Quote de Doctor Who complementa el álgebra lineal.

La semana pasada subieron por Imgur dos páginas de un libro de texto de Álgebra Lineal (1, 2), el cuál pudimos identificar como Linear Algebra: A Modern Introduction (Cengage, 2010). Como parte de el proceso introductorio, se presentan citas a personajes reales y ficticios los cuales ayudan a asociar la idea expresada con el tema. Particularmente dos de estas citas son del famoso alienígena de apariencia humana conocido solamente como El Doctor (Doctor Who). Para aquellos que no conozcan del personaje pueden visitar su página oficial o Wikipedia.

En fin, a causa de la capacidad regenerativa del Doctor, hemos tenido once personas encarnando al personaje, todos con sus particularidades diferentes. Es por eso que, como en las citas muentran la fecha original de transmisión del programa, podemos identificar quién dijo qué.

La cita dicha por el Tercer Doctor (Jon Pertwee) fue utilizada para introducir el concepto de la geometría del taxi.

"Una línea recta puede ser la ruta más corta entre dos puntos, pero de ninguna manera es la más interesante"

- Tercer Doctor

Mientras tanto, en la página de respuestas dejaron este mensaje de índole pedagógico del Cuarto Doctor (Tom Baker), referenciado en series como Futurama y Los Simpsons.

"Las respuestas son fáciles. Es hacer las preguntas correctas lo [que es] dificil."

- Cuarto Doctor

 -------------------------------------------------------------
Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

La competencia de integración de MIT

El Massachussets Institute of Technology, mejor conocida como MIT, es una institución reconocida por sus prospectos, mayormente en las ciencias físicas e ingeniería. Una de las tradiciones que acostumbran hacer es celebrar en enero la Competencia de Integración (Integration Bee), la cual se celebró el pasado martes. Ésta es un torneo de prestigio mundial y creado hace décadas atrás, donde en cada ronda los estudiantes solamente necesitan hallar la solución primero que su oponente.

Reglas: 
(Traducidas y resumidas del reglamento del MIT Integration Bee 2012)

Ronda clasificatoria:

• Se le administra a todos los participantes un examen escrito con 25 ejercicios de integración, el cual deben completar en 20 minutos.

• Las dieciseis (16) participantes con el mejor desempeño serán finalistas.

El torneo:

• El Integration Bee es un torneo de eliminación sencilla (así) donde el #1 se enfrenta al #16, el #2 con el #15, y así sucesivamente. 

• Todas las integrales presentadas en una ronda tienen la misma dificultad, no-trivial; pero ésta crecerá a medida que entren a la siguiente ronda.

• El ganador será coronado como El Gran Integrador.

• Primera ronda: El primero que resuelva dos ejercicios de integración correctamente pasa a la segunda ronda. Cada uno debe ser resuelto en menos de un minuto.

• Segunda ronda: El primero que resuelva dos ejercicios de integración correctamente pasa a la tercera ronda.  Cada uno debe ser resuelto en menos de dos minutos.

•  Tercera ronda: El primero que resuelva tres ejercicios de integración correctamente pasa a la ronda final. Cada uno debe ser resuelto en menos de tres minutos.

• Ronda final: El primero que resuelva tres ejercicios de integración correctamente será El Gran Integrador. Cada uno debe ser resuelto en menos de cuatro minutos. 

• Cuando el participante circule la solución de la integral, el reloj se detiene, para que el juez pueda verificar la solución. De ser correcta, se le otroga un punto. De lo contrario, el reloj continúa hasta que dicha solución sea encontrada o el tiempo de regulación termine.

• Un participante sólo tiene dos oportunidades para mostrar la solución correcta de la integral. 

• Si en el espacio de tiempo ningún participante halló la solución, se procede a contestar otra integral.

Para muestra, tenemos la intensa ronda final del torneo del 2009:

video via [msa1926]

----------------------------------------------

Opinión: Deberían hacer una competencia de integración (o de derivación) interuniversitaria aquí en Puerto Rico.Es como las Competencias de Cálculo que hacen aquí sin depender del procedimiento.

La TI-108

imágenes via [The Math Kid]

Esta calculadora debe ser un artículo de colección para cualquier maestro de matemáticas. La TI-108 es la calculadora más básica y barata que ofrece Texas Instruments, mayormente utilizadas para introducir a los estudiantes de primaria al uso de ésta. Fue creada a mediados de los ochenta, con la fiebre del panel solar de la época y los botones de memoria (si lo necesitabas para hacer orden de operaciones). Al sol de hoy, todavía mantiene un diseño similar al original, con un upgrade de software y LED por dentro.

Si Carl Gustav Jacobi fuese luchador de lucha libre (pressing catch)

Tendría un gimmick de una persona que no se rinde para nada y está determinado a ganar el campeonato de los pesos pesados a como de lugar.

Vender libros universitarios: una guía

Dos años después de redactar la guía de como comprar libros universitarios, creo que era necesario irnos en la otra dirección.

Tienes una pila de textos que no quieres o necesitas, ya que pasaste la clase o no les vas a dar un uso más allá del requerido en tu currículo; y decides venderlos para poder sobrevivir la rutina diaria. De ahí promocionas tu mercancía en los bulletin boards y muros de redes sociales para ver si milagrosamente llega el comprador.

Primeramente, tienes que venderlo a una cantidad monetaria menor al precio sugerido (entiéndase precio regular o como lo tengan en la librería). Suponiendo que la condición del texto es perfecta (poco o ningún uso, cero daño físico dentro y fuera) se recomienda que lo venda a un 60% del precio original.

Ahora, le presentamos una lista de requisitos necesarios para que ese texto mantenga ese 60%. En cada categoría usted escogerá la alternativa (s) que más se asemeje a las condiciones del libro (sea lo más honesto posible)

• Edición del libro (solamente una alternativa)
• Es la edición que se utiliza actualmente = 0%
• No es la edición que se utiliza actualmente = - 10% por cada edición que se distancie de la actual

•  Portadas / contra portadas (solamente una alternativa)
• Excelentes condiciones = 0%
• puntas dobladas / portada escrita = - 5%
• portada rota o dañada = -10%

•  Adentro
• Excelentes condiciones = 0%
• pocas páginas escritas = - 5%
• bastantes páginas escritas = - 10%
• faltan páginas = - 5%

La cantidades de las alternativas escogidas le darán un estimado de a qué porciento del precio original debe vender el texto.

----------------------------

Ejemplo: Tengo tres libros de humanidades (precio original: $26 cada uno) que quiero vender en combo. Por eso utilizaré el método de estimación para verificar cuál será el precio de venta. Sé que el libro es de dos ediciones atrás, todas las portadas tienen las puntas dobladas, y tienen las páginas bastantes marcadas. Entonces, ¿Cuál será el precio de venta estimado?

Solución:

• Precio total de los libros (T): $26 (3) = $78
• Porciento recomendado de venta comparado al original (R): 60% = 0.60
• El libro es de dos ediciones atrás = Se restan 20% (0.20) de R
• Portadas con puntas dobladas = Se restan 5% (0.05) de R
• Páginas bastantes marcadas = Se restan 10% (0.10) de R

Entonces:

Precio de venta estimado = T (R - 0.20 - 0.05 - 0.10)
= T (R - 0.35)
= 78 (0.60 - 0.35)
= 78 (0.25)
= $19.5

Por lo tanto debería vender los tres libros en conjunto por $19.50

----------------------------

Después que tengamos el precio estimado, depende de nosotros si ese precio sube o baja. De este punto en adelante el precio se rige por sentido común, no por leyes matemáticas.

• Si el libro es utilizado y solicitado por la mayoría de población universitaria, como el de precálculo o de español básico, es recomendable que baje el precio, para así incrementar las posibilidades de venta. 
• Por el contrario, si es un libro que se utiliza en una clase en específico, sea en especialidad o regular, en donde son poca la cantidad de secciones / estudiantes por semestre, podría mantener o subir el precio de venta. Solamente baje el precio si no hay ofertas durante los primeros tres días.

La física al estilo Nyan

Muchas veces de una idea fuera del aula, se pueden formar los más excelentes planes de clase. Por ejemplo, vean como han insertado al célebre Nyan Cat en el tema de las vibraciones de ondas y resonancia.

presiona para tocar el tema de Nyan Cat

imagen via [The Math Kid]

Verificando el álgebra de un anime

limitehouse colocó en su cuenta de Tumblr esta imagen sacada de la serie de animación japonesa Baka to Test to Shoukanjuu, donde pueden apreciar a uno de los personajes resolviendo una serie de multiplicaciones algebraicas y, a la misma vez, simplificando expresiones radicales. Nos comenta que hay un error en una de las soluciones. Vamos a verificar:

Ejercicios del 8 al 11:

Esta serie de multiplicaciones tienen la habilidad especial de ser factores cuya simplificación se pueden conseguir por medio del conocimiento de las fórmulas de factorización, en este caso las factorizaciones para las diferencias y sumas de cubos. Dados a & b, términos constantes; y x & y, variables, las fórmulas de factorización para la suma y diferencia de cubos son:

a­³x³ + b³y³ = (ax + by)(a²x² - ab + b²y²)

a³x³ - b³y³ = (ax + by)(a²x² + ab + b²y²)

Entonces, los ejercicios 8 y 9 son ejemplos directos de la fórmula; y fuera del error (2x)³ - 13 (en vez de ser escrito como (2x)³ - 1³), el procedimeinto para ambos están correctos. Mientras que los ejercicios 10 y 11 se necesitan varios pasos para resolverlo:

10. (x - 1)(x² + x + 1)(x⁶ + x³ + 1)

Verificando los tres factores vemos que podemos simplificar (x - 1)(x² + x + 1) a
x³ - 1. Luego, lo simplificamos con (x⁶ + x³ + 1), ya que ambos factores forman una diferencia de cubos.

(x³ - 1)(x⁶ + x³ + 1)

(x³)³ - 1³

x^9 - 1

11. (x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

A simple vista, no sería posible aplicar las fórmulas para ningún par de factores; pero al observar que x² - y² es una diferencia de dos cuadrados, tal que los elementos que componen su factorización es lo que necesitamos para poder simplificar y llegar a la solución más óptima: 

(x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

(x + y)(x - y)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

Entonces, por la propiedad conmutativa, podermos observar más claro la doble simplificación:

(x - y)(x² + xy + y²) · (x + y)(x² + xy + y)

(x³ - y³)(x³ + y³)

x⁶ - y⁶

Ejercicios del 1 al 4: Simplificar expresiones radicales (raíces cuadradas)

1. (√3 + √2)² + (√3 - √2)²

Tenemos que resolver ambos cuadrados especiales:

(√3 + √2)² + (√3 - √2)²

(√3 + √2)(√3 + √2) + (√3 - √2)(√3 - √2)

(√9 + 2√6 + √4) +  (√9 - 2√6 + √4)

(3 + 2√6 + 2) +  (3 - 2√6 + 2)

Ahora agrupamos enteros con enteros y radicales con radicales para entonces sumarlos:

(3 + 2 + 3 + 2) +  (2√6 - 2√6)

10 + 0

10

2. (√6 + 1)² - 2(√6 - 1) - 3
3. √27 + √12 - √48

Basado en lo presentado en la imagen, ambos ejercicios tienen el procedimiento correcto, salvo que en el ejercicio 2 se salta el paso de agrupar enteros por un lado y radicales por otro.

4. √(-3)² + √(3 - π)²

La raíz cuadrada de una expresión elevada al cuadrado es el valor absoluto de la expresión misma. Es por esto que para hallar la solución, debemos "eliminar" el radical y la potencia cuadrada, hallar sus valores absolutos (si dicho número o resultado son negativos) y resolverla como una suma.

√(-3)² + √(3 - π)²

|-3| + |3 - π|

-(-3) + -(3 - π)

3 + (π - 3)

(3 - 3) + π

π

Al final todos los ejercicios tenían las solucuiones correctas, solamente que se encontraron dos errores basados en la escritura. Si me entregasen el trabajo para corrección, quitaría puntos por falta de procedimiento, pero no por un error que en el trayecto del ejercicio no se vea reflejado.

Powers of Ten: desde lo más lejano de la galaxia hasta el más pequeño protón

Powers of Ten es un cortometraje, creado por Ray y Charles Eames (Eames Office) para IBM, que cada cierta cantidad de segundos (dichas por el narrador) la velocidad del viaje aumenta/disminuye a  10ⁿ metros, en un viaje que presenta cuán vasto es nuestro universo y a composición y complejidad de nuestro organismo hasta un nivel atómico; con solamente añadir un cero, sea a la derecha (potencias positivas de 10ⁿ) o la izquierda (después del punto decimal, haciéndolas potencias negativas de 10ⁿ) del 1. Recomendada como lección de introducción para una clase sobre exponentes, física o cualquier ciencia que contenga en su currículo el cuerpo humano o el sistema planetario (aclarando lo de Plutón).

Pueden visitar la página powersof10.com para una experiencia interactiva basada en el film.

Powers of Ten

por Ray y Charles Eames

video subido a Youtube por EamesOffice 

(Eames Offfice LLC © 1977)

Matemática, parte de la rutina diaria (RLFB XXIII)

• El 2012 comienza con el pie derecho con la revelación de uno de los juntes más esperados en la Youtubesfera divulgativa: Vi Hart ha sido reclutada por Salman Khan para trabajar en Khan Academy.

• Conozca la Habitación Infinita de Serge Salat.

• The Best Page of the Universe dice sin tapujos ni censura: la matemática no apesta, sino usted. [Precaución: lenguaje fuerte]

• Nuestro sistema pulmonar y circulatorio alrededor de ésta, indispensable para respirar y bombear sangre al corazón, están compuestos por fractales.

• La mejor explicación para el Teorema del Sandwich.

• MindShift ha estado publicando en su página una serie de artículos sobre el día escolar del futuro, donde visualizan elementos característicos y contrastantes de ésta al sitsema actual. Como ejemplo lea una lista de 21 artículos que podrían ser obsoletos en las aulas del 2020.

El Pitagosaurio Rex

Pythagasaurus es un corto animado creado por el equipo de Aardman Animations y dirigida por Peter Peake.  En ésta, dos cavernícolas le solicitan ayuda al Pitagosaurio, gran conocedor de la división larga y trigonometría, para salvar su villa de un volcán. Vealo dos veces: la primera como diversión y la segunda para que mire detenidamente cuantos conceptos científicos y matemáticos, flotantes por toda la animación, reconoce, como el volcán siendo una curva campana.

Pythagasaurus (2011)
Director: Peter Peake
Reparto de voces: Bill Bailey, Martin Trenaman, Simon Greenall
Animación creada por Aardman Animations