El Triángulo de Pascal y sus regiones de divisibilidad

Otra razón por la cual considero al Triángulo de Pascal como la navaja suiza del matemático:

De la entrada anterior recordarán que al Triángulo de Pascal se le enumeran las filas desde el cero  (1 solo) hasta n (la secuencia numérica 1 n ... n 1), nombrado así por la potencia n de (x + 1)ⁿ, donde cada Fila n son los coeficientes de (x + 1)ⁿ ordenados por grado.

Ya que les menciono este dato, hagamos un experimento. Marcaremos todas las filas donde n = p, un número primo (Fila 2, Fila 3, Fila 5, Fila 7, ...), sombreando solamente aquellos números en la fila diferentes de uno.

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35    35    21    7    1

1     8     28     56     70     56     28     8     1

Ahora bien, una de las propiedades del Triángulo de Pascal es el hecho de que podemos hacer cada nuevo elemento de una fila sumando los dos números arriba de ésta.

Ejemplo: El tercer elemento de la Fila #4 (6) es el resultado de la suma de 3 y 3

¿Qué tiene que ver éste dato con las regiones de divisibilidad? Verán que los elementos marcados en cada Fila p son todos números naturales divisibles por p. Por tanto, cada elemento nuevo creado por dos números marcados y adyacentes también será divisible por p. Seguirá sucediendo hasta que quede un solo elemento:

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35    35    21    7    1

1     8     28     56     70     56     28     8     1 

¿Observan el patrón?

Cuando p = 2, solamente encontramos el mismo 2 (1 elemento)
Cuando p = 3, tenemos  dos 3 y un 6 (2 elementos)
Cuando p = 5 hay 10 elementos

Todos formando un triángulo invertido al Triángulo de Pascal. Éstos son las regiones de divisibilidad

imagen via [The Math Kid]

Cada region de divisibilidad se expande a p - 1 filas debajo de la fila p. En total cada región de divisibilidad tendrá [(p)(p-1)] / 2 elementos.

Ejemplo: La región de divisibilidad para p = 31 constaría de 465 elementos.

[(31)(30)] /2 = (31)(15) = 465

¿Cuántos usos más encontraremos para el Triángulo de Pascal? Como dirían en el comercial de Tootsie Pop, "The world may never know".