Graficando números complejos en el plano cartesiano

Explorando la variedad de alternativas que tengo en mis referencias hallé que podemos modelar un número complejo (un número en la forma a + bi, donde a es un número real y bi un número imaginario; la i siendo equivalente a la raíz cuadrada de -1, con la b sirviendo de "coeficiente") usando el plano cartesiano.

Localizar un número complejo sigue las mismas reglas que localizar un punto específico en el plano cartesiano: comienzas en el origen (0, 0), te mueves a la izquierda (negativo) o derecha (positivo) para localizar x; y luego arriba o abajo para y. La única diferencia es que expresamos el punto como un complejo.

Ejemplos:

• 3 + 8i se encuentra en (3, 8)

• -11 + 0i sería el punto (-11, 0)

• -6 - 4i está localizado en (-6, -4)

• 7 - 7i es equivalente a (7, -7)

De aquí podemos enseñar geométricamente el valor absoluto de un complejo:

¿Les parece familiar? Es la fórmula para hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante el Teorema de Pitágoras y la fórmula para hallar la distancia de dos puntos cuando uno de éstos es el origen:

|3 + 8i| = sqrt (3² + 8²) = sqrt (9 + 64) = sqrt (73) ≈ 8.55

|-11| = 11

|-6 - 4i| = sqrt (6² + 4²) = sqrt (36 + 16) = sqrt (52) ≈ 7.21

|7 - 7i| = sqrt (7² + 7²) = sqrt (49 + 49) = sqrt (98) ≈ 9.90

Otras de las aplicaciones en las que podemos utilizar el plano cartesiano para los complejos es para mostrar sumas y restas de complejos.

• Para ambos casos comienzas en el punto a + bi (el primer número complejo). 

• Cuando estás sumando, te trasladas c pasos, con la dirección provista por el signo que tenga c, sea positivo (derecha) o negativo (izquierda). Luego te mueves d pasos hacia arriba (si d es positivo) o abajo (si d es negativo)

•  Ejemplo: (3 - 11i) + (-12 + 6i)

• Modelar la resta es similar a modelar la suma, solamente que te mueves opuesto a los signos de c y d.

•  Ejemplo: (-5 + 4i) - (-10 - i)

• Hallar la suma y resta de números complejos en forma geométrica ayuda a que los estudiantes se acostumbren a que puedan trazar una función lineal, dado un punto y la pendiente, con más facilidad.

Este acercamiento geométrico es excelente para hacer conexiones, especialmente con Aventuras Matemáticas / Matemáticas en Acción, cuyo bosquejos en combinación incluyen tanto localizar puntos en el plano cartesiano, graficar funciones, operaciones con números complejos y el Teorema de Pitágoras. Es un ejercicio de exploración que recoge conocimiento adquirido o por aprender y lo pone de manera tal que un tema como los complejos no sea tan complejo para comprender.