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Saturday, March 24, 2012

Cereales y sucesiones


Una secuencia bastante conocida hace su aparición en la sección de juegos de una caja de cereal chocolatoso.

[Referencia]

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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Friday, March 23, 2012

Teoría de conjuntos para primer año de primaria

La matemática moderna (New Math) fue una era, entre mediados de los 1960s y principios del 70, de revisión abstracta de la educación matemática de antaño, la cual trajo varias destrezas interesantes, particularmente la teoría de conjuntos.

Para muestra, unas páginas del libro New Math I: Exploring Sets and Numbers (Feinstein, Whitman Publishing, 1967):


Representación de conjuntos


 Intersección de tres conjuntos
 Note el diagrama de Venn.


 Note los nombres que utilizaban para la unión (cap - gorra) e intersección (cup - taza). De hacer una traducción al español, sería casco y copa.


Introducción a la resta


Exploración de la suma y resta

Imágenes via [Stickers and Stuff]

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Los relojes matemáticos: ¿adorno de pared u oportunidad pedagógica?

La proliferación de los relojes matemáticos (relojes donde los números del 1 al 12 son sustituidos por expresiones equivalentes) en los últimos años han sido un éxito positivo para la enseñanza de la materia. Ahora bien, podemos darle más protagonismo a éste en el aula de clases, no solo como adorno para una pared, sino como herramienta de comprobación de destrezas.

Un reloj como el que ven a su izquierda se puede utilizar en una clase de cálculo de secundaria para demostrar con deducción o inducción, procedimientos formales y definiciones que la ecuación o expresión es equivalente al número natural que están sustituyendo. Es un ejercicio de preparación para los estudios post-secundarios.

Ejemplo: Demostrar que 5[csc (π / 6)] = 10
Solución: El cosecante de un ángulo Θ es el recíproco del seno de ese mismo ángulo Θ. El seno de (π / 6) es igual a (1 / 2). Por definición de cosecante, csc (π / 6) = 1 / (1/2) = 2. Entonces:
5 [csc (π / 6)] = 5 [2] = 10.
Q.E.D.
De ésta manera podemos verificar si los fabricantes de los relojes hicieron sus cómputos bien, que no sea como el reloj que dice que 9 = 3(π - .14).

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Wednesday, March 21, 2012

Conteo con los dedos al estilo binario

¿Recuerdan sus primeros intentos en contar, sumar y restar? Sabes que has utilizado tus dedos para ayudar a encontrar el número deseado. En una sola mano podías contar hasta 5 al primer intento, pero ahora verás que podrás llegar hasta 31.


Los dedos binarios utiliza la secuencia de los números binarios para posicionar el levantamiento de los dedos (1) o esconderlos (0) para expresar la cantidad equivalente en el sistema decimal.

Las reglas:
  • Cada dedo tiene un valor diferente, todos potencias de 2:
    •  dedo pulgar = 1
    • dedo índice = 2
    • dedo del corazón = 4
    • dedo del anillo = 8
    • dedo meñique = 16
  • El número expresado es igual a la suma de los valores de los dedos levantados.
Ahora tendrán un valor numérico algunas expresiones que hacemos con las manos:
  •  "like" = 1
  • "número 1" = 2
  • "loser" = 3
  • "paz" = 6
  • "etiqueta a la hora de tomar té" = 16
  • "rockero" = 18
  • "amor en lenguaje de señas" = 19
  • y otras más que no puedo mencionar por aquí...
[Referencia]

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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Tuesday, March 20, 2012

Como saqué tres planes de la manga: dados con potencia, medición del tangram, y triángulos cartesianos

Era la noche del viernes 9 de marzo y todavía estaba tratando de buscar la manera de que pudiera dar cuatro horas consecutivas de tutorías a un grupo de estudiantes de séptimo grado sin que se empezaran a inquietar y pelear entre sí. Las pasadas seis semanas han sido causa de frustración por esa razón y la supervisora ya me había indicado que calmara el grupo, ya que hacían mucho escándalo, lo cual traía más presión al asunto. Son esas condiciones las que me hacen más creativo todavía.

Haciendo una búsqueda por mi cuarto encontré mis dados que saqué de un juego de role-play. Tomé dos y los utilicé para crear una actividad sobre exploración de potencias:

Un dado de 12 caras servía como la base y uno de 10 caras, donde contenía un 0, servía como exponente. Luego de que los alumnos arrojaban los dados, tenían que completar una tabla con lo siguiente:
  1. La potencia
  2. La notación multiplicativa de la potencia
  3. La base de la potencia.
  4. El exponente de la potencia.
  5. El valor numérico de la potencia
Tenían que hacer 4 tiradas, con dos de ellas asumiendo casos especiales: que la base era negativa y otra donde la base era el decimal 0.base. Luego de haberlo entendido, pasaban al cuaderno y ompletaban otra tabla igual, pero llenando los espacios en blanco.

Interesante por demás es que podíamos sacar todas las leyes de los exponentes, pero me desistí porque había puesto a los estudiantes en grupos de 2 y que los rotaba de actividad en actividad al pasar la hora.

La segunda actividad que presenté no fué idea mía, sino de mi maestra consejera cuando estaba en la práctica docente, la Sra. Ramos. Se trataba de armar una figura utilizando el rompecabezas chino, mejor conocido como el tangram y trazarla en un papel provisto.

Seguido, medían las longitudes de la figura plana para hallar su perímetro, aproximando toda medida al entero más cercano. De igual manera, trazaban y medían cada pieza del tangram por separado, para hallar el área total de la figura:
Si fuésemos a hallar el área total con las medidas exactas, la suma de las áreas de los dos triángulos isósceles grandes debería ser igual al área total de las otras cinco piezas; pero para probar que no importase la figura que formaran, al descomponer la figura en formas reconocibles de hallar su área debe dar al mismo resultado, las aproximamos.

Finalmente, quería un ejercicio de investigación y observación geométrica. Combiné el hallar puntos en el plano cartesiano con las clasificación de triángulos por longitud de lados y por ángulos.


Hallaban tres puntos en el plano, los conectaban y medían para clasificar por longitud, mientras que asumían cuál triángulo era por la medida de los ángulos, Luego completaban ejercicios del cuaderno, indluyendo un pareo de definiciones.

Este trio de planes de tutoría me salió de maravilla, ya que pude mantenerlos trabajando por el tiempo establecido sin muchas interrupciones. El truco en esto es sacar todas las ideas, materiales, y manipulativos para ver que te puede funcionar.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Monday, March 19, 2012

Demostraciones geométricas de sumatorias

Cuando pienso en demostrar sumatorias regresan a mi mente los día del método de inducción, donde hacías tres procedimientos. Dado una sumatoria de una expresión, con valores k = 1 a n:
  • Evaluabas la expresión en k = 1 [f(1)]
  • De f(1) ser cierta, Asumias que la sumatoria era cierta. En otras palabras, evaluabas la expresión en n. [f(n)]
  • Para terminar la demostración, verificabas si f(n + 1) = f(n) + f(1). Si podías separarlo con éxito, entonces demostraste por inducción.
Ahora bien, existe un método geométrico para demostrar varias sumatorias conocidas. No es tan formal como el anterior, pero en una sola imagen podrán observar la solución de la sumatoria.

Primero que nada, veamos uno de los ejemplos clásicos de matemáticas, uno que descifró el pequeño Gauss: la suma de números consecutivos:

En el rectángulo de largo n + 1 y ancho n, podrán ver que en forma escalonada, aparece un punto más que en la fila anterior, quitándole un espacio vacío. Al final solo la mitad del rectángulo está lleno de puntos, siendo esta cantidad la sumatoria de n números consecutivos.

De sumar solamente los números impares de 1 a 2n - 1, obtendrán el cuadrado de n. En el cuadrado de arriba, se detuvieron en k = 8.

También se puede dar el caso de la sumatoria de potencias en la forma 1 / (p^k), donde:

Aquí los primeros tres valores para p: 2, 3, 4.



Opinión: Cuando toquen el tema de series y sucesiones en las clases de precálculo, se debe suplementar la enseñanza del método formal y computacional de las demostraciones con un método gráfico-geométrico, de ser posible; especialmente con esta nueva cepa de estudiantes que son más aptos a la enseñanza visual.
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Demostraciones visuales: via [bloodredonion]

Referencia:
Nelsen, R. B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.
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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Opinión: No se debe sobrecomplicar lo básico.

En recientes décadas, se han integrado a los currículos matemáticos métodos alternos a la norma estándar para hallar la solución de problemas matemáticos, en un esfuerzo para erradicar la memorización por repetición (rote memorization) y procesos rígidos. Mientras que es bueno que puedan observar que existen otras maneras de llegar a la solución; a la hora de la verdad, en el hogar, el choque generacional hará imposible que muchos padres puedan ayudar de inmediato a sus hijo(a)s. Ésta es la cuestión principal planteada en el artículo Why is it your job to teach your kid math?, publicado en Macleans.ca; donde profesores de matemáticas universitarios, docentes, y padres han mostrado su preocupación en la implementación de estos métodos alternativos a nivel elemental y secundario.

Aquí mis opiniones respecto al tema:
  • Si existe más de un método para hallar la solución, es pertinente que el método estándar sea el más presentado, enseñado, y dominado
  • Los métodos alternos se deberían mostrar como actividades de exploración o seguimiento del tema. Por ejemplo, en el artículo mencionan el utilizar papel cuadriculado para demostrar la multiplicación y división de números racionales (ilustrar gráficamente dos fracciones multiplicándose o su operación opuesta); la cual se debe dejar solamente para introducir el tema. Por otro lado, los productos parciales y la multiplicación en cuadrícula se pueden utilizar como ayudas adicionales, si el estudiante anda fallando el método estándar de multiplicación.
  • El maestro es quién hace los ajustes necesarios al currículo general, así diga que el rote memorization no se debe hacer. Si sabe que x o y forma de hallar la solución le será problemático a los alumnos, no lo enseña y punto.
  • En el caso de las operaciones básicas: No se debe forzar a que el alumno sea capaz de ejecutar todos los métodos enseñados, sino que pueda dominar el tema sólidamente con uno.
  • El artículo presenta excelentes opciones respecto a la integración de los padres en el entendimiento de los métodos matemáticos alternativos a los estándares, especialmente los Math Nights.
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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.