Demostraciones geométricas de sumatorias

Cuando pienso en demostrar sumatorias regresan a mi mente los día del método de inducción, donde hacías tres procedimientos. Dado una sumatoria de una expresión, con valores k = 1 a n:

• Evaluabas la expresión en k = 1 [f(1)]

• De f(1) ser cierta, Asumias que la sumatoria era cierta. En otras palabras, evaluabas la expresión en n. [f(n)]

• Para terminar la demostración, verificabas si f(n + 1) = f(n) + f(1). Si podías separarlo con éxito, entonces demostraste por inducción.

Ahora bien, existe un método geométrico para demostrar varias sumatorias conocidas. No es tan formal como el anterior, pero en una sola imagen podrán observar la solución de la sumatoria.

Primero que nada, veamos uno de los ejemplos clásicos de matemáticas, uno que descifró el pequeño Gauss: la suma de números consecutivos:

En el rectángulo de largo n + 1 y ancho n, podrán ver que en forma escalonada, aparece un punto más que en la fila anterior, quitándole un espacio vacío. Al final solo la mitad del rectángulo está lleno de puntos, siendo esta cantidad la sumatoria de n números consecutivos.

De sumar solamente los números impares de 1 a 2n - 1, obtendrán el cuadrado de n. En el cuadrado de arriba, se detuvieron en k = 8.

También se puede dar el caso de la sumatoria de potencias en la forma 1 / (p^k), donde:

Aquí los primeros tres valores para p: 2, 3, 4.

Opinión: Cuando toquen el tema de series y sucesiones en las clases de precálculo, se debe suplementar la enseñanza del método formal y computacional de las demostraciones con un método gráfico-geométrico, de ser posible; especialmente con esta nueva cepa de estudiantes que son más aptos a la enseñanza visual.

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Demostraciones visuales: via [bloodredonion]

Referencia:
Nelsen, R. B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.