Sentido común vs análisis matemático

¿Cree poder hallar en menos de 10 segundos la cantidad de regiones que formarían seis puntos unidos?

En el texto de Geometría de la Serie Matemática Moderna se nos presenta esta situación para que el alumno pueda ver como el sentido común (la primera intuición que la persona tiene hacia un problema, muchas veces de facil solución) nos puede traicionar y darnos una respuesta incorrecta.

El alumno que se va por el sentido común notará al instante que existe un patrón multiplicativo en la cantida de regiones formadas: 2^(n - 1); por tanto diciendo que seis puntos unidos dentro de un círculo formarán 32 (2^5) regiones. Pero al analizar más allá de cómputos y concentrándonos en la hacer la figura, notarán que no formaría dicha cantidad. Y como no especifica si el hexagono formado es regular o irregular, existirían dos soluciones diferentes.

Eso sí, la única forma que pudiese sacarlo en 10 segundos por sentido común correctamente es que supiese de antemano sobre grafos completos de n vértices y la fórmula para sacar la cantidad de aristas formadas, la cual es la misma fórmula de Gauss utilizó para sumar números consecutivos cuando tenía 6 años.

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos.