Graficando San Valentín (SVM III: 2/14)

Josh Sundquist ha logrado que sus seguidores de Youtube se convertirsen en fanáticos de las estadísticas y funciones con su serie Math Nerds, hasta el punto que los usuarios le envian videos con sus Diagramas de Venn, cuadrantes, graficas de barras y circulares. En esta ocasión presentan colaboraciones sobre, Cupido, tocineta, los corazones de dulce que a nadie le gusta, regalos, y el verdadero interés de las mujeres en ese día de realización de soltería.

Valentines Day for Math Nerds

video por Josh Sundquist y colaboradores

St. ValenMaths 2012: la develación del logo (SVM III: 1/14)

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Como ya es tradición en La Covacha Matemática, en febrero celebramos St. ValenMaths, donde publicamos entradas relacionadas sobre el amor, la amistad y las matemáticas. A diferencia de las dos ediciones anteriores, no tenía en mente celebrar San Valentín, mucho menos que era febrero. Suerte de haberme acordado a tiempo.  Para compensar, publicaré desde hoy hasta el 14 de febrero dos entradas por día.

St. ValenMaths 2010

St. ValenMaths 2011

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 Comenzamos con un simple logo, mostrando el símbolo de la era digital del amor, más fue demostrado que es menor que tres.

Conceptos matemáticos minimalistas

Esta mañana, estaba pensando como introducir el tema de los racionales para séptimo grado sin tanta necesidad de estar escribiendo en la pizarra e ir rápido a la acción. De ahí, surgieron estos tres conceptos minimalistas, los cuales mezclan la palabra con la idea principal detrás de la definición. 

Un número racional es cualquier número que se puede expresar como el cociente de dos enteros, si el divisor no es cero. 

Racional proviene de razón, las cuales se pueden escribir como una fracción, las cuales son un cociente de dos enteros.

Un número es racional si su cociente se puede expresar como un decimal finito (exacto) o un decimal periódico

Un decimal es finito cuando el cociente es exacto, o sea, que tiene fin. De continuar la división verán que los digitos que le siguen serán ceros. Todos los decimales finitos son números racionales.

Un decimal periódico es un decimal infinito (que no tiene fin), pero que  contiene un dígito o grupo de digitos que se repiten infinitamente. Para indicar que el decimal es periódico se escribe el decimal hasta que se cubra el dígito o grupo de dígitos y se escribe una raya sobre éstos. Este grupo de decimales infinitos son los únicos que son parte de los racionales.

Escalando el Monte Trigonométrico.

 

imagen via [KEELSTER]

La ecuación que genera el recíproco de 998001.

En la entrada anterior mostramos otros números que son similares a 998001 en su propiedad reciprocal y su forma general. En esta ocasión les presento una forma más general y facil de producirla, en forma de fórmula.

Hoy en la sección de comentarios, me dejan un video de Numberphile sobre los grafting numbers, una serie de números que se pueden encontrar dentro de la secuencia de su raíz cuadrada. Al final, Matt (Numberphile) encontró un patrón en una serie de números, de tal manera que pudo reducirlo a una ecuación simple. Ésto me dio hincapié para averiguar si existía tal capacidad de ecuación en los ejemplos mencionados en la entrada anterior.

De antemano sabía que todos los números generados eran divisibles por nueve, ya que la suma de sus dígitos resulta en un número divisible por 9. Entonces, verifico si hallaba factores comunes:

81 = 9²

9801 = 9 (1089) = 9² (121) = 9² · 11²

998001 = 9 (110889) = 9² (12321) = 9² · 111²

99980001 = 9 (11108889) = 9² (1234321) = 9² · 1111²

Con estos cuatro ejemplos pude encontrar varios hallazgos:

• Todos los números, al dividirse 9, invierten el orden de los números tanto en cantidad como en orden.

• Todos los números tienen como factor común el 81 (9²). Genera la secuencia decimal de los números excepto (999···9) - 1.

• El otro gran factor es el cuadrado de la sumatoria, desde n = 0 hasta n - 1, de 10ⁿ, el cual dicta n, la cantidad de dígitos que tienen los números de la secuencia (de 0 a 9, de 00 a 99, etc.).
• (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 1 = (10^0)² = (1)² = 1
• (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 2 = (10^0 + 10^1)² = 1 + 10 = (11)² = 121
• (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 3 = (10^0 + 10^1 + 10^2)² = 1 + 10 + 100 = (111)² = 12321

Al final, pudimos reducir todo ese desbarajuste de notación científica que teníamos anteriormente a una simple ecuación generadora:

La generalización del recíproco de 998001.

