La integración curricular como estrategia reformadora en el aula de matemáticas

Cuando vamos a impartir clases, los maestros tenemos por obligación llenar un plan diario detallando el qué (tema, unidad, sección) y cómo (materiales, estrategias) se va a cubrir el material del día. Como aquella vez no le dí duro a las estrategias, en esta ocasión lo haremos, con énfasis en la integracción curricular. Estaremos utilizando éste modelo descargable que me había enviado una de las compañeras de la clase de Metodología Matemática como ejemplo guía.

La estrategia estrella ha sido la ECA, donde el tema se desarrolla en tres fases lineales, no intercambiables: exploración (introducción e investigación del nuevo tema sin términos directos), conceptualización (ideas principales, fórmulas, teoremas, definiciones, y explicación de parte del maestro), y aplicación (ejercicios). Dicho proceso puede durar un día o una semana, hasta que los alumnos puedan entenderlo completamente.

Para aquellos que ven al ECA como repetitivo, pueden complementarlo o descartarlo con las estrategias reformadoras, las cuales dan variedad la clase estilo conferencia. Entre éstas se encuentran:

• Temas Transversales: la clase se torna a base de los objetivos actitudinales globales que el maestro quiera inculcar y que quizás se usan como trampolín al tema a discutir en clase.
• Aprendizaje basado en problemas: El maestro se queda de guía, mientras que los estudiantes utilizan todas sus herramientas para poder resolver un problema y luego reaccionar sobre los hallazgos en grupo.
• Comprensión Lectora: Interacción entre el estudiante y el texto en un intento de conectar ideas
• Integración con la Tecnología: No se necesita explicación
• Aprendizaje Cooperativo: Entre compañeros se aclaran dudas, mientras que el maestro se queda de guardían del orden.
• Tutoría entre pares: el junte de un estudiante más avanzado con uno más resagado.

Ahora que saqué éstas, me toca hablar de la estrategia de integración curricular. Simplemente se ofrece en la clase aplicaciones de temas de otras materias ajenas a la que ofrezca el maestro, con el propósito de que aprendan dos temas de dos clases distintas n el periodo de una; o el establecer un ejercicio que ellos comenzarán en la clase A y terminarán en la clase B. Se hacen mediante colaboración entre maestros o para refrecar en tema en discusión.

Ejemplo 1: Inglés y Matemática de décimo grado

En la clase de inglés están analizando poemas (buscando su división silábica, símiles, metáforas, etc.), mientras que el curso de matemáticas están repasando el orden de operaciones. Los estudiantes llegan a la clase de inglés y el profesor empieza a escribir esta ecuación:

((12 + 144 + 20 + (3 * 4^(1/2))) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0 *

Les dice que lo que tieme escrito en el pizarrón es un poema escrito en lenguaje matemático. Luego les enseña la traducción al inglés:

A Dozen, a Gross and a Score,

plus three times the square root of four,

divided by seven,

plus five times eleven,

equals nine squared and not a bit more. *

Entonces el profesor de inglés les indica las instrucciones del día: analiza el poema basado en lo que aprendimos.

Tras terminar esa clase, los estudiantes se dirigen al salón de matemáticas, donde el maestro ya tiene escrito el poema. Le indica si tienen la ecuación que le enseñaron en la clase de inglés. Se dispone a escribirla en la pizarra y ordena que la resuelvan siguiendo el orden de operaciones (PEMDAS) para verificar si la ecuación redactada en el poema es cierta (ver si el lado izquierdo de la ecuación es igual a 9^2 + 0).

((12 + 144 + 20 + (3 * 4^(1/2))) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0

((12 + 144 + 20 + (3 * 2)) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0

((12 + 144 + 20 + (6)) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0

((182) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0

(26) + (5 * 11) = 9^2 + 0

(26) + (55) = 9^2 + 0

81 = 9^2 + 0

81 = 81

Ejemplo 2: Historia de la Antigüedad y Matemáticas de sexto grado

Utilizando el mismo poema en inglés del ejemplo anterior, el maestro de primaria explora el tema de las mediciones. Les menciona que más allá de las unidades comunes existen otras que usamos más para describir los elementos de un grupo, como las que aparecen en la primera línea:

dozen (docena) = 12 unidades

gross (gruesa) = 12 docenas = 144 unidades

score (veinteno) = 20 unidades

Abunda en el tema dioiendo que civilizaciones antigüas tenían sus propios terminos equivalentes a un número.

imagen via [ngel]@Tumblr

Explica como los egipcios utilizaban piezas del Ojo de Horus como fracciones**. Al entrar a la clase de la profesora de historia, les dice que para el próximo examen van a convertir 4 fracciones egipcias a fracciones comunes y corrientes.

Ejemplo 3: Español Avanzado y Matemáticas en cuarto año de escuela superior (último año de secundaria)

Uno de los proyectos grupales que tuve que hacer en el curso de Español Avanzado fue hablar sobre el español de un país hispanoamericano, en esa ocasión fue Venezuela. Una de las partes que más diversión me trajo fue buscar las frases, palabras exclusivas y otras con significados locales que pueden tener otra connotación en diferentes países. Parte del informe oral incluía mostrar video de los locales del país hablando.

"Los Wikipedia - La Cumbia de las Matemáticas"
via [sincodificar2]@Youtube

En éste video del programa Sin Codificar, muestra las reglas principales del álgebra y geometría al son de una cumbia argentina. En la clase de español se utilizaría para identificar palabras regionales argentinas como gil y buscarle su significado (tonto); mientras que el aula de matemáticas lo puede utilizar como ejemplo a seguir en el proyecto especial del video musical matemático.

La integración curricular beneficia a que los estudiantes se enfoquen en sus clases y que puedan sacar una linea de pensameinto directa que intercala dos o más cursos entre sí y muchas veces dar variedad a la monotonía. Yo apoyo la integración curricular y la recomiendo a escuelas de población pequeña.

* Un poema matemático - via [aastrid]@Tumblr
** El Ojo de Horus y las fracciones egipcias - via [bloganavazquez]

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Esta es la tercera entrada hecha para la X Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a La Ciencia de la Mula Francis

El Triángulo de Pascal: la herramienta multiusos de los matemáticos

¿Se acuerdan de la serie estadounidense MacGyver, en donde el personaje titular utilizaba sus conocimientos de química, física, e ingeniería para resolver las crisis que se le encontraban en su camino con baja tecnología? MacGyver nunca usaba armas ni aditamentos, solamente traiga consigo una navaja suiza y cinta plateada.

Loa matemáticos tenemos también una navaja suiza capaz de ayudar en diferentes campos de la matemática. Dicho aditamento fue nombrado en honor al matemático, físico, filósofo, y teólogo francés Blaise Pascal, aunque ya conocido por anteriores civilizaciones griegas, italianas, chinas, hindúes, y persas. Les hablo del Triángulo de Pascal.

Brevemente explicado en este blog en enero del año pasado, sin saber el porqué de las filas numeradas, el Triángulo de Pascal tiene mucho más usos que poner los coeficientes del binomio (x + 1)^n; con n comenzando desde cero:

1 [Fila n = 0]
1 1 [Fila n = 1]
1 2 1 [Fila n = 2]
1 3 3 1 [Fila n = 3]
1 4 6 4 1 [Fila n = 4]

...

Muchas utilidades existen para este dínamo: aritmética (el patrón del bastón de hockey, las potencias de dos, y las del once), geometría (número de puntos en un círculo, números poligonales), álgebra (potencias de binomios), combinaciones, la secuencia Fibonacci y el número áureo, divisibilidad/números primos, hasta el triángulo de Sierpinski se encuentra. Ésto es solamente las aplicaciones básicas y a simple vista, explicadas en la página All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle (Todo lo que tiene que saber sobre el Triángulo de Pascal).

De Pascal a Leibniz

Una de las propiedades que no menciona la pógina es la de convertir el Triángulo de Pascal al Triángulo Armónico de Leibniz, del cual su diferencia fundamental es que los números de cada fila se consiguen de abajo para arriba. Vamos a explicarlo:

Tenemos el Triángulo de Pascal. Sabemos que cada fila comienza y termina con uno y que consigues los terminos de la fila siguiente sumando los dos números que están arriba de éste:

1 [Fila n = 0]
1 1 [Fila n = 1]
1 2 1 [Fila n = 2]
1 3 3 1 [Fila n = 3]
1 4 6 4 1 [Fila n = 4]
1 5 10 10 5 1 [Fila n = 5]
...

Paso 1: Sustituya cada elemento de la fila con su recíproco:

1
1 1
1 (1/2) 1
1 (1/3) (1/3) 1
1 (1/4) (1/6) (1/4) 1
1 (1/5) (1/10) (1/10) (1/5) 1
...

Paso 2: Multiplique cada fila por 1/(n + 1), basado en el valor de n en cada fila

[1] * (1/1)
[1 1] * (1/2)
[1 (1/2) 1] * (1/3)
[1 (1/3) (1/3) 1] * (1/4)
[1 (1/4) (1/6) (1/4) 1] * (1/5)
[1 (1/5) (1/10) (1/10) (1/5) 1] * (1/6)
...
[1 (1/n) ... (1/n) 1] * (1/n)

Al final, el triángulo armónico debe quedar de la siguiente forma:

1
(1/2) (1/2)
(1/3) (1/6) (1/3)
(1/4) (1/12) (1/12) (1/4)
(1/5) (1/20) (1/30) (1/20) (1/5)
(1/6) (1/30) (1/60) (1/60) (1/30) (1/6)
...
(1/n) 1/[n * (n-1)] ... 1/[n * (n-1)] (1/n)

Entre las propiedades del triángulo armónico se encuentran que la suma de los elementos de cada fila n siempre va a resultar uno, y la forma de conseguir los elementos de las filas de abajo es diferente a la de Pascal (restando y luego buscar el valor absoluto). Pero la más importante es que la suma de la segunda diagonal (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... 1/[n*(n + 1)] = n/[n+1]) es la serie leibniziana, mientras que la primera diagonal es la serie armónica.

Como pueden ver las posibilidades de sacarle usos a una secuancia numérica como el Triángulo de Pascal son tan infinitas como los artefactos que creó MacGyver para salir de aprietos.

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Esta es la segunda entrada hecha para la X Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a La Ciencia de la Mula Francis

Ferretería Matemática: El bingo como manipulativo en el aula de matemáticas

video via [antena3canarias]@Youtube

En el video, el profesor de matemáticas Antonio Martín nos describe como se utiliza el juego de bingo como estrategia manipulativa para que los alumnos aprendan las tablas de multiplicar: en vez de cantarse el número, se dicta una multiplicación para que los estudiantes marquen el producto en sus cartones.

El bingo como manipulativo dentro del aula de matemáticas es utilizado para probar si los alumnos pueden identificar y relacionar términos, como es el caso de hallar productos. Podemos usar un juego de bingo ya manufacturado, pero el problema es que te limita el juego solamente al conjunto de números cardinales del 1 al 75, mientras que cuando uno hace los cartones, puede expandir las posibilidades de lo que van en los espacios tanto a todo el universo de los reales, términos a definir, como también a figuras geométricas.

Hacer la plantilla de bingo es fácil. Solamente necesitas seguir los siguientes pasos:

1. Abres tu procesador de palabras de tu predilección.
2. Creas una tabla de cinco (5) columnas y seis (6) filas.
3. Unes las celdas de la primera fila (Merge Cells). Luego escribes el título del bingo a cual los estudiantes van a jugar.
4. Expandes cada una de las filas 2-6 y columnas 1-5 hasta que cada espacio sea cuadrado o conveniente para poder añadir los elementos que van en cada cuadro. Acurda de hacer cada espacio de igual tamaño.
5. (opcional) Cambia los bordes para que sean más pronunciados.

También pueden usar la plantilla que hicimos, la cual puede bajar en formato PDF. Puede imprimirlo, pegarlo a un cartón y luego llenar los espacios cada uno por separado.

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Esta es la primera entrada hecha para la X Edición del Carnaval de Matemáticas, que sigue la idea de Tito Eliatrón Dixit, y que en esta ocasión le toca ser anfitrión a La Ciencia de la Mula Francis

Ferretería Matemática: Plano x-y-z hecho de palillos chinos

Imagen via [melioda]@Tumblr: Para poder entender mejor las gráficas en el espacio en su clase de Cálculo III, esta joven crea un plano xyz rompiendo palillos chinos en dos y pegándolos a una base de tal forma que quedaron como se presenta arriba.

Opinión: Me encanta como la estudiante tiene iniciativa de mejorar sus estudios a otro nivel más arriba que solo tomar de referencia el libro o bucar ayuda de un tutor. También me encanta el manipulativo, ya que es sencillo de producir, y costoefectivo para hacer múltiples al instante. En muchos de los restaurantes los palillos te salen gratis; un poco de pegamento, algo que sirva de base, y listo. Super útil para aquellos que no puedan dibujar figuras en el espacio.

Recuerdos del número doce y las multiplicaciones

Cuando estaba en segundo grado de escuela elemental (primaria) allá para 1994, tuve mi primera exposición a las tablas de multiplicar. Nos ponían los cassettes con las canciones de las tablas de multiplicar de Sandra Zaiter. Me recuerdo que ya para octubre me sabía de memoria hasta la tabla del cinco, y eso que lo aplicamos realmente en tercero.

Algo que siempre me intrigaba era el porqué nos aprendíamos hasta la tabla del 12. Mi respuesta para aquél entonces era que como en las libretas (cuadernos) que vendían antes traía en la parte de atrás la tabla de multiplicar hasta el 12.

Además, ese número es importante en la enseñanza primaria no solo de Puerto Rico, sino la estadounidense. Utilizamos un sistema de doce horas, así que tenemos que saber hasta el doce para usar un reloj para saber que día de los doce meses del año es. Todavía utilizamos el sistema imperial de medidas, por tanto se aprende que un pie son doce pulgadas. O simplemente cuando se hacen los problemas de la granja del viejo McDonald y sus docenas de huevos.

Al pasar del tiempo muchas cosas que dije se han mantenido, pero otras han cambiado. Hoy en día es parte de las expectativas de grado en todas las escuelas de Puerto Rico que los alumnos de segundo grado se memoricen hasta la tabla del cinco; y así como desaparecieron las tablas de multiplicar en los cuadernos, así también el memorizarse las tablas del 11 y 12. Por lo menos puedo decir que viví la época donde se aprendía que doce por doce es igual a 144.

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Bono: el sistema docenal

"Little Twelvetoes" - Multiplication Rock

Muy interesante éste video de Multiplication Rock, apartado matemático de Schoolhouse Rock de los años 70. No solamente los estudiantes aprendían los productos de 12, sino un sistema docenal, inventado por ellos, el cual sustituye 10, 11, y 12 con χ (dec), Ɛ (el), y 10 (dou).

Más -phi-losofía de oro

El año pasado mostramos como hallar el número de oro (φ) geométricamente, y hoy le enseñamos como hallar el valor de φ (1.618...), demostrado mediante álgebra:

1. Ésta es la definición de la proporción áurea. Tenemos que demostrar que para cualquier valor de a y b, a/b siempre va a resultar en φ, el cual es igual a 1.618... = [(1+√5)/2].
2. Multiplicamos cruzado en ambos lados para eliminar denominadores.
3. Movemos todo al lado derecho.
   
4. Completando el cuadrado: Descomponemos b² en la ecuación equivalente (-1/4b² + 5/4b²)
5. Completando el cuadrado: ya aplicado el opuesto de (-1/4b² + 5/4b²), asociativamente dejamos fuera a -5/4b². Como todo trinomio completado al cuadrado es de la forma a² + 2ab + b², estamos mostrando que -ba = -(2/2)ba = 2(-½ba) = -½ba + -½ba.
   
6. Completando el cuadrado: Factorización por agrupación.
7. Completando el cuadrado: cuadrado trinómico factorizado
8. Movemos el sobrante al lado izquierdo.
9. Raíz cuadrada en ambos lados.
10. Movemos todo lo que tenga variable b al lado izquierdo, dejando la a sola al lado derecho. El coeficiente de b es φ.
11. Al sdaber que el coeficiente de b es φ, solamente dividimos por b en ambos lados, sabiendo que a/b = φ.
    

Q.E.D.

φ es uno de esos números maravillosos que anda por todos lados y no nos fijamos hasta que nos lo mencionan en el aula de matemáticas. A partir de ahí la gente se pone a ver pinturas antiguas, a escuchar música para ver si está entonada acorde a la proporción aúrea, a ver Donald en el mágico mundo de las matemáticas, entre otros. Por eso estudiar a φ es una φlosofía de vida.

Ferretería Matemática: Regalos matemáticos para los docentes, estudiantes, y compañeros bloggers

Hoy, el Día de Reyes, les dejo tres regalos a mis lectores para que puedan hacer maravillas matemáticas en sus trabajos escritos o gráficos. No será oro, incienso, ni mirra, pero tienen igual valor:

Roke1984: una fuente geométricamente construída:

Wete y Pau Molas (de Barcelona, España), han creado este font llamado ROKE1984, el cual está basado en figuras geométricas y símbolos matemáticos. Es una de las fuente que tienen dos variables:

escrito con las letras en mayúscula,

y escrito con las letras en minúscula.

Incluye todos los acentos, números y símbolos (las dos últimas se muestran en formato de mayúsculas). Puede bajar la fuente en la página de Behance libre de costo.

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eqn.me: LaTeX en línea desde cualquier lugar:

Jonathan Chang creó la página eqn.me, el cual es un convertor de ecuaciones en código LaTeX a imágenes en formato png para poder bajarlas e integrarlas a trabajos escolares, docentes, o para entradas de blogs. Util para aquellos que tienen que utilizar muchas computadoras que no te dejan instalar programas.

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Mi regalo: Códigos ALT + ****:

Una de las entradas anteriores de Ferretería Matemática tenía dos imágenes con códigos para conseguir acentos y símbolos. Un error que me percaté fue el hecho de que algunas veces los códigos no funcionaban y tenía que buscar el símbolo por el Internet como era el caso de π o φ. Me dí a la tarea de conseguir los códigos e hice un documento pdf con los códigos ALT, que muestra los diferentes códigos a ejecutar con el teclado en formato de inglés estadounidense. ¿No lo tiene en ese formato? No hay problema, baje el documento, ábralo y copia el símbolo directamente del documento.

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Espero que sean de su agrado estos obsequios textuales.

En el 2011 seguimos rondando la frontera blogosférica (RLFB XVI)

Para aquellos que no sepan sobre RLFB: Rondando la frontera blogosférica son una serie de entradas donde solamente pongo enlaces a diversos temas matemáticos de diferentes lugares en la blogósfera.

via [woot]

- via [fibonacci-seri.es]: ¿Qué hay de especial en el 2011?

- via [matetam]: Calendario dodecaédrico del 2011 hecho en origami.

-via [math-blog]: Libros de matemáticas libres ce cargo para Kindle, gracias a la Fundación CK-12

- via [f***yeahmath] & [dumperscoots]@Tumblr: Los matemáticos están en todos lados, inclusive como grafiteros de la calle: [1] [2]

- via [proofmathisbeautiful]@Tumblr: los ciclos de la vida de un caracol.

- via [engadget]: Google dejó escondido un acertijo dentro de uno de sus comerciales para su nueva laptop, el cual Sylvain Zimmer descifró la solución, tal que recibirá una laptop Cr-48.

- via [spikedmath]: Como piensan algunos profesores. Divertido porque es cierto.

- via [Sangakoo]: ¿Y las matemáticas, para que sirven?, artículo de opinión.

-via [ncrayons]@Tumblr: Sabemos de pentágonos y octágonos, pero no del omnomnomágono.

Una última relojeada al 2010

imagen por Nemanja Djordjevic
[via]

De las infinitas veces que hemos hablado de relojes por el año, me topo con uno, justo a minutos de terminar el 2010 (y para mis lectores que ya están en el 2011, Feliz Año Nuevo). Nemanja Djordjevic no solo hace la imagen, sino nos regala un patrón para hacer tu propio reloj para matemáticos con un reloj de pared o despertador análogo, del cual pueden cambiar de tamaño al ser una imagen en vector. Lo pueden bajar aquí.

Gauss y los grafos aparecen discretamente en mi clase de sociología (Entrada cuasi personal)

---------PARTE PERSONAL - MARCADA ENTRE LAS LINEAS ROJAS---------
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En la tarde del jueves terminó mi semestre de clases en la universidad, tomando dos cursos, Metodología Matemática e Introducción a la Sociología. La razón de tomar la segunda fueron un gran accidente: el encargado de matricularme una electiva libre para completar los seis créditos no quería forzarme en clases que yo quería deveras tomar (como Lógica o Photoshop). Al no tener ninguna opción, acepté el reto. era el único de matemáticas en un universo de 90 personas lleno de futuros psicólogos, sociólogos, historiadores, y dos o tres empresarios, científicos agrícolas, ingenieros, y biólogos que tomaban la clase como electiva sociohumanística recomendada en un salón que se usa para dar clases de física y matemáticas prebásicas.

Ahora viendo el camino desde el otro lado, la experiencia fue excelente y mejor de lo que esperaba: los exámenes eran un mamey gracias a las explicaciones del Dr. Michael González-Cruz, un profesor, mediador de conflictos y defensor de las causas justas de Puerto Rico y Latinoamérica. A veces tenía ganas de tomar una siesta (la clase era a las 12:30 PM, en un salón frío, y casi siempre luego de haber almorzado), pero me gozaba las clases, muchas veces por las mismas opiniones del Dr. González sobre el gobierno y la universidad junto con las conversaciones previas con las amistades formadas.

Honestamente, cuando uno es un estudiante de mate y la clase a tomar es totalmente fuera del espectro matemático, uno se siente que no se puede expresar completamente, especialmente cuando los estudiantes y hasta algunos profesores le tiraban su puya (indirectas) a las matemáticas solamente porque es su kriptonita académica. Pero como dije en otra ocasión: "Todos tomamos y aportamos aplicaciones para que cada una de las concentraciones pueda trabajar con un problema que nosotros no podamos entender" y que "...cada grupo tiene sus fortalezas y debilidades ••• debemos ponernos en sus zapatos y ayudarnos mutuamente en lograr el bachillerato."

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Una de esas experiencias matemáticas dentro del espectro sociohumanístico que es la sociología ocurrió el jueves pasado. Estábamos discutiendo sobre grupos y organizaciones, topándonos en el tema del tamaño de los grupos. Me pongo a ver el impreso de la presentación en Powerpoint para ver un patrón reconocido de inmediato que quizas mis compañeros de clase ignoraron: los números triángulares, con todo y error en la primera parte.

La presentación decía que en un grupo de dos personas se producen 2 relaciones, lo que es cierto (persona 2 → persona 1, persona 1 → persona 2) , pero al ver que cuando le añadías un persona al grupo seguía el patrón visto en la imágen las relaciones se estaban contando una por el precio de dos (persona 1 ↔ persona 2). Además tenía una explicación que decía sobre mayor tamaño el grupo, mayor cantidad de relaciones internas, lo cual resumo junto con todo esto del tamaño de los grupos en esta fórmula:

"la cantidad de posibles relaciones internas de un grupo de n personas"

Dicha fórmula se deriva de la hazaña que hiciera el niño Carl Fredrich Gauss allá para 1783, cuando su maestro de escuela les dijo a sus estudiantes que sumaran los números del uno al cien. de ahí el pequeño de seis años sacó la solución al problema: en vez de estar sumando 1 + 2 + 3 + ••• +99 + 100, realiza que puede alterar la secuencia, agrupando el primero y el último (1 + 100) resultando en 101. De ahí saca lo siguiente:

1 + 2 + 3 + ••• + 99 + 100 = ?

1 + 100 + 2 + 99 + 3 + 98 + ••• + 50 + 51 = ?

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ••• + (50 + 51) = ? [50 pares formados por agrupación]

101 + 101 + 101 + ••• + 101 = 50 (101) = 5050

Q.E.D.

La fórmula final para sumar una cantidad de n cantidad de números en orden del 1 al n es

(n)(n+1)/2

Ahora se preguntarán cómo es posible que la fórmula de Gauss influya en las relaciones internas de grupo. Sencillamente sustituya n por n-1:

(n-1)[(n-1)+1]/2

(n-1)(n)/2 = r

Pero señores y damas, esto no para aquí. El miércoles es que me digno a leer el capítulo 7 del libro Sociología (de Macionis), cuando, no solo me dá la razón en cuanto al error de la hoja de Powerpoint sino que me da una sorpresa discreta:

Aparecen seis grafos simples (grafos con n vértices y hay exactamente una arista incidente con cada par de vértices) representando las relaciones mutuas de cada persona. Como pueden apreciar, cada vertice tiene una arista direccionada a cada persona, y si contamos cada relación de las personas, eliminando las repetidas, nos dará a la cantidad descrita debajo. Inclusive podemos aplicar la fórmula de las relaciones basado en el número de vértices.

Son esos detalles que me hace sentir feliz del haber inursionado en el mundo matemático, porque dnde menos te lo esperes aparece.