Rondando la frontera blogosférica (XVII)

• Como estudiar las matemáticas, según Halmos - via [Abstuse Goose]

• Geometría básica inscrita - via [TitoEliatronVidit]

• Fractales en el arte antiguo - via [AlcantarillaAlquímica]

• Una pared dedicada a un libro de matemáticas de primaria estadounidense, de los 1970's con estupendos visuales, especialemente ésta página la cual me recuerdo que utilizaron en el cuaderno de escuela elemental de matemáticas que usé (el llamado 20 Etapas) - via [andrewcollins]@Flickr

diseño hecho por W+K Studio

Ferretería Matemática: Herramientas educativas, hechos de basura

Hace casi un año atrás les hablé sobre la asitencia tecnológica, cuyo propósito es facilitar, aumentar o mejorar el rendimiento de los estudiantes mediante el uso de herramientas de ayuda, sean manuales o digitales, y les dí como ejemplo la cuadrícula multiplicativa. Ahora les traigo uno de los trabajos que hice de asistencia tecnológica allá para agosto 2010: un lector/marcador de libros.

Con una caja de cereal, un pedazo cortado del clip plástico de una carpeta, pintura y brillo pude crear un marcador capaz de hacer concentrar al estudiante que se enreda entre líneas a la hora de leer, además de un soporte deslizable que se sostiene por si solo.

No solo sirve para lectores videntes, ya que con las diferentes texturas los estudiantes que sepan leer Braille se benefician al tener tres diferentes texturas; donde reconocerá dos de inmediato (la superficie brillosa del lector, el plástico (el indicador), con la tercera siendo el libro de texto. Todavía hay más usos, pero ahora no me acuerdo rápidamente. eso sí, cuando fui con la profesora de EDES 4006 a entregar los proyectos de mis compañeros, fue el lector el que le dieron uso de inmediato, de parte de la maestra de la escuela.

---------------------------

Siguiendo con el tema de manualidades educativas, uno de los más grandes propulsores de los manipulativos educativos hechos de productos reciclables es Arvind Gupta, el educador de ciencias y juguetero proveniente de India, cuyas herramientas para mejorar el aprendizaje fueron presentados por TEDTalks. En su página tiene la lista completa de juguetes, con instrucciones por escrito (grabables e imprimibles), visualmente en fotos y video. El que me enviaron por correo fue el video donde explica como hacer estructuras geométricas de dos y tres dimensiones usando solamente fósforos y pedazos de goma de la pompa de una bicicleta:


video via [arvindguptatoys]@Youtube

Variedad de recreaciones matemáticas para los graduandos superiores

Durante la semana pasada, me puse a documentarme sobre las cartas circulares y cursos de matemática que se dan en las escuelas públicas de Puerto Rico. El más reciente y vigente Catálogo General de Cursos del Departamento de Educación muestra las Matemáticas 1-9 y las cuatro Matemáticas Integradas de medio crédito para los grados 10 y 11, ya dicho en la Carta Circular 5-2010-2011 del DEPR. Pero, ya dicho en entradas anteriores, a los estudiantes de duodécimo los dejan tomar cualquier curso, ya que no está esclavizados a pasar las PPAA. Pueden tomar 2 cursos de 1/2 crédito para así completar su aprendizaje matemático. Aquí algunos cursos que puedan ser de interés para los estudiantes a punto de graduarse:

• Matemáticas Ambientales: suena interesante la aplicación de las matemáticas a temas de Ciencias Ambientales. Más información al respecto curricular en esta propuesta por profesores de la Universidad de Granada.
• Matemática Actualizada I & II: Básicamente son dos cursos donde se cubren los temas de Prebásica junto con un poco de Estadística Descriptiva y Probabilidad.
• Matemáticas Discretas: Hay que darles el curso lleno de aplicaciones reales, especialemnte en el área de grafos.
• Apreciación de las Matemáticas: No he podido ver o saber que contenido tiene el currículo de la clase, pero si es igual al curso del mismo que se ofrece en la UPR-RP, puede tener potencial.

Aquí los cursos de 12 deben ser trampolín al mundo real o universitario, y por tanto deben ser tratados como preuniversitarios, o mejor dicho, adultos.

DEPR también da la oportunidad de añadir nuevos cursos a la lista, tras pasar aprobación de su guía operacional correspondiente. Así que sometan propuestas quizás se puedan dar cursos como Matemáticas Recreativas o Historia de la Matemática en un futuro.

Más objetivos actitudinales matemáticos

Hace unas entradas atrás les mostramos unos objetivos actitudinales que los docentes matemáticos podíamos usar para reenforzar las clases. Ahora les traigo una lista más extensa, grabable e imprimible.

48 / 2 (9+3) & 6 / 2 (1+2): Analizando el debate

En el pasado mes de abril hemos visto que la gente ha empezado a divulgar la matemática por medio de contestar una de las preguntas matemáticas más ambiguas, Tan ambigua que hasta las calculadoras están en discordia.

La ambigüedad que se encuentra , sea en 48/2(9+3) ó en 6/2(1+2) se basa en como los maestros enseñaron y estudiantes aprendieron el orden de operaciones.

Advertencia: Aquí solamente analizaremos las posturas, las respuestas, y las razones. Usted decide cual es la respuesta correcta. Como los dos ejemplos son de proceso similar, utilizaré 6/2(1+2) para todas las demostraciones.

Primero, 6/2(1+2) tiene dos bandos de gente apoyando respuestas. Están aquellos que piensan que la respuesta es 9, y otros que piensan que la respuesta es 1. Entonces veamos como saco ambas respuestas:

Caso 1: 6 / 2 (1+2) = 9

Forma como lo resuelven #1: "A la cañona": Resolvemos de izquierda a derecha sin aplicar Orden de Operaciones (OOp):

6 / 2 (1+2) = 3 (1+2) = 3 + 6 = 9

Forma como lo resuelven #2: PEMDAS: En esta versión de PEMDAS, se resuelve solamente lo que está adentro del paréntesis y las multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
3 × 3
9

Forma como lo resuelven #3: Multiplicando fracciones: Separo todo en los signos de multiplicación y cambio todos los signos de división a multiplicación inversa:

Ahora veamos el caso #2:

Caso 2: 6 / 2 (1+2) = 1

Forma como lo resuelven #1: PEMDAS lineal: Resolviendo por PEMDAS por el orden específico y olvidándonos que la multiplicación y división están al mismo nivel:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #2: Liquidación de paréntesis: Éstos deciden eliminar completamente los paréntesis, mutlplicando lo que esté pegado porque así les esneñaron:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #3: Fracción implícita: Como el paréntesis está pegado al 2 y al 2 le precede un signo de división, dividen 6 por 2(1+2).

Cualquier otra versión que existan de resolver la operación se derivan de éstas.

Ahora, el problema con este problema reside tanto en los signos que usa como en lo que muchos llaman multiplicación implícita.

El uso del signo / puede confundir a la gente, computadoras, y calculadoras debido a que algunos lo leen como división del número próximo (respuesta: 9)y otras como una fracción de todo lo que le sigue debajo (respuesta: 1). Siempre hay que verificar como programaron la calculadora, especialmente en los signos ÷ y /

La multiplicación implícita es utilizada cuando tenemos dos elementos diferentes, comúnmente un entero junto con una constante númérica, una variable, o un radical, en donde su producto al final, después de multiplicar elementos de la misma familia, se basa en escribrlos juntos sin el operador de multiplicación. Ejemplos 2π, 3√3, 5i, 4x,... En estos casos también se incluyen números seguidos por otro números entre paréntesis.

Ahora que alcaramos esto volvamos a ver el problema pero haciendo una leve sustitución: cambiaremos 3 por la variable x, convirtiendo la ecuación:

6 / 2 (1+2) = 6 / 2 (3) = 6 / 2(x)

Entonces el problema se reduce a qué la gente considera que sea como coeficiente de la x entre paréntesis. Ahí es donde radica la ambigüedad:

O el coeficiente de x es 2, resultando en 1,


O el coeficiente de x es 6/2, una fracción, resultando en 9,

De todas formas, la discusión de este problema y otros similares ha dejado a muchos pensar y a otros trollear. Suerte que esta pegunta no está en sus exámenes finales...

Cuando la raíz cuadrada se calculaba a papel y lápiz

El currículo de matemáticas es uno siempre cambiante, sustituyendo las bases del conocimiento que se quiere que el estudiante adquiera, como el cambio a un pensamiento más algebraico. Cosas como la enseñanza de la multiplicación ha cambiado de una tradicional, con requerimientos de cambiar el switch entre multiplicación y reagrupar sumas, a utilizar los productos parciales, donde solamente tienes que saber las tablas de multiplicación básicas hasta 9 × 9, multiplicar potencias de 10, descomponer ambos factores en sumas de potencias de 10 y sumar; con la propiedad distributiva opcionalmente.

Ejemplo: 36 × 45 sería:

36 × 45
(30 + 6) × (40 + 5) [descomponer los factores en sumas]
(30 × 40) + (30 × 5) + (6 × 40) + (6 × 5) [distributiva]
1200 + 150 + 240 + 30 [multiplicar]
1620 [suma]

Al menos sabemos que las enseñanzas básicas de multiplicación se han transformado, pero otras técnicas se han quedado en el olvido, como hallar la raíz cuadrada de un número por el método del algoritmo tradicional.

Todavía en las escuela se les enseña a los jóvenes aproximar las raíces cuadradas pero solamente para que ellos sepan su posición en la recta numérica; eso o solamente saben que √2 ≈ 1.41 y que el resto de los valores decimales están en una tablita. Miren la expectativa asociada para los estudiantes de Puerto Rico:

N.SN.7.1.4 Determina (sin calculadora) entre qué dos enteros se encuentra la raíz de un entero que no es un cuadrado perfecto y explica porqué.

Y es rara la ocasión que se enseñe el método tradicional, y más la versión de "divide y promedia".

"Divide y promedia" se trata de dividir el radicando por la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que esté más cercano al radicando. De ahí se promedia la raíz con el cociente resultante, para luego volver a dividir el radicando, esta vez por el promedio resultante. De no ser el cociente aproximadamente igual al divisor, se vuelve a promediar, y así repitiendose en un ciclo.

Creo que con un ejemplo se explica mejor: Hallar √8 por "Divide y promedia", redondeando a la centésima más cercana.

8 está cerca del cuadrado perfecto 9, por eso dividimos 8 por 3:

8 ÷ 3 ≈ 2.67

Entonces promediamos entre 3 y 2.67:

(2.67 + 3) ÷ 2 = 2.84

De ahí volvemos a dividir 8, en esta ocasión por 2.835

8 ÷ 2.84 ≈ 2.82

Promediamos de nuevo:

(2.82 + 2.84) ÷ 2 = 2.83

Dividimos de nuevo

8 ÷ 2.83 ≈ 2.83

Como ya encontramos dos divisor y cociente aproximadamente iguales, podemos estar seguros que √8 ≈ 2.83.

Q.E.D

Y ese método era nuevo para 1990, porque el método tradicional era largo y tedioso que hasta decimales enredaba adentro del radicando.

Algoritmo para determinar la raíz cuadrada de un número
Fuente: Introducción al Álgebra: Guía para el Maestro (DIP-PR, 1987)

Gracias a los avances tecnológicos, los estudiantes no tienen que estar 10 minutos buscando raíces, sino sacarlo en la calculadora solamente en 10 segundos. Lo bueno de esto es que temas como éste quedan solamente para diversión (?) y en el recuerdo de aquellos que pasaron horas en asignaciones.

Cuando uno domina la matemática parece como un milagro.

En la imagen de abajo describe exactamente como muchos nos enfrentamos a los horizontes matemáticos, al final sintiendo la satisfacción de tener correctamente un ejercicio:

imagen via [WIN!]

No una ni dos, SEIS demostraciones del Teorema de Pitágoras

Continuando con los apéndices de la Guía para el maestro de Introducción al Álgebra (DIP-PR, 1987), fue una sorpresa ver que hay varias ayudas para el maestro, como la explicación de la estrategia Exploración-Conceptualización-Aplicación (ECA), e información sobre la teoría de conjuntos y el número π. Pero una de las cosas que me sorprendió fue que explican y demuestran seis acercamientos diferentes a dominar el Teorema de Pitágoras, y ninguna de estas es la de contar el área por cuadritos. Incluyen aportaciones del educador barranquiteño Raul Marrero Ortiz, el presidente James Garfield y el libro, que se usaba de referencia, El Mundo del Número E.G.B. 7.

La aritmética necesaria para entrar a Harvard en 1869 te lo hacen las calculadoras hoy

Uno de los estudiantes del centro de práctica siempre dice cuando termina un ejercicio que va "de aquí a Harvard". Aunque sé que en parte lo dice en broma, las destrezas que ellos están tomando eran los requerimientos mínimos matemáticos para entrar en 1869.

El New York Times publicó una columna sobre como las universidades se anunciaban la prensa hace 150 años atrás; vendiéndose, a tal punto, similar a un bazar. Incluyen un examen de entrada a Harvard de julio de 1869. Entre los temas están latín, griego, geografía, e historia; pero también contenía 3 páginas dedicadas a cinco campos matemáticos:

aritmética, logaritmos, y trigonometría

álgebra

geometría plana

Me tomé la molestia de traducirlo y subirlo a PDF para que así los que pelean con el dificil puedan entenderlo más facilmente y hacerlo.

El examen no cubre temas que jamás vería en las escuelas de hoy día, pero se le ven los años al ver que muchas de estas preguntas quedan obsoletas a los conocimientos que se requieren al día de hoy. Con todo y eso los estudiantes de hoy fallarían si se les ofrece el examen con las mismas condiciones que aquellos prospectos a estudiantes tenían.

Un ejemplo: Para el 2011 el conocimiento aritmético manual, como el algoritmo para hallar raices cuadradas y cúbicas, sacar dividir decimales extensos, o encontrar potencias, han sido eclipsadas por el uso de la calculadora, mientras que la conversión de medidas quedó relegado a un nivel elemental. De esto se puede deducir que gracias a la incursión del uso compulsivo de la computadora y la calculadora, se está dando la transición del pensamiento numérico a uno algebraico.

Respecto a la trigonometría, logaritmos, álgebra, y geometría se han mantenido estáticos y son temas que uno puede ver en las asignaciones de nuestros jóvenes. Eso si, algunas demostraciones de geometría son de nivel universitario, o requieren regla y compás.

En resumen las destrezas que se enseñaban hace 150 años todavía son relevantes el día de hoy, excepto la aritmética manual. Disfruten resolver el examen y digan "¡Puedo entrar a Harvard... ...si estuviese en 1869!"

Raíces de los Reales

Raíces de los Reales es, como la autora dice, "una historia de amorrrrr" que es parte de los apéndices de la Guía para el maestro del curso Introducción al Álgebra (1987, Dept. de Instrucción Pública), donde describe y explica el diagrama de los números reales para estudiantes de escuela intermedia, como si fuese un árbol genealógico al revés. Incluyen muchas referencias a lugares, eventos, y gente de Puerto Rico:

• Moneró: el cantante de boleros José Luis Moneró (QEPD)
• Radar Ionosférico de Arecibo: el Observatorio de Arecibo
• C.U.C. : Centro Universitario de Cayey, Universidad de Puerto Rico, Recinto de Cayey
• "El Dr. recientemente había perdido a toda su familia en unas inundaciones...": Sabemos que existen en los irracionales algebraicos y trascendentales, pero parece que vivían en Mameyes. (esta es inferida, así que no estoy seguro que sea o no basado en el evento)
  

Sin má ni menos, damos paso a la narración.

------------------------------------------------------
RAICES DE LOS REALES
por Olga M. Torres Padilla
Comerío, PR

π es un joven infinitamente agradable que está interesado en conocer sus antecesores. va donde su abuelo, el respetado conjunto de los Números Reales, y éste le cuenta la siguiente historia de amorrrrr...

"Cero era una joven regordita y simpática que conoce en su baile de graduación a Naturales (conocido también como Enteros Positivos). Después de disfrutar la música de Moneró, continúan viéndose, culminando esto en matrimonio y en la procreación de una hermosa niña a quien llamaron Cardinales. La chiquilla creció hasta hacerse una joven esbelta. En cierta ocasión visitó el Radar Ionoesférico de Arecibo, y allí conoció a un joven científico llamado Enteros Negativos. Él le explicó gentilmente todos los detalles del radar, y a medida que iban hablando se profundizaba el interés de ambos jóvenes. Enteros Negativos quiso hablar con el papá de Cardinales, para comunicarle su interés por ella, pero nunca pudieron encontrarse. Cero, como madre al fin, fue el punto de enlace entre ambos y así los jóvenes pudieron casarse en una hermosa mañana del mes de abril. Al transcurrir el tiempo, Cardinales obsequió a su esposo con un robusto varón a quien llamaron Enteros en honor a su padre y a su abuelo.

Mientras esto ocurría, en otro lugar del país celebraban una sencilla boda la pareja formada por Decimales + y - y Fracciones + y -. Prontamente Fracciones + y - quedó embarazada y dió a luz una graciosa criatura a quien papá Decimales llamó Fracciones, como su progenitora. Fracciones y Enteros se criaron separadamente sin imaginar que en el futuro se unirían sus vidas de una manera muy peculiar.

Ambos jóvenes ingresaron en el C.U.C. para estudair una profesión. Una tarde, mientras Fracciones trabajaba en la pizzería (para costear sus estudios), llegó Enteros a comer. Fracciones lo atendió, y desde el primer momento ambos quedaron impresionados el uno con el otro. Aunque provenían de tan diferentes familias, pudieron unirse en matrimonio, culminando éste con el nacimiento de una glamorosa niña a quien llamaron Racionales.

Racionales crece, va a la vocacional y estudia asistente de sala de operaciones. Consigue trabajo en el Hospital San Pablo y es asignada al Dr. Irracional. El Dr. recientemente había perdido a toda su familia en unas inundaciones, por lo que se encontraba muy triste y amargado. Sin embargo continuaba trabajando en el hospital para así mantenerse ocupado. Inesperadamente surge una emergencia en el hospital y el Dr. Irracional se ve obligado a operar una paciente teniendo como única ayuda a su asistente, a la Srta. Racionales. Fueron momentos de gran tensión. El paciente se debatía entre la vida y la muerte, pero al fin la operación concluyó exitosamente. El Dr. sonrió por primera vez en mucho tiempo y para festejar, invitó a Racionales a ver la obra el Hombre Elefante, después de la cula irían a comer. este fue el inicio de una amistad que finalizó con el matrimonio de ellos y el advenimiento de un niño llamado Reales."

Y así concluyó la historia, las RAICES DE LOS REALES.

--------------------------------

-------------------------------------------------------------
Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Los Matemáticos no son gente seria de Juan Martínez-Tébar Giménez.