Verificando el álgebra de un anime

limitehouse colocó en su cuenta de Tumblr esta imagen sacada de la serie de animación japonesa Baka to Test to Shoukanjuu, donde pueden apreciar a uno de los personajes resolviendo una serie de multiplicaciones algebraicas y, a la misma vez, simplificando expresiones radicales. Nos comenta que hay un error en una de las soluciones. Vamos a verificar:

Ejercicios del 8 al 11:

Esta serie de multiplicaciones tienen la habilidad especial de ser factores cuya simplificación se pueden conseguir por medio del conocimiento de las fórmulas de factorización, en este caso las factorizaciones para las diferencias y sumas de cubos. Dados a & b, términos constantes; y x & y, variables, las fórmulas de factorización para la suma y diferencia de cubos son:

a­³x³ + b³y³ = (ax + by)(a²x² - ab + b²y²)

a³x³ - b³y³ = (ax + by)(a²x² + ab + b²y²)

Entonces, los ejercicios 8 y 9 son ejemplos directos de la fórmula; y fuera del error (2x)³ - 13 (en vez de ser escrito como (2x)³ - 1³), el procedimeinto para ambos están correctos. Mientras que los ejercicios 10 y 11 se necesitan varios pasos para resolverlo:

10. (x - 1)(x² + x + 1)(x⁶ + x³ + 1)

Verificando los tres factores vemos que podemos simplificar (x - 1)(x² + x + 1) a
x³ - 1. Luego, lo simplificamos con (x⁶ + x³ + 1), ya que ambos factores forman una diferencia de cubos.

(x³ - 1)(x⁶ + x³ + 1)

(x³)³ - 1³

x^9 - 1

11. (x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

A simple vista, no sería posible aplicar las fórmulas para ningún par de factores; pero al observar que x² - y² es una diferencia de dos cuadrados, tal que los elementos que componen su factorización es lo que necesitamos para poder simplificar y llegar a la solución más óptima: 

(x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

(x + y)(x - y)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

Entonces, por la propiedad conmutativa, podermos observar más claro la doble simplificación:

(x - y)(x² + xy + y²) · (x + y)(x² + xy + y)

(x³ - y³)(x³ + y³)

x⁶ - y⁶

Ejercicios del 1 al 4: Simplificar expresiones radicales (raíces cuadradas)

1. (√3 + √2)² + (√3 - √2)²

Tenemos que resolver ambos cuadrados especiales:

(√3 + √2)² + (√3 - √2)²

(√3 + √2)(√3 + √2) + (√3 - √2)(√3 - √2)

(√9 + 2√6 + √4) +  (√9 - 2√6 + √4)

(3 + 2√6 + 2) +  (3 - 2√6 + 2)

Ahora agrupamos enteros con enteros y radicales con radicales para entonces sumarlos:

(3 + 2 + 3 + 2) +  (2√6 - 2√6)

10 + 0

10

2. (√6 + 1)² - 2(√6 - 1) - 3
3. √27 + √12 - √48

Basado en lo presentado en la imagen, ambos ejercicios tienen el procedimiento correcto, salvo que en el ejercicio 2 se salta el paso de agrupar enteros por un lado y radicales por otro.

4. √(-3)² + √(3 - π)²

La raíz cuadrada de una expresión elevada al cuadrado es el valor absoluto de la expresión misma. Es por esto que para hallar la solución, debemos "eliminar" el radical y la potencia cuadrada, hallar sus valores absolutos (si dicho número o resultado son negativos) y resolverla como una suma.

√(-3)² + √(3 - π)²

|-3| + |3 - π|

-(-3) + -(3 - π)

3 + (π - 3)

(3 - 3) + π

π

Al final todos los ejercicios tenían las solucuiones correctas, solamente que se encontraron dos errores basados en la escritura. Si me entregasen el trabajo para corrección, quitaría puntos por falta de procedimiento, pero no por un error que en el trayecto del ejercicio no se vea reflejado.

Coloreando las fórmulas

Para su clase de álgebra, Theresa Ford hizo una serie de afiches donde describía las fórmulas para los exponentes, radicales, y productos especiales, con la diferencia de que en vez de variables, ella utilizó colores.

Como las variables de una fórmula pueden representar cualquier cosa, Ford las sustituyó con dibujos, y los colores primarios. Me gustó la forma que interpretó la adición y multiplicación de los colores. La adición al definirse como el total de cierta cantidad de elementos entre dos conjuntos, tu no puedes decir de inmediato que rojo + amarillo = anaranjado. En realidad tienes x cantidad de elementos rojos y y cantidad de elementos amarillos, por eso ven un cuadriculado en los resultados de suma.

Por otro lado, segú visto en los afiches, la premisa para multiplicar dos colores se basa en la siguiente oración:

"rojo y amarillo produce anaranjado"

La palabra clave es produce, de ahí podemos asumir la regla que

azul× amarillo = verde
azul × rojo = violeta

Esta multiplicación colorida se ha explorado anteriormente en cursos matemáticos, especialmente en la multiplicación de fracciones. Aquí un modelo, el cual usted puede hacer con transparencias y marcadores:

Para modelar gráficamente el producto de un tercio y un medio necesitamos una figura que podamos cortar en tres pedazos iguales (primer rectángulo), pero a la misma vez podamos dividirlo en dos mitades (segundo rectángulo). De ahí sombreamos las fracciones que queremos representar con dos colores diferentes. Para finalizar fusionamos las dos figuras con sus ejes de simetría (tercer rectángulo). El producto de la multiplicación de fracciones consiste de cada espacio del rectángulo final en donde se encuentren los dos colores. En el caso de arriba solamente un espacio de los seis comparte el amarillo y rojo. Por tanto, el producto de un tercio y un medio es igual a un sexto.

El uso de los modelos gráficos es bueno para transicionar al estudiante alos temas de álgebra, ya que al tener visuales coloridos, los estudiantes pueden estar atentos. Personalmente se los digo porque utilicé triángulos con números escritos en ellos para explorar el tema de radicales semejantes a estudiantes de escuela superior; y lo más gracioso era que querían jugar con los triángulos al final.

Práctica Docente: Entre dudas y radicales

Hoy les traigo varios materiales que he confeccionado para mejorar la experiencia de los jóvenes a quienes les estoy dando clases.

El recolector de dudas: decoré una caja para que aquellos estudiantes que no se atreven a expresar sus inquietudes sobre el tema en discusión coloquen papeles con su pregunta.

√RADICALES: Toda la primera parte de los radicales (la segunda son operaciones con radicales) está basada en un bingo que voy a hacer antes del examen. Cada práctica está numerada con una solución única que corresponde a una de las letras de B·I·N·G·O. Todavía no está completada, pero en esta semana trabajo con lo que falta. Hay un error en uno de los ejemplo 2 de raíces n-ésimas. La raíz cuarta es 16, pero en las explicaciones puse 64.

En otras noticias, les mencione mi intención de celebrar el Día Pi. Ahora ellos quieren un πzza Party. Vamos a ver que se puede hacer.

Fusionando las artes con las matemáticas: Proyecto Especial de Matemática

El pasado 23 de febrero, mis estudiantes de matemáticas de décimo grado presentaron sus proyectos especiales (cuyas instrucciones expliqué aquí), los cuales mezclaban una disciplina de las artes, con un tema de las matemáticas. Estoy muy complacido con el desempeño del alumnado especialmente con el hecho de que aquellos que están más resagados en el curso fueron los que dieron las mejores obras y se esmeraron.

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Grupal o Individual: Individual
Disciplina artística: Pintura abstracta
Tema matemático: Radicales

La estudiante explica que la mayoría de los problemas en las matemáticas son de naturaleza abstracta, por eso utilizó varios objetos para describir la raíz cuadrada de 49.

Si todavía no lo ha visto: raíz cuadrada (literalmente unas raíces y un cuadrado); 49 (una silla al revés, seguido de un calcetín en una mano), signo de igualdad (mesa de noche), 7 × 7 (un dragón, dos zanahorias, y una L en cursivo)

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Grupal o Individual: Grupal (2)
Disciplina artística: Dibujo
Tema matemático: Polinomios

Aunque me mezclaron multiplicación de variables y suma de enteros en dos de los ejercicios, mis dos jóvenes especiales pudieron explicar su remixer polinomial. Las palancas que estaban en los extremos trabajaban como mecanismo para la elaboración de las operaciones polinomiales: se subía si el ejercicio era corto, y se bajaba cuando era de grado mayor y se bailaba lento, como me decían el flow del polinomio.
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Grupal o Individual: Individual
Disciplina artística: Movil + Origami
Tema matemático: Geometría

El alumno utilizó el doblado de papel para hacer un cielo de palomas. También añadió el cielo numérico arriba al decir que muchas veces el dominio de las matemáticas es a veces inalcanzable.
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Grupal o Individual: Grupal (6)
Disciplina artística: Teatro
Tema matemático: Operaciones con números complejos

Los estudiantes más aplicados del grupo salieron muy astutos al ponerme a hacer todo el elemento matemático de su obra de payasos: explicar un ejercicio de resta de complejos con radicales negativos.
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Grupal o Individual: Grupal (2)
Disciplina artística: Maqueta
Tema matemático: Radicales Complejos + Geometría

Teníamos personas geométricas en un plano, en conversación sobre la raíz cuadrada de -169 (segunda imágen), cerrando en una correlación matemática.
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Grupal o Individual: Individual
Disciplina artística: Poema concreto
Tema matemático: Radicales Complejos

La joven solamente me entregó el dibujo de lo que parece ser unos globos y un cuadrado cohete. Tenía miedo escénico.
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Letra de la canción "Polinomios"
utiliza la pista musical de "5 letras" de Alexis y Fido

Grupal o Individual: Grupal (2 + 1)
Disciplina artística: Teatro (Comedia) + Canto
Tema matemático: Polinomios

Cuando los estudiantes de este grupo me pidieron que lo hicieran el día siguiente porque les entregaron la pista al momento de entrar, esperaba un trabajo de cinco estrellas. Me trajeron equipo para DJ, pusieron a otro estudiante de la clase para que actuara del DJ (se le negoció 10 puntos de bono por su participación especial), ambientaron el salón, me actuaron con naturalidad, oías lo que decían claramente, y cantaron una canción de reggaetón, explicando la definición de polinomios, los tipos de polinomios, y lo que no es polinomio. mportante decir que capturaron la atención del salón (hasta de la maestra cooperadora, que se sentó más cerca para observar) , pudieron sacar carcajadas del grupo, y utilizaron mi intervención como un aclarativa y no dependiente del material matemático. Ahora lamento el no haberlo filmado.
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En general, la experiencia de utilizar en las aulas de clase las artes para redefinir los conceptos matemáticos, es muchas veces dejado a favor de las lecturas interminables. Quizás ahora esté un poco atrasado con el material comparado con la maestra cooperadora, pero ese día y medio de presentaciones valió la pena, tanto como un refescante descanso, sino también como un experimento sobre como los estudiantes intercalan las matemáticas a nivel visual, auditivo, y kinestético.

La raíz cuadrada de tres (SVM II: 4/14)

Una de los más bellos poemas matemáticos salió de una comedia. La raíz cuadrada de tres es un poema escrito por David Feinberg para la cinta Harold and Kumar: Escape From Guantanamo Bay.

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The Square Root of Three
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David Feinberg

I’m sure that I will always be,
A lonely number like root three.

The three is all that’s good and right,
Why must my three keep out of sight,
Beneath the vicious square root sign,
I wish instead I were a nine.

For nine could thwart this evil trick,
with just some quick arithmetic.

I know I’ll never see the sun, as 1.7321.
Such is my reality, a sad irrationality.

When hark! What is this I see,
Another square root of a three.

As quietly co-waltzing by,
Together now we multiply,
To form a number we prefer,
Rejoicing as an integer.

We break free from our mortal bonds,
With the wave of magic wands.

Our square root signs become unglued,
Your love for me has been renewed.

Chiste Matemático de Futurama de la nueva temporada #2

Futurama lo hace de nuevo. Fíjese detenidamente en los vanes de noticias de la imagen. que aunque son estaciones rivales valen iguales. Para una explicación haga highlight al texto de abajo entre los corchetes:

[La de la izquierda es raíz cuarta de cuatro, la cual podemos expresar exponencialmente como 4^(¼). Entonces:

4^(¼) = [4^(½)]^(½) = [sqrt(4)]^(½) = 2^(½) = sqrt(2)]

via [MathFail]

Coincidencia matemática en zapatos radicales

Antes de comenzar mi carrera matemática universitaria allá para el 2005, tuve que comprar ropa, ya que no tenía suficiente para ir todos los días. Siempre quise tener ropa de camuflaje, ya que es uno de mis patrones favoritos, por cual compro camisas, pantalones, y unos zapatos VANS©. Han pasado 5 años y todavía los conservo.

Todo esto que les conté es para poder hablar de que la raiz de todas mis respuestas estaban en mi calzado todo el tiempo. Quizás fue una coincidencia que Paul Van Doren haya diseñado la V como un radical y ANS (abreviatura de respuesta en inglés) esté bajo la linea de la V conviertiendola en un ejercicio matemático grandioso. Por eso se los demuestro en este wallpaper: