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Sunday, March 4, 2012

Cuadrados perfectos especiales

Hay una serie de cuadrados perfectos cuya alineación numérica puede ser sacada sin hacer una multiplicación complicada.

Primero tenemos los cuadrados perfectos de x, este siendo un número natural entre 41 y 50:

Demostración: 
Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (x - 25) es en realidad 100(x - 25). Entonces al sumarlo con (50 - x)² nos debe dar a x²:
x² = 100(x - 25) + (50 - x)²

x² = (100x - 2500) + (2500 - 100x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-2500 + 2500) + x²

 x² = x²
Q.E.D.
Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (50 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 41.
Ejemplo 1: Halle el cuadrado de 47:
Primeros dos dígitos de 47²: 47 - 25 = 22
Últimos dos dígitos de 47²: (50 - 47)² = 3² = 09
  •  (si el número resultante es de un dígito , añada un cero a la izquierda)
 Por lo tanto: 47² = 2209
Ejemplo 2: Halle el cuadrado de 45:
Primeros dos dígitos de 45²: 45 - 25 = 20
Últimos dos dígitos de 45²: (50 - 45)² = 5² = 25
 Por lo tanto: 45² = 2025

Existe otro grupo de cuadrados prefectos que tienen un fenómeno similar:

Demostración: 
Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (2x - 100) es en realidad 100(2x - 100). Entonces al sumarlo con (100 - x)² nos debe dar a x²:
x² = 100(2x - 100) + (100 - x)²

x² = (200x - 10000) + (10000 - 200x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-10000 + 10000) + x²

 x² = x²
Q.E.D.
Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (100 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 91.
Ejemplo: Halle el cuadrado de 98: 
Primeros dos dígitos de 98²: 2(98) - 100 = 196 - 100 = 96
Últimos dos dígitos de 98²: (100 - 98)² = 2² = 04
Por lo tanto: 98² = 9604
Pueden verificar cada ejemplo y el cuadrado de cada elemento en el conjunto de x en ambos casos usando la calculadora. Sorprenda a sus amigos con estos atajos de cómputos.

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