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3/31/12

Imágenes matemáticas de ayer y hoy (RLFB XVI)

Una interesante idea para mostrar fórmulas con variables para los anti-algebraicos.
via [salsamidaspower]@Tumblr


Dato curioso: Algunos edificios de Google fueron nombrados por números de gran importancia en el mundo matemático (e, π, 0, 1, φ).
via [dmountain]@Flickr


Sets, Numbers, Numerals (Laidlaw, 1965) Uno de los textos preparando a alumnos a la pronta llegada de la matemática moderna.
via [Etsy]


Éste problema ha dado recientemente rondas por diversas redes sociales. Dice lo siguiente:

"Este problema puede ser resuelto por niños de pre-escolar en menos de 10 minutos; por programadores en una hora, y por personas con alta educación... bueno, véalo por si mismo"

Yo sé la solución, pero de necesitar una pista haga "highlight" entre los asteriscos:
*Piensa matemáticamente como preescolar*

Si está interesado en otro acertijo, vea el problema de las cinco habitaciones y su solución en Me quemé...

"Más práctica, menos Skyrim." para todos aquellos que entran al periodo de pruebas en abril.

3/29/12

Piezas de arte trigonométrico


Comienza la primavera y ya empiezan a salir las primeras ondas de sol.
imagen via [christinanotchris]


Circulo unitario en medio de la calle: para cuando necesitas estudiar de pre-cálculo de camino al examen.
imagen via [Trollegio]

3/24/12

Cereales y sucesiones


Una secuencia bastante conocida hace su aparición en la sección de juegos de una caja de cereal chocolatoso.

[Referencia]

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Esta es la séptima entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

3/23/12

Teoría de conjuntos para primer año de primaria

La matemática moderna (New Math) fue una era, entre mediados de los 1960s y principios del 70, de revisión abstracta de la educación matemática de antaño, la cual trajo varias destrezas interesantes, particularmente la teoría de conjuntos.

Para muestra, unas páginas del libro New Math I: Exploring Sets and Numbers (Feinstein, Whitman Publishing, 1967):


Representación de conjuntos


 Intersección de tres conjuntos
 Note el diagrama de Venn.


 Note los nombres que utilizaban para la unión (cap - gorra) e intersección (cup - taza). De hacer una traducción al español, sería casco y copa.


Introducción a la resta


Exploración de la suma y resta

Imágenes via [Stickers and Stuff]

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Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Los relojes matemáticos: ¿adorno de pared u oportunidad pedagógica?

La proliferación de los relojes matemáticos (relojes donde los números del 1 al 12 son sustituidos por expresiones equivalentes) en los últimos años han sido un éxito positivo para la enseñanza de la materia. Ahora bien, podemos darle más protagonismo a éste en el aula de clases, no solo como adorno para una pared, sino como herramienta de comprobación de destrezas.

Un reloj como el que ven a su izquierda se puede utilizar en una clase de cálculo de secundaria para demostrar con deducción o inducción, procedimientos formales y definiciones que la ecuación o expresión es equivalente al número natural que están sustituyendo. Es un ejercicio de preparación para los estudios post-secundarios.

Ejemplo: Demostrar que 5[csc (π / 6)] = 10
Solución: El cosecante de un ángulo Θ es el recíproco del seno de ese mismo ángulo Θ. El seno de (π / 6) es igual a (1 / 2). Por definición de cosecante, csc (π / 6) = 1 / (1/2) = 2. Entonces:
5 [csc (π / 6)] = 5 [2] = 10.
Q.E.D.
De ésta manera podemos verificar si los fabricantes de los relojes hicieron sus cómputos bien, que no sea como el reloj que dice que 9 = 3(π - .14).

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Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

3/21/12

Conteo con los dedos al estilo binario

¿Recuerdan sus primeros intentos en contar, sumar y restar? Sabes que has utilizado tus dedos para ayudar a encontrar el número deseado. En una sola mano podías contar hasta 5 al primer intento, pero ahora verás que podrás llegar hasta 31.


Los dedos binarios utiliza la secuencia de los números binarios para posicionar el levantamiento de los dedos (1) o esconderlos (0) para expresar la cantidad equivalente en el sistema decimal.

Las reglas:
  • Cada dedo tiene un valor diferente, todos potencias de 2:
    •  dedo pulgar = 1
    • dedo índice = 2
    • dedo del corazón = 4
    • dedo del anillo = 8
    • dedo meñique = 16
  • El número expresado es igual a la suma de los valores de los dedos levantados.
Ahora tendrán un valor numérico algunas expresiones que hacemos con las manos:
  •  "like" = 1
  • "número 1" = 2
  • "loser" = 3
  • "paz" = 6
  • "etiqueta a la hora de tomar té" = 16
  • "rockero" = 18
  • "amor en lenguaje de señas" = 19
  • y otras más que no puedo mencionar por aquí...
[Referencia]

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Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

3/20/12

Como saqué tres planes de la manga: dados con potencia, medición del tangram, y triángulos cartesianos

Era la noche del viernes 9 de marzo y todavía estaba tratando de buscar la manera de que pudiera dar cuatro horas consecutivas de tutorías a un grupo de estudiantes de séptimo grado sin que se empezaran a inquietar y pelear entre sí. Las pasadas seis semanas han sido causa de frustración por esa razón y la supervisora ya me había indicado que calmara el grupo, ya que hacían mucho escándalo, lo cual traía más presión al asunto. Son esas condiciones las que me hacen más creativo todavía.

Haciendo una búsqueda por mi cuarto encontré mis dados que saqué de un juego de role-play. Tomé dos y los utilicé para crear una actividad sobre exploración de potencias:

Un dado de 12 caras servía como la base y uno de 10 caras, donde contenía un 0, servía como exponente. Luego de que los alumnos arrojaban los dados, tenían que completar una tabla con lo siguiente:
  1. La potencia
  2. La notación multiplicativa de la potencia
  3. La base de la potencia.
  4. El exponente de la potencia.
  5. El valor numérico de la potencia
Tenían que hacer 4 tiradas, con dos de ellas asumiendo casos especiales: que la base era negativa y otra donde la base era el decimal 0.base. Luego de haberlo entendido, pasaban al cuaderno y ompletaban otra tabla igual, pero llenando los espacios en blanco.

Interesante por demás es que podíamos sacar todas las leyes de los exponentes, pero me desistí porque había puesto a los estudiantes en grupos de 2 y que los rotaba de actividad en actividad al pasar la hora.

La segunda actividad que presenté no fué idea mía, sino de mi maestra consejera cuando estaba en la práctica docente, la Sra. Ramos. Se trataba de armar una figura utilizando el rompecabezas chino, mejor conocido como el tangram y trazarla en un papel provisto.

Seguido, medían las longitudes de la figura plana para hallar su perímetro, aproximando toda medida al entero más cercano. De igual manera, trazaban y medían cada pieza del tangram por separado, para hallar el área total de la figura:
Si fuésemos a hallar el área total con las medidas exactas, la suma de las áreas de los dos triángulos isósceles grandes debería ser igual al área total de las otras cinco piezas; pero para probar que no importase la figura que formaran, al descomponer la figura en formas reconocibles de hallar su área debe dar al mismo resultado, las aproximamos.

Finalmente, quería un ejercicio de investigación y observación geométrica. Combiné el hallar puntos en el plano cartesiano con las clasificación de triángulos por longitud de lados y por ángulos.


Hallaban tres puntos en el plano, los conectaban y medían para clasificar por longitud, mientras que asumían cuál triángulo era por la medida de los ángulos, Luego completaban ejercicios del cuaderno, indluyendo un pareo de definiciones.

Este trio de planes de tutoría me salió de maravilla, ya que pude mantenerlos trabajando por el tiempo establecido sin muchas interrupciones. El truco en esto es sacar todas las ideas, materiales, y manipulativos para ver que te puede funcionar.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

3/19/12

Demostraciones geométricas de sumatorias

Cuando pienso en demostrar sumatorias regresan a mi mente los día del método de inducción, donde hacías tres procedimientos. Dado una sumatoria de una expresión, con valores k = 1 a n:
  • Evaluabas la expresión en k = 1 [f(1)]
  • De f(1) ser cierta, Asumias que la sumatoria era cierta. En otras palabras, evaluabas la expresión en n. [f(n)]
  • Para terminar la demostración, verificabas si f(n + 1) = f(n) + f(1). Si podías separarlo con éxito, entonces demostraste por inducción.
Ahora bien, existe un método geométrico para demostrar varias sumatorias conocidas. No es tan formal como el anterior, pero en una sola imagen podrán observar la solución de la sumatoria.

Primero que nada, veamos uno de los ejemplos clásicos de matemáticas, uno que descifró el pequeño Gauss: la suma de números consecutivos:

En el rectángulo de largo n + 1 y ancho n, podrán ver que en forma escalonada, aparece un punto más que en la fila anterior, quitándole un espacio vacío. Al final solo la mitad del rectángulo está lleno de puntos, siendo esta cantidad la sumatoria de n números consecutivos.

De sumar solamente los números impares de 1 a 2n - 1, obtendrán el cuadrado de n. En el cuadrado de arriba, se detuvieron en k = 8.

También se puede dar el caso de la sumatoria de potencias en la forma 1 / (p^k), donde:

Aquí los primeros tres valores para p: 2, 3, 4.



Opinión: Cuando toquen el tema de series y sucesiones en las clases de precálculo, se debe suplementar la enseñanza del método formal y computacional de las demostraciones con un método gráfico-geométrico, de ser posible; especialmente con esta nueva cepa de estudiantes que son más aptos a la enseñanza visual.
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Demostraciones visuales: via [bloodredonion]

Referencia:
Nelsen, R. B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.
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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

Opinión: No se debe sobrecomplicar lo básico.

En recientes décadas, se han integrado a los currículos matemáticos métodos alternos a la norma estándar para hallar la solución de problemas matemáticos, en un esfuerzo para erradicar la memorización por repetición (rote memorization) y procesos rígidos. Mientras que es bueno que puedan observar que existen otras maneras de llegar a la solución; a la hora de la verdad, en el hogar, el choque generacional hará imposible que muchos padres puedan ayudar de inmediato a sus hijo(a)s. Ésta es la cuestión principal planteada en el artículo Why is it your job to teach your kid math?, publicado en Macleans.ca; donde profesores de matemáticas universitarios, docentes, y padres han mostrado su preocupación en la implementación de estos métodos alternativos a nivel elemental y secundario.

Aquí mis opiniones respecto al tema:
  • Si existe más de un método para hallar la solución, es pertinente que el método estándar sea el más presentado, enseñado, y dominado
  • Los métodos alternos se deberían mostrar como actividades de exploración o seguimiento del tema. Por ejemplo, en el artículo mencionan el utilizar papel cuadriculado para demostrar la multiplicación y división de números racionales (ilustrar gráficamente dos fracciones multiplicándose o su operación opuesta); la cual se debe dejar solamente para introducir el tema. Por otro lado, los productos parciales y la multiplicación en cuadrícula se pueden utilizar como ayudas adicionales, si el estudiante anda fallando el método estándar de multiplicación.
  • El maestro es quién hace los ajustes necesarios al currículo general, así diga que el rote memorization no se debe hacer. Si sabe que x o y forma de hallar la solución le será problemático a los alumnos, no lo enseña y punto.
  • En el caso de las operaciones básicas: No se debe forzar a que el alumno sea capaz de ejecutar todos los métodos enseñados, sino que pueda dominar el tema sólidamente con uno.
  • El artículo presenta excelentes opciones respecto a la integración de los padres en el entendimiento de los métodos matemáticos alternativos a los estándares, especialmente los Math Nights.
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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de ciencia.

3/14/12

Día π 2012: el recuento, hasta ahora (RLFB XXV)


  • Otra forma de celebrar: ver todas las imágenes relacionadas con π que ha subido y compartido Chistes Matemáticos esta mañana.

Graficando números complejos en el plano cartesiano

Explorando la variedad de alternativas que tengo en mis referencias hallé que podemos modelar un número complejo (un número en la forma a + bi, donde a es un número real y bi un número imaginario; la i siendo equivalente a la raíz cuadrada de -1, con la b sirviendo de "coeficiente") usando el plano cartesiano.

Localizar un número complejo sigue las mismas reglas que localizar un punto específico en el plano cartesiano: comienzas en el origen (0, 0), te mueves a la izquierda (negativo) o derecha (positivo) para localizar x; y luego arriba o abajo para y. La única diferencia es que expresamos el punto como un complejo.

Ejemplos:
  • 3 + 8i se encuentra en (3, 8)
  • -11 + 0i sería el punto (-11, 0)
  • -6 - 4i está localizado en (-6, -4)
  • 7 - 7i es equivalente a (7, -7)
De aquí podemos enseñar geométricamente el valor absoluto de un complejo:

¿Les parece familiar? Es la fórmula para hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante el Teorema de Pitágoras y la fórmula para hallar la distancia de dos puntos cuando uno de éstos es el origen:

|3 + 8i| = sqrt (3² + 8²) = sqrt (9 + 64) = sqrt (73) ≈ 8.55
|-11| = 11
|-6 - 4i| = sqrt (6² + 4²) = sqrt (36 + 16) = sqrt (52) ≈ 7.21
|7 - 7i| = sqrt (7² + 7²) = sqrt (49 + 49) = sqrt (98) ≈ 9.90

Otras de las aplicaciones en las que podemos utilizar el plano cartesiano para los complejos es para mostrar sumas y restas de complejos.
  • Para ambos casos comienzas en el punto a + bi (el primer número complejo). 
  • Cuando estás sumando, te trasladas c pasos, con la dirección provista por el signo que tenga c, sea positivo (derecha) o negativo (izquierda). Luego te mueves d pasos hacia arriba (si d es positivo) o abajo (si d es negativo)
  •  Ejemplo: (3 - 11i) + (-12 + 6i)

  • Modelar la resta es similar a modelar la suma, solamente que te mueves opuesto a los signos de c y d.
  •  Ejemplo: (-5 + 4i) - (-10 - i)
  • Hallar la suma y resta de números complejos en forma geométrica ayuda a que los estudiantes se acostumbren a que puedan trazar una función lineal, dado un punto y la pendiente, con más facilidad.
Este acercamiento geométrico es excelente para hacer conexiones, especialmente con Aventuras Matemáticas / Matemáticas en Acción, cuyo bosquejos en combinación incluyen tanto localizar puntos en el plano cartesiano, graficar funciones, operaciones con números complejos y el Teorema de Pitágoras. Es un ejercicio de exploración que recoge conocimiento adquirido o por aprender y lo pone de manera tal que un tema como los complejos no sea tan complejo para comprender.

3/13/12

Estética trigonométrica


Imagen via [Sugarnails.com]

Evidencia que una uña puede contener un dato que puede ayudarlo a pasar (o cancelar) un examen completo.

3/10/12

Aplicación del álgebra: Fórmulas del libro de cocina

Quizás han visto que no estoy publicando con la frecuencia que hacía antes. Esto es debido a que conseguí un part-time como maestro-tutor. Dicho trabajo me ha puesto a refrescar temas de matemáticas de secundaria y, a la misma vez, a autoevaluarme, buscar errores en mi método pedagogico, y hallar nuevas (y dinámicas) formas de presentar temas matemáticos.

En fin, durante esa búsqueda de conocimiento, me voy directo a mi biblioteca de referencia y empiezo a re-leer el libro más viejo que tengo, Álgebra: Curso primero, el cual su versión original (en inglés) data de 1955. Un texto repleto de aplicaciones, la enseñanza de la tangente previo al seno y el coseno, varios métodos antiguos para resolver problemas algebraicos, iliustraciones geométricas, calcular la temperatura con una hormiga o un grillo, e instrucciones de como preparar un cuadrado mágico y resolver raíces cuadradas a lápiz y papel. En otras palabras, es un mundo casi diferente al álgebra de hoy, y sin calculadora.

Una de las rarezas fue que le dedicaran una sección del libro a ofrecer las siguientes dos fórmulas sobre cocción de bebidas y alimentos. Cambié las variables de las fórmulas, ya que estaban todavía puestas a base de la palabra en inglés:


En el primer caso, tenemos una generalización del asado de aves, ya que las horas de asado (a) no dependerían solamente del peso, sino también de la temperatura aplicada.


En cambio, esta fórmula de hacer café en una cafetera italiana no está nada mal. Se me antoja experimentarla y ver si es cierta.

3/5/12

Sudoku de dos niveles

La página de Facebook Chistes Matemáticos publicó éste sudoku bastante particular, donde las pistas deben ser resueltas antes de poder comenzar a completar el sudoku. Con dominio del álgebra, trigonometría, operaciones binarias y hexadecimales, factoriales, derivación e integración puede hallar las pistas facilmente.





3/4/12

Cuadrados perfectos especiales

Hay una serie de cuadrados perfectos cuya alineación numérica puede ser sacada sin hacer una multiplicación complicada.

Primero tenemos los cuadrados perfectos de x, este siendo un número natural entre 41 y 50:

Demostración: 
Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (x - 25) es en realidad 100(x - 25). Entonces al sumarlo con (50 - x)² nos debe dar a x²:
x² = 100(x - 25) + (50 - x)²

x² = (100x - 2500) + (2500 - 100x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-2500 + 2500) + x²

 x² = x²
Q.E.D.
Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (50 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 41.
Ejemplo 1: Halle el cuadrado de 47:
Primeros dos dígitos de 47²: 47 - 25 = 22
Últimos dos dígitos de 47²: (50 - 47)² = 3² = 09
  •  (si el número resultante es de un dígito , añada un cero a la izquierda)
 Por lo tanto: 47² = 2209
Ejemplo 2: Halle el cuadrado de 45:
Primeros dos dígitos de 45²: 45 - 25 = 20
Últimos dos dígitos de 45²: (50 - 45)² = 5² = 25
 Por lo tanto: 45² = 2025

Existe otro grupo de cuadrados prefectos que tienen un fenómeno similar:

Demostración: 
Los primeros dos dígitos representan las centenas del cuadrado, por tanto la simplificación de (2x - 100) es en realidad 100(2x - 100). Entonces al sumarlo con (100 - x)² nos debe dar a x²:
x² = 100(2x - 100) + (100 - x)²

x² = (200x - 10000) + (10000 - 200x + x²)

x² = (100x - 100x) + (-10000 + 10000) + x²

 x² = x²
Q.E.D.
Esta descomposición del cuadrado de x sirve para que vean como funciona. Solamente se ve claramente lo estipulado arriba cuando la solución de (100 - x)² es menor que 100, o sea, cuando x es mayor o igual que 91.
Ejemplo: Halle el cuadrado de 98: 
Primeros dos dígitos de 98²: 2(98) - 100 = 196 - 100 = 96
Últimos dos dígitos de 98²: (100 - 98)² = 2² = 04
Por lo tanto: 98² = 9604
Pueden verificar cada ejemplo y el cuadrado de cada elemento en el conjunto de x en ambos casos usando la calculadora. Sorprenda a sus amigos con estos atajos de cómputos.

3/3/12

Card Sharks: un juego de intuición sobre probabilidad.

Uno de los pasatiempos que tengo es ver programas de juegos clásicos, entre ellos Family Feud, Match Game, Jeopardy!, Body Language, y, en especial, Card Sharks. A diferencia de los anteriores, Card Sharks tiene una base matemática fuera de generar ganancias, donde la predicción juega un rol muy importante en la victoria.

Creado por Chester Feldman, para Goodson-Todman Productions, es un programa donde los concursantes deben predecir si el valor de una serie de cartas de una baraja de poker es alta o baja que la anterior. Para hacerlo, deben obtener control de las cartas, cuando a uno de los concursantes debe predicir el porciento de un demográfico que aceptan o no aceptan una postura preguntada, mientras que el contrincante dice si el porciento real es mayor o menor. El que acierte correctamente comienza a jugar.  El juego dura máximo tres rondas (con tres preguntas cada una), de haber desempate.





Segunda y tercera ronda de un juego de Card Sharks
video via [tipete1983]

Como observarán en el video, cada jugador comienza con una carta base, el cuál tiene la opción para cambiar a una de mejor valor para entonces predecir si la próxima es de mayor o menor valor. Es aquí donde la gente simplifica la intuición de los valores de las cartas a la probabilidad básica de sacar una carta de valor X de una baraja de 52 cartas, teniendo la opción de congelar en cualquier momento:

De ahí, dependiendo del valor, predicen como va a salir la próxima carta, ya conociendo que el 2 es la carta de menor valor y el A la mayor. Por horas de observación puedo deducir que:
  • La gente congelará la jugada cuando les sale un 7 ú 8, ya que están por el medio de la tabla de valores.
  • Rápidamente dicen mayor cuando la carta anterior es 2, 3 ó 4. De igual manera, dirán menor cuando la carta anterior es una letra (A, K, Q, J).
  • P (intuición que carta sea mayor que valor x) = (cantidad de valores mayores que x) / 13
  • P (intuición que carta sea menor que valor x) = (cantidad de valores menores que x) / 13
  • Existe la probabilidad de que la próxima carta sea del mismo valor (1/13), pero raramente ocurre la predicción.
Son probabilidades que los concursantes confían en ser ciertas y que raramente son erróneas.

La realidad probabilística: 

Realmente, cada vez que se descubre una carta de la baraja, la probabilidad de que la próxima carta sea de mayor o menor valor cambia. Veamos como sería el cambio probabilístico en una ronda del juego. tomemos en consideración las siguientes fórmulas:

Donde:
  • P (I Ma) = P (intuición que carta sea mayor que valor x)
  • P (I Me) = P (intuición que carta sea menor que valor x) 
  • P (Ma) = P. real (carta sea mayor que valor x)
  • P (Me) = P. real (carta sea menor que valor x) 

Primer intento de ganar:
  • Como la carta base es Q, es obvio que vas a predecir que la próxima carta es menor, más aún cuando P (Me) es mayor que P (I Me). El mismo fenómeno ocurre con la segunda carta.
  • Anteriormente dicho y probado ahora, una carta de valor 2 predice automáticamente que la siguiente carta es mayor.
  • Como las probabilidades mayores y menores están peligrosamente cerca, el jugador decide congelar el juego.

Segundo intento de ganar:
  • Siempre habrán ocasiones en que la predicción fallará. Recuerden que la selección de mayor o menor es una probabilidad 50-50 y es un evento independiente de la predicción.

Tercer y último intento de ganar (muerte súbita):
  • Comienzas de nuevo con la carta #4, donde si fallas en la selección de la última carta pierdes el juego. Por suerte, la última carta era mayor.
Al descubrir más cartas es más probable que la probabilidad real aumente (si se descubrieron más cartas de menor valor) o disminuya (si se descubrieron más cartas de mayor valor), mientras que las intuiciones de valor x se queden fijas.