De la aplicación a la demostración: el volumen de una esfera

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Muchas personas ven que las fórmulas salieron del aire para ayudar a sustituir variables con cualquier número inimaginable. Tomemos como ejemplo el volumen de una esfera. En la escuela solamente tenías que conocer el valor numérico radio para elevarlo al cubo y multiplicarlo por (4/3) π. ¿Sencillo verdad? Pero son pocos los que ven de donde sacamos que V = (4/3) πr³.

Como había dicho el año pasado, una de las mejores manera de introducir el cálculo es mediante la demostración que las fórmulas de los círculos se integran y las esferas se derivan (o viceversa). En la imagen de arriba tenemos la demostración de hallar el volumen de una esfera de radio 2 mediante el uso de la integral triple. Demostrar una triple integral de una superficie esférica envuelve hacer varios pasos para asegurar una prueba exitosa:

• Dibujar la superficie esférica: Hay que visualizar como es la superficie, por eso se dibuja la esfera en el plano x-y-z.

• Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas: Para poder integrar la esfera hay que integrarla con sus coordenadas, las cuales son rho (ρ, el radio de la esfera), phi (φ, ángulo del radio en la sección positiva del eje de z, visualizarlo como semiesfera), y theta (θ, la rotación en el plano xy). Cambiamos las variables rectangulares a sus equivalencias esféricas.

• Definición de la triple integral esférica: También hay que buscar la equivalencia esférica a la definición integral del volumen, donde dx dy dz es sustituido por |J| dρ dφ dθ, el Jacobiano, una matriz determinante donde, en el caso específico esférico, cada fila es la derivada parcial de una de las variables rectangulares respecto a cada una de las variables esféricas. El determinante resultante del Jacobiano es ρ² sin (φ), resultando en dV = ρ² sin (φ) dρ dφ dθ
  

• Integrar: Ahora solamente tenemos que integrar. Sabiendo que el radio es 2, ρ va desde el origen (0) a 2. φ, al ver la esfera como una semiesfera, es un ángulo de π radianes. Finalmente, como θ da la rotación completa, θ va desde 0 a 2π. Enonces se hace la integración. Si el resultado es igual al que te dio en la formula que aprendiste en geometría, lo hiciste bien.