Hace días atrás le contamos sobre la propiedad especial que tiene el 998001. Resulta ser que éste no es el único con esos poderes.

• El recíproco de 81 genera en secuencia todos los números de un dígito, excepto el 8:
• 1 / 81 = 0.012345679...

•  El recíproco de 9801 genera en su secuencia decimal los números desde 00 hasta 99, excepto el 98:
• 1 / 9801 = 0.00010203040506070809101112...95969799...

•  El recíproco de 99980001 genera en su secuencia decimal los números desde 0000 hasta 9999, excepto el 9998:
• 1 / 99980001 = 0.0000000100020003...999699979999...

¿Notan el patrón?

• Para que el número genere una secuencia decimal, con n cantidad de digitos fijos, desde cero hasta 10ⁿ - 1, saltando 10ⁿ - 2, se tiene que cumplir lo siguiente:
• El número debe tener 2n dígitos.
• Los primeros n-1 dígitos son nueves (9), seguido por un ocho (8), después n-1 ceros (0), y finalizando con un 1

Una manera más general para expresar todos estos recíprocos es ésta, donde el ocho es el eje de atención, especialmente cuando n = 1, donde no requiere los nueves ni ceros.

Q.E.D.

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

Conozca a los números - por Grant Snider

Grant Snider, creador de Incidental Comics, nos trae esta tirilla describiendo las personalidades de los diferentes tipos de números que podemos encontrar en el universo complejo.

Referencias:

número real | número impar | número imaginario

número irracional | número racional | Número de Avogadro

número primo | número natural | número amigable

número solitario | número grande | números Fibonacci

numeral romano | número trascendental | número complejo

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

El recíproco de 998001...

1/998001 = 0.000001002003004005006007008009010011012013014015016017018019020 0210220230240250260270280290300310320330340350360370380390400410420430440450 4604704804905005105205305405505605705805906006106206306406506606706806907007 1072073074075076077078079080081082083084085086087088089090091092093094095096 0970980991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211 2212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614 7148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172 1731741751761771781791801811821831841851861871881891901911921931941951961971 9819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222 3224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248 2492502512522532542552562572582592602612622632642652662672682692702712722732 7427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829 9300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324 3253263273283293303313323333343353363373383393403413423433443453463473483493 5035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437 5376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400 4014024034044054064074084094104114124134144154164174184194204214224234244254 2642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744844945045 1452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476 4774784794804814824834844854864874884894904914924934944954964974984995005015 0250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652 7528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552 5535545555565575585595605615625635645655665675685695705715725735745755765775 7857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260 3604605606607608609610611612613614615616617618619620621622623624625626627628 6296306316326336346356366376386396406416426436446456466476486496506516526536 5465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867 9680681682683684685686687688689690691692693694695696697698699700701702703704 7057067077087097107117127137147157167177187197207217227237247257267277287297 3073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475 5756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776777778779780 7817827837847857867877887897907917927937947957967977987998008018028038048058 0680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083 1832833834835836837838839840841842843844845846847848849850851852853854855856 8578588598608618628638648658668678688698708718728738748758768778788798808818 8288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690 7908909910911912913914915916917918919920921922923924925926927928929930931932 9339349359369379389399409419429439449459469479489499509519529539549559569579 5895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298 3984985986987988989990991992993994995996997999 ...

...es un generador secuencial decimal de todos los números de tres dígitos (desde 000 al 999), salvo el 998, que sería el 001nico que faltaría..

via [Geekosystem]

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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

Los Autos Locos y el sistema de puntaje Fórmula Uno del 1968

Hoy les traigo una infográfica que podría utilizar para la sección de estadística o álgebra. En este caso lo utilizaremos para una lección sobre resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

Los Autos Locos (Wacky Races), aunque durase solamente 17 episodios, todavía tiene vigencia al día de hoy gracias a que tiene una fanaticada leal, donde se han hecho hasta réplicas realesde los coches. La página CarInsurance.org elaboró esta infográfica donde presenta los carros, conductores, y cuantas carreras ganaron en primer, segundo y tercer lugar; dándoles una puntuación basada en el sistema de puntajes Formula Uno que se utilizaba en la época de las emisiones originales de la caricatura (1968-69). Ésta será nuestra base para hacer una clase donde los alumnos apliquen el método de resolver el sistema de ecuación lineal con tres variables, además de que puedan elaborar una serie de pasos organizados a la solución.

infográfica via via [CarInsurance.org]

¿Como podríamos preparar la clase?

• Se espera que los estudiantes hayan sido introducidos al método de resolver sistemas de ecuaciones lineales un día anterior; pero que a la misma vez no hayan comenzado a trabajar en ejercicios. 

• Comenzamos la clase presentando un capítulo de la caricatura, para que conozcan a los personajes (Opcional)

• Luego de eso, entrega la infográfica con los datos provistos y una hoja con los problemas. Explique que la combinación de primeros, segundos, y terceros lugares dan una puntuación.

• Separa a los alumnos en grupos para que resuelvan el problema, pero que no haya comunicación entre grupos (luego sabrán porqué).

• Se discute el trabajo realizado.

Las (posibles) preguntas / instrucciones:

1. Completa la siguiente tabla:

| # coche | # 1er lugar | # 2do lugar | # 3er lugar | puntuación |

2. Escoje uno de los coches. Haz una ecuación lineal de tres variables (p, s, t) donde:

• el coeficiente de p es la cantidad de veces que el coche ganó primer lugar.




• el coeficiente de s es la cantidad de veces que el coche ganó segundo lugar.




• el coeficiente de t es la cantidad de veces que el coche ganó tercer lugar.




• la ecuación lineal es igual a la puntuación del coche.


Ejemplo: La ecuación lineal para el auto del Profesor Locovitch (#3) es 3p + 2s + 5t = 59

3. Repita el paso 2 para dos coches más.


4. Con las tres ecuaciones ya encontradas, averigue cúal era el sistema de puntuaciones de Fórmula Uno para el primer, segundo, y tercer lugar en 1968.


5. Verifica que los valores encontrados para p, s, t son ciertos para cualquier coche.

La solución:

Usando los datos de victorias de los autos del Profesor Locovitch (#3), el Barón Hans Fritz (#4), y el Super Chatarra Special (#6), hago el sistema de ecuaciones:

(1):  3p + 2s + 5t = 59

(2):  3p + 4s + 3t = 63

(3):  3p +  s + 0t = 33

Seleccioné las tres porque todas tienen el mismo coeficiente para p lo cual facilitará la búsqueda de los valores de s y t.

Sumamos (2) y el opuesto de (3) para obtener la ecuación (4):

(2):  3p + 4s + 3t = 63

-(3):  -3p -  s - 0t  = -33
________________________ 
(4): 3s + 3t = 30

Sumamos (2) y el opuesto de (1) para obtener la ecuación (5):

(2):  3p + 4s + 3t = 63

-(1):  -3p -  2s - 5t  = -59
________________________ 
(5): 2s - 2t = 4

Para poder hallar el valor de s: Multiplicamos la ecuación (4) por dos, y la ecuación (5) por tres y luego los sumamos.

2 × (4): 6s + 6t = 60

3 × (5): 6s - 6t = 12

_______________________

12s = 72

s = 6

Para poder hallar el valor de p: Sustituimos s en (3).

3p + s + 0t = 33

3p + 6 = 33

3p = 33 - 6

3p = 27

p = 9

Para poder hallar el valor de t: Sustituimos p y s en (1) y/o (2), para así verificar en la otra ecuación que ambas darán el mismo resultado.

Sustitución:

3p + 4s + 3t = 63

3(9) + 4(6) + 3t = 63

27 + 24 + 3t = 63

51 + 3t = 63

3t = 63 - 51

3t = 12

t = 4

Verificaciones:

3p + 2s + 5t = 59

3(9) + 2(6) + 5(4) = 59

27 + 12 + 20 = 59

59 = 59

3p + 4s + 3t = 63

3(9) + 4(6) + 3(4) = 63

27 + 24 + 12 = 63

63 = 63

3p + s  = 33

3(9) + 6 = 33

27 + 6 = 33 

33 =33

Por lo tanto, en el sistema de puntuaciones fórmula Uno de 1968:

• Llegar en primer lugar valía 9 puntos (p = 9)
• Llegar en segundo lugar valía 6 puntos (s = 6)
• Llegar en tercer lugar valía 4 puntos (t = 4)

Al final, cualquier combinación de carros obtendrá los tres valores, excepto las que tengan incluído a Pierre Nodoyuna. Ni en las ecuaciones puede ganar.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina

La primera lección de integración

imagen via {Math Fail}

1. La integral de cualquier cosa dx, donde cualquier cosa es una constante o una expresión que no contenga la variable a integrar, es esa cosa multiplicada por x.


2. Cuando no hayan valores para evaluar la integral, recuerde que siempre tiene que añadir + c al final.


3. Hay profesores que utilizan blah para presentar, al final de varios ejemplos explicados, la idea general del procedimiento para todos los casos. Se los cuento porque así pasaba en la clase de Álgebra Lineal, con excelentes resultados. También se utilizan figuras geométricas, frutas, y otros objetos en sustitución de variables y/o números.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina