Ya que salimos de la Batería Básica de las PCMAS, tenemos que enfilar nuestros cañones a estudiar para la Prueba de Especialización de Matemáticas. No se trata de hacer veinte mil ejercicios, sino refrescar la memoria de temas aprendidos y aprenderse los temas que falten (lo cual se esperan sean dos o tres).
Un método útil ha sido el conseguir tutorías en línea accesando la red social Youtube. Es tan facil hacer una búsqueda de secciones cónicas o de anillos y grupos. Hay que agradecer a los docentes, ingenieros, físicos, y tutores por exponer sus conocimientos para el beneficio del público cibernético.
Ahora bien, tengo pensado hacer un directorio electrónico de los canales dedicados a tutorías matemáticas. Por el momento, comezaré a estudiar.
Mis recomendaciones luego de que vea el bosquejo temático:
------------------------------------------------------------- Esta es la sexta entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Parte de convertirse en maestro de escuela pública en Puerto Rico es tomar las Pruebas de Certificación de Maestros (PCMAS). Los futuros maestros, toman al menos dos pruebas, llamadas la Batería Básica, ya que todos tienen que tomarlas: La Prueba de Conocimientos Fundamentales y Competencias de la Comunicación y la Prueba de Competencias Profesionales (sea para ser docente de nivel elemental o secundario). Aquellos, como yo, que queremos un poco más que solamente ser un maestro, tenemos que tomar la Prueba de Especialización por Materia, donde se demuestra el dominio de la concentración que esté estudiando. Después de cinco añs se retoman para tener las licencias vigentes.
Todos los años las instituciones universitarias reparten repasos para las primeras dos, inclusive hay algunos en páginas como Scribd. Pero, ¿existe un repaso para las Pruebas de Especialización? Parece que no.
El pasado lunes estaba cuestionando esto entre mis compañeros de práctica y mis supervisores. De ahí mi supervisora me cuenta que en el boletín informativo para las Pruebas de Especialización hay un bosquejo temático cubriendo las áreas de énfasis para la examinación.
Aquí los hallazgos, y cito:
Prueba de especialización en Matemáticas:
Descripción General:
"La prueba consta de cinco partes: cuatro partes de selección múltiple con cinco alternativas y un análisis de una situación pedagógica. La duración del examen es de tres horas y media aproximadamente. Los ejercicios de selección múltiple miden la destreza y habilidad para manejar conceptos, procedimientos matemáticos, razonamiento matemático y solución de problemas en las áreas principales del contenido. La situación pedagógica evalúa el conocimiento de la metodología de enseñanza de matemáticas en un escenario educativo real. De no hacer esta parte se invalida la prueba y no se informa puntuación alguna.
La prueba incluye seis áreas de contenido matemático y una de metodología para la enseñanza de las matemáticas. Las seis áreas de contenido matemático son: numeración (10%), operaciones (16%), geometría (18%), medición (24%), relaciones (19%), probabilidad y estadística (13%). El contenido de las distintas áreas se obtuvo del análisis de los prontuarios de cursos de matemáticas que ofrecen las universidades de Puerto Rico para la preparación de maestros de matemáticas de escuela secundaria. Además, se usaron los siguientes documentos: Análisis del Currículo de Matemáticas que se ofrecen en las universidades de Puerto Rico a aquellos estudiantes que se certificarán como maestros de matemática, estudio auspiciado por el College Board, Documento de Referencia para la Revisión y Desarrollo de Cursos Universitarios en la preparación de maestros del Departamento de Educación, el Inventario de Funciones Profesionales del Maestro, preparado por el College Board y las Pruebas de Certificación de Maestros en los Estados Unidos.
El documento de los estándares de contenido para la enseñanza de las matemáticas establece estas seis áreas como base para el desarrollo del currículo de matemáticas en las escuelas secundarias de Puerto Rico. Ya que ésta es una prueba para certificar a maestros de escuelas secundarias, la información obtenida del análisis de los documentos revisados responde a las seis áreas de contenido de los estándares.
En el área de numeración, los ejercicios están relacionados con las propiedades de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. En operaciones, se incluyen los ejercicios de operaciones con números reales y complejos, las estructuras algebraicas, y la aritmética modular. La geometría que se incorpora al examen incluye los aspectos principales de la geometría euclidiana. Se recalcan las propiedades de las rectas, planos, ángulos, polígonos y circunferencias; además se incluye la geometría analítica. En la medición se incluyen problemas relacionados con el cómputo de perímetro, área y volumen de figuras geométricas. Además, se incluyen ejercicios y aplicaciones de cálculo diferencial e integral, sucesiones y series, y principios generales de conteo. En la de relaciones, se incluyen los conceptos generales y las características de funciones y relaciones, así como el conjunto, solución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Por último, en el área de probabilidad y estadística aparecen problemas de probabilidad y de estadística descriptiva e inferencial."
El documento ofrece un bosquejo temático y ejercicios de ejemplo (páginas 48-71 del documento) que cubre todos los cursos matemáticos universitarios, inclusive cálculo que está "escondido" en el área de medición:
1. Teorema de Pitágoras. 2. Polígonos. 3. Círculos.
B. Volumen y área de superficie.
1. Figuras tridimensionales.
C. Análisis.
1. Límites de funciones. 2. Funciones continuas. 3. Diferenciación.
a. Razón de cambio. b. Rectas tangentes. c. Determinación de derivadas. d. Aplicaciones.
1) Razones relacionadas (razón de cambio). 2) Análisis de gráficas.
a) Puntos críticos. b) Creciente o decreciente. c) Puntos de inflexión. d) Concavidad.
3) Optimización.
a) Criterio de la primera derivada. b) Criterio de la segunda derivada.
4. Integración.
a. Integral indefinido. b. Integral definido.
1) Suma de Riemman. 2) Teorema Fundamental del Cálculo.
c. Aplicaciones.
1) Volumen. 2) Área. 3) Longitud del arco.
D. Conteo.
1. Permutaciones. 2. Combinaciones. 3. Principios de conteo.
E. Sucesiones y Series.
V. Relaciones.
A. Igualdades / Ecuaciones.
1. Conjunto solución de ecuaciones.
a. Lineales. b. Cuadráticas. c. Polinómicas de grado mayor que 2. d. Racionales. e. Exponenciales o logarítmicas. f. Trigonométricas.
2. Representación gráfica. 3. Sistemas de ecuaciones.
a. Método gráfico. b. Sustitución o adición. c. Método Gauss-Jordan. d. Regla de Cramer.
B. Desigualdades / Inecuaciones.
1. Conjunto solución. 2. Representación gráfica. 3. Sistema de inecuaciones.
C. Relaciones y Funciones.
1. Conceptos generales.
a. Definiciones. b. Dominio y recorrido (alcance, campo de valores).
2. Tipos.
a. Lineales. b. Cuadráticas. c. Polinómicas de grado mayor que 2. d. Racionales. e. Exponenciales o logarítmicas. f. Trigonométricas.
3. Representación gráfica. 4. Operaciones con funciones.
a. Suma, resta, multiplicación y división. b. Composición. c. Inversa.
D. Matrices
1. Operaciones.
a. Suma. b. Multiplicación. c. Igualdad.
2. Inversas y traspuestas.
E. Determinantes.
VI. Probabilidad y estadística.
A. Probabilidad.
1. Eventos. 2. Variables aleatorias. 3. Distribución de probabilidad.
B. Estadística Descriptiva.
1. Gráficas. 2. Medidas de tendencia central. 3. Medidas de dispersión. 4. Medidas de posición. 5. Medidas de asociación.
C. Estadística Inferencial.
1. Muestreo. 2. Pruebas de hipótesis.
VII. Metodología de la enseñanza de matemáticas.
A. Enfoques de la enseñanza de matemáticas.
1. Deductivo. 2. Inductivo. 3. Solución de problemas.
B. Técnicas.
1. Uso de la pregunta. 2. Uso de manipulativos. 3. Uso de la tecnología.
a. calculadora (básica y gráfica). b. computadora.
4. Laboratorio.
C. Procesos matemáticos.
1. Razonamiento. 2. Comunicación. 3. Conexiones. 4. Solución de problemas.
D. Evaluación y “assessment”.
1. Técnicas de “assessment”.
a. pregunta abierta. b. reacción inmediata. c. observación. d. portafolio. e. autoevaluación. f. diario reflexivo. g. mapa de conceptos. h. uso de rúbricas.
1) analítica. 2) holística.
2. Tipos de evaluación.
a. diagnóstica. b. de ubicación. c. formativa. d. sumativa.
Ahora bien, siempre hay un tema que se nos escapa de aprender. En mi caso en específico es el de los anillos en Álgebra Abstracta. Pensando en esos temas que se nos olvida o nunca hemos visto, he estado pensando que las universidades o casas publicadoras deberían hacer repasos para las Pruebas de Especialidad, ya que son tan importantes como la Batería Básica, que la última solo se reduce a otra prueba de memorizar filósofos.
Ya he hablado con algunos de mis profesores de la idea. basado en sus respuestas y el planteamiento oficial, puedo hacer una propuesta:
Creo que se podría hacer un libro de texto donde se resuma y reexplique cada uno de los puntos del bosquejo temático. Este libro sería hecho en colaboración entre estudiantes de educación matemática y profesores de la universidad dentro de un programa de estudio y trabajo o de ayudantía subgraduada; donde los profesores asignan los temas y los estudiantes hacen los resúmenes para luego ser revisadas y aprobadas por estudiantes graduados o los mismos profesores. Cuando se termine completamente dicho texto, se publicaría en impresión limitada y vendida a precio especial a aquellos estudiantes del recinto que vayan a tomar la Prueba de Especialización, y luego a precio regular a maestros y otros estudiantes de instituciones públicas y privadas.Precio sugerido: US $25
Por el momento hay que buscar del Internet y de los libros de referencia...
La semana pasada les dije a mis estudiantes que utilizaran la técnica del poema concreto en palabras comunes y corrientes. Todas las palabras en español o inglés que contenían a "pi" en el principio, medio, o final; por tanto lo sustituían por π. De los 20 alumnos, solamente 16 me entregaron trabajos. Fue basado en los mismos juegos de palabras que hice en los wallpapers del lunes.
------------------------------------------------------------- Esta es la quinta entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Supongamos que a usted le digan que tenga que hallar la raíz cúbica de 205379, y ,al menos, le dicen que es un cubo perfecto. Muchos de nosotros iríamos rápido a nuestras calculadoras científicas para buscar la solución. Hay una forma de hallar la raíz cúbica de los cien primeros cubos perfectos positivos y negativos., comprobado en Spiked Math el día de San Patricio del año en curso.
Primero que nada, memorícese los primeros diez cubos perfectos:
Ahora, separe los dígitos en grupos de tres, comenzando de derecha a izquierda. A veces el grupo de la extrema izquierda se quedará con uno o dos dígitos, lo cual indica que la raíz cúbica es menorque 50 (aproximadamente). Si hay solamente un grupo de tres dígitos, entonces la raíz cúbica es de un dígito.
Hallar las decenas de la raíz: Usted va a ver el grupo que está a la izquierda, de haber dos grupos. Luego verifica entre qué cubos perfectos está ese número. De ahí seleccione el cubo más pequeño.
205 | 379
205 está entre 125 (5) y 216 (6), por tanto el dígito de las decenas de la raíz cúbica de 205379 es 5. Sustituya con el 5 donde está el 205.
Hallar las unidades de la raíz: Ahora enfóquese en el último dígito del grupo de la derecha. Ese va a ser el indicador de las unidades de la raíz, ya que cada uno de los diez dígitos le corresponde un digito:
Si el dígito que aparece al final es:------------------------0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ------------------------------------------------------------------------------------------ Entonces el dígito de las unidades de la raíz cúbica sería:-0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
La evidencia está en los primeros diez cubos perfectos, ya que al multiplicar cualquier número tres veces el dígito de las unidades del cubo formado siempre será el que está basado en la tabla. Volviendo al problema:
5 | 379
El dígito que aparece al final es 9, por tanto el dígito de las unidades de la raíz cúbica es 9. Sustituya.
Separar los dígitos en grupos de tres, de derecha a izquierda:
50 | 653
Hallar el dígito de las decenas de la raíz cúbica:
50 | 653
50 está entre 27 (3) y 64 (4), por tanto el dígito de las decenas de la raíz cúbica es 3.
3 | 653
Hallar el dígito de las unidades de la raíz cúbica:
3 | 653
Basado en la tabla, como el dígito que aparece al final de 653 es 3, el dígito de las unidades de la raíz es 7.
3 | 7
Por tanto, la raíz cúbica de 50653 es 37.
Q.E.D
Este truco matemático es excelente para darte dotes de matemago o para sorprender tanto a estudiantes (como le hice a mis estudiantes hoy) o a sus superiores (como lo hice a la Dra. Olgamary hoy en la Casa Abierta del RUM).
El truco sirve tanto en los primeros cubos perfectos positivos y en los negativos (si es negativo el número, la raíz cúbica también), así que usted sabe hallar la raíz cúbica de 200 números con solamente memorizarse los primeros diez cubos perfectos.
------------------------------------------------------------- Esta es la cuarta entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Año nuevo, misma controversia. Ahora tenemos al físico teórico y empresario Michael Hartl: reestructuró, documentó y expandió la idea de Palais, y la hizo suya; rediseñando el antiguo símbolo, cortandole una pata a π. Si usted sabe su alfabeto griego, cortale la pata derecha a π forma τ (tau).
Este hombre sabe vender su mercancía. Su campaña agresiva, al cual llama "El manifiesto de tau" (The Tau Manifiesto) pone al ya tan famoso número trascendental por el piso, hasta llamarlo solamente como la mitad de tau. Habla de aspectos estéticos donde τ se utilizaría mejor que π, como la facilidad de crear las funciónes trigonométricas básicas, sobre como las partes del círculo unitario caen exactamente en los pedazos correspondientes (o sea, una rotación de cero a 90 terminaría en τ/4, exactamente cubriendo 1/4 parte del círculo), y más aún e^(iτ) daría como resultado a uno, representando UNA rotación completa a diferencia de "ese signo negativo de e^{iπ},que se ve demasiado feo". Además creo el Día Tau (28 de junio) para celebrar el Yin Yang del anteriormente conocido como 2π.
Y si usted no quiere leer todo el manifiesto, puede ver y escuchar a Vi Hart discutir todo el documento en su estilo.
Sobre la celebración del Día τ: Si algo sabemos los puertorriqueños es celebrar todos los días festivos que son de nosotros y los que no son de nosotros, así que se debe celebrar el Día Tau.
Sobre el uso de τ: Creo que en el departamento de juegos de palabras suena bien, pero yo conocí a τ como la suma de los divisiores de un número en mi clase de Teoría de Números, mientras que algunos ingenieros lo identifican con la corriente directa. Por tanto creo que habría que buscar un símbolo único.
Sobre las aplicaciones de Tau: Tienen gran sentido de belleza (usando la definición del radio como punta de eje de rotación) y quita el número dos innecesario de muchas fórmulas
Sobre la erradicación total de π: En desacuerdo. Creo que π se debe quedar donde no se necesiten fracciones con π. En otras palabras, para hallar la circunferencia y los juegos de palabras. Pero a veces prefiero τ porque tiene el doble de π en cada servicio.
Sobre las futuras cruzadas matemáticas: Las batallas entre tauístas y piítas van a ser cubiertas por CNN, y serán tan grandiosas que hasta Euler se coló a dar su opinión:
Ahora bien, si queremos que τ despuegue, hay que regar la voz, escuchar opiniones, ver si los sistemas de educación aceptan al nuevo símbolo. Es una batalla cuesta arriba, pero podemos llegar a un happy medium.
------------------------------------------------------------- Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Continuando con la línea de productos basados en π, en mi tiempo libre me dispuse a hacer solamente con un procesador de palabras y las fuentes y colores que tenía, calcomanías que usted puede usar no solo en el día de hoy, sino como regalo en la clase de matemáticas y/o a algún fanático matemático en especial. Solamente imprima el documento pdf en un "sticker paper" o en papel para darle un toque nostálgico del album de láminas pegadas con pegamento. cada documento tiene 6 calcomanías.
------------------------------------------------------------- Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Como el Día Pi debe ser un día donde los júbilos matemáticos deben estar al máximo, decidí hacer esta serie de fondos de pantalla de manera colorida, a diferencia del ya reconocido fondo negro de mis wallpapers.
¡Feliz Día π de parte de La Covacha Matemática!
------------------------------------------------------------- Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Gaussianos
Durante el 15 de marzo del año pasado hasta el día de hoy, hemos hecho bastantes entradas para La Covacha Matemática. Diez de éstas tienen un enlace directo o indirecto con el número irracional π. Aquí un pequeño resumen:
14 de mayo del 2010: Un wallpaper del edificio de matemáticas de mi alma mater muestra el opuesto del resultado de la fórmula de Euler. Pronto fue inspiración para hacer las camisas de "Matemática #e^(2πi)" que la asociación de estudiantes de matemática del RUM vende.
20 de junio del 2010: El primero de muchos relojes para matemáticos que he mostrado en la página contenía, además de e^(2πi), la definición de 4 basada en π.
14 de agosto del 2010:Aplicaciones para las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras que utilizan bastante a π: círculos y esferas.
1 de septiembre del 2010: Entre las cosas que encontré ese día en la blogósfera, estaba esta nemotecnia de π del Brasil.
11 de septiembre del 2010: Parte de la experiencia de vivir la vida universitaria es el adiestrar a los prepas. Por eso en un rally les pