 1), vertical + R,
• Millares:  [Columna N y Columna (N - 3)], cruzados + [Columna (N - 1) y Columna (N - 2)], cruzados + R, 

Hasta que se utilizan todas la columnas para hallar el próximo dígito:

• Si n es impar: todos cruzados excepto la Columna (N/2):  [Columna 1 y Columna N] +  [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 2) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 1)] + Columna (N/2), vertical + R,

• Si n es par: todos cruzados:  [Columna 1 y Columna N] +  [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 ) y Columna (N/2 + 1)] + R,

Luego de ésto, la cantidad de columnas utilizadas se disminuye, hasta que solamente tengas que multiplicar verticalmente la Columna 1.

Creo que es más facil exponer un ejemplo de dos números, uno de dos dígitos y otro de tres:

En fin, el método acortado de multiplicación requiere pleno poder de las aritméticas mentales. Advierto que este tema es uno puramente recreativo y que si vas a hacer cómputos artiméticos, mejor hacerlos de la manera larga y clásica.

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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.