Evaluar expresiones aritméticas, mejor conocido como el orden de operaciones

Uno de los tópicos más debatidos durante el pasado año ha sido la evaluación de expresiones aritméticas. Las redes sociales (y también este blog) han estado discutiendo como se resuelven las siguientes:

48 / 2 (9 + 3)

6 / 2 (1 + 2)

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0

Y en todas las ocasiones, la gente se pelean en los comentarios de Facebook.

Ahora bien, como una expresión aritmética se puede ser interpretada de diferentes maneras, los matemáticos decidieron que las diversas operaciones que componen las expresiones aritméticas de deben ejecutar bajo un orden, y así evitar peleas y malentendidos e interpretaciones diferentes. Tienen diferentes iniciales, pero la mayoría de nosotros lo conocemos como PEMDAS.

• Paréntesis

• Exponentes y extracción de raíces

• Multiplicación / División (de izquierda a derecha)

• Suma / Resta (de izquierda a derecha)

Existe una explicación más profunda del PEMDAS, el cual aplica más operaciones aritméticas.

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Primero, vemos si existen en la expresión aritmética paréntesis (  ), corchetes [  ], llaves {  }. De haber paréntesis dentro de corchetes u otros paréntesis, comenzamos a efectuar las operaciones de aquél paréntesis que esté más adentro.

También en este nivel, efectuamos las operaciones aritméticas dentro de los radicales √ y/o valores absolutos |  |, pero NO se resuelven dichos radicales y valores absolutos (a menos que estén dentro de un paréntesis.

Ejemplo #1: { 6 + 9 [8 - 5 (√(3 + 6) ) ] }

Lo primero que haremos es sumar el 3 y el 6 que están dentro del radical:

{ 6 + 9 [8 - 5 (√9 )] }

Seguimos, evaluando la operación dentro de los corchetes

{ 6 + 9 [8 - 5 (3)] }

{ 6 + 9 [8 - 15] }

{ 6 + 9 [-7] }

Al final, solamente tenemos que evaluar dentro de las llaves y sabremos la solución: 

{ 6 + -63 }

{ -57 }

Por tanto, { 6 + 9 [8 - 5 (√(3 + 6) ) ] } = -57

Cuando erradiquen todo paréntesis de la expresión, se empieza a evaluar las operaciones que NO son básicas.

Normalmente se estudia que en el segundo nivel se evalúan exponentes y se extraen raíces (o exponentes fraccionarios); pero también se deben evaluar aquellas operaciones donde se requieren su solución númérica previo a multiplicar / dividir / sumar / restar, como el factorial  (la multiplicación consecutiva de los números del 1 al n)

factorial = n! = 1 × 2 × 3 ... × n 

(n: un número cardinal)

y el valor absoluto:

|c| = |-c| = c

(c: un número entero)

En otras palabras, toda operación que carga un símbolo consigo se resuelve aquí.

Ejemplo #2: | √[9! ÷ (2 × 4)!]  + - 5| - 6

El paréntesis que está más adentro es el que se encuentra pegado al segundo factorial. Para poder hallar dicho factorial, resolvemos:

| √[9! ÷ (2 × 4)!]  + - 5| - 6

| √[9! ÷ 8!]  + - 5| - 6

Ahora bien, 9! y 8! darán como resultado números gigantescos y va a ser dificil dividirlo; pero si conocemos las propiedades de los factoriales el resultado será más facil. Cuando divides dos factoriales, todos los factores del factorial menor se cancelan entre sí con el factorial mayor:

9! ÷ 8! = (1 × 2 × 3 ... × 8 × 9) / (1 × 2 × 3 ... × 8) = 9 / 1 = 9

Entonces, la expresión queda así:

| √[9]  + - 5| - 6

| 3  + - 5| - 6

| - 2| - 6

2 - 6

-4

Ya para cuando estés para hacer multiplicación/división y/o suma/resta, solamente deben haber números y éstos cuatro símbolos y cualquier multiplicación que sea de la forma a(b). La división se trabaja solamente con el símbolo básico ÷ a menos que el ejercicio sea la simplificación de una fracción, donde el numerador y denominador son dos expresiones aritméticas aparte. Es ahí donde realmente usas la diagonal.

Creo que con ésto queda aclarada toda duda al respecto a los famosos ejercicios y el PEMDAS. Recuerden siempre preguntarle a su maestro si, cuando hayan problemas como 48 / 2 (9+3), interpreta la diagonal como fracción o como división.