48 / 2 (9+3) & 6 / 2 (1+2): Analizando el debate

En el pasado mes de abril hemos visto que la gente ha empezado a divulgar la matemática por medio de contestar una de las preguntas matemáticas más ambiguas, Tan ambigua que hasta las calculadoras están en discordia.

La ambigüedad que se encuentra , sea en 48/2(9+3) ó en 6/2(1+2) se basa en como los maestros enseñaron y estudiantes aprendieron el orden de operaciones.

Advertencia: Aquí solamente analizaremos las posturas, las respuestas, y las razones. Usted decide cual es la respuesta correcta. Como los dos ejemplos son de proceso similar, utilizaré 6/2(1+2) para todas las demostraciones.

Primero, 6/2(1+2) tiene dos bandos de gente apoyando respuestas. Están aquellos que piensan que la respuesta es 9, y otros que piensan que la respuesta es 1. Entonces veamos como saco ambas respuestas:

Caso 1: 6 / 2 (1+2) = 9

Forma como lo resuelven #1: "A la cañona": Resolvemos de izquierda a derecha sin aplicar Orden de Operaciones (OOp):

6 / 2 (1+2) = 3 (1+2) = 3 + 6 = 9

Forma como lo resuelven #2: PEMDAS: En esta versión de PEMDAS, se resuelve solamente lo que está adentro del paréntesis y las multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
3 × 3
9

Forma como lo resuelven #3: Multiplicando fracciones: Separo todo en los signos de multiplicación y cambio todos los signos de división a multiplicación inversa:

Ahora veamos el caso #2:

Caso 2: 6 / 2 (1+2) = 1

Forma como lo resuelven #1: PEMDAS lineal: Resolviendo por PEMDAS por el orden específico y olvidándonos que la multiplicación y división están al mismo nivel:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #2: Liquidación de paréntesis: Éstos deciden eliminar completamente los paréntesis, mutlplicando lo que esté pegado porque así les esneñaron:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #3: Fracción implícita: Como el paréntesis está pegado al 2 y al 2 le precede un signo de división, dividen 6 por 2(1+2).

Cualquier otra versión que existan de resolver la operación se derivan de éstas.

Ahora, el problema con este problema reside tanto en los signos que usa como en lo que muchos llaman multiplicación implícita.

El uso del signo / puede confundir a la gente, computadoras, y calculadoras debido a que algunos lo leen como división del número próximo (respuesta: 9)y otras como una fracción de todo lo que le sigue debajo (respuesta: 1). Siempre hay que verificar como programaron la calculadora, especialmente en los signos ÷ y /

La multiplicación implícita es utilizada cuando tenemos dos elementos diferentes, comúnmente un entero junto con una constante númérica, una variable, o un radical, en donde su producto al final, después de multiplicar elementos de la misma familia, se basa en escribrlos juntos sin el operador de multiplicación. Ejemplos 2π, 3√3, 5i, 4x,... En estos casos también se incluyen números seguidos por otro números entre paréntesis.

Ahora que alcaramos esto volvamos a ver el problema pero haciendo una leve sustitución: cambiaremos 3 por la variable x, convirtiendo la ecuación:

6 / 2 (1+2) = 6 / 2 (3) = 6 / 2(x)

Entonces el problema se reduce a qué la gente considera que sea como coeficiente de la x entre paréntesis. Ahí es donde radica la ambigüedad:

O el coeficiente de x es 2, resultando en 1,


O el coeficiente de x es 6/2, una fracción, resultando en 9,

De todas formas, la discusión de este problema y otros similares ha dejado a muchos pensar y a otros trollear. Suerte que esta pegunta no está en sus exámenes finales...

Cuando hacer cómputos no es suficiente

Uno de los deberes de enseñar matemáticas a nivel superior es el adaptar al estudiante a un razonamiento más amplio y fuera de lo que vea directamente en el papel, que use la lógica y la intuición en dichos problemas y que tome decisiones de la acción a ejecutar previo a machacar números en el papel mediante la computación de la solución. Tengan este problema verbal de tres estrellas como prueba de lo dicho:

Problema (Traducción): "Le tomó a Marie 10 minutos para serruchar un tablón en 2 pedazos. Si ella trabaja con la misma velocidad, ¿cuánto le tomaría a ella serruchar otro tablón en 3 pedazos?"

Solución: El acercamiento que debemos tener al problema es más lógico y no computacional (por eso las tres estrellas). Se le está dando a Marie un nuevo tablón para que cotre en tres pedazos y que trabajará a la misma velocidad, cortando el tablón completamente a los 10 minutos, dejando dos pedazos. Repite el mismo procedimiento con uno de los pedazos (podemos decir que hace lo mismo que el tablón original, pero con uno más pequeño)

¿Qué nos queda al final? Marie cortó los tres pedazos en veinte minutos.

Creo que una representación grafica de la explicación, lo cual recomiendo que los estudiantes hagan, puede explicar mejor y sin enredos, la ejecución de Marie.

Reexplicando: a los cero minutos, Marie ya marcó por donde iba a cortar el tablón nuevo. Empieza a cortarlo hasta que lo logra a los diez minutos, donde marca uno de los pedazos, para repetir el procedimiento, a la misma velocidad, partiéndolo en otros dos en la marca de veinte minutos, resultando en tres tablones.

Si tradujeramos el problema a una extensión de cómputos matemáticos sería convertir el tiempo de Marie en una fórmula:

t = 10(n-1)

donde t es el tiempo total que se tardaría Marie cotrando n cantidad de tablones, sabiendo que se tarda 10 minutos por partir pedazo en dos.

Veamos otro problema, esta vez uno que tuve que resolver para la clase de Metodología Matemática:

Problema: Lo han enviado por agua al río con dos baldes sin marca alguna, cuya capacidad es de 7 galones y 3 galones, respectivamente. ¿Cómo puede llevar exactamente 5 galones de agua a casa?

Solución: Es posible con los baldes de siete y tres galones llevar exactamente cinco galones a su casa si sigue los siguientes pasos (en negrilla)

1. Llega al río con los baldes vacíos.
2. Llena el balde de 7 galones (B7G) por completo.
3. Vierta el agua del B7G en el balde de 3 galones (B3G) hasta llenarlo. De esta forma nos quedamos con 4 en el B7G.
4. Vacía los contenidos del B3G.
5. Repita el paso 3. Esta vez nos quedamos con un galón de agua en el B7G y con tres galones en B3G.
6. Repita el paso 4.
7. Repita el paso 3. Ahora el B7G está vacío y el B3G tiene un galón.
8. Repita el paso 2.
9. Repita el paso 3. Como el el B3G tenemos ya un galón, del B7G solamente necesitamos 2. Como el B7G está lleno por completo (7 galones), al vertir los dos galones al B3G, el B7G se queda con 5 galones.
10. Repita el paso 4.
    

Explicación gráfica de los pasos:

En el problema de arriba no se requirió computación más allá de suma y resta de primer grado para solucionarlo, . Ahora, tenemos que empezar a darle espacio a problemas verbales de este calibre en el aula de clases, que los ayude a progresar en el razonamiento y pensamiento crítico. El estudiante no se puede quedar cegado por toda la vida machacando una calculadora, sino crear personas que puedan determinar si lo apropiado sin precipitarse de inmediato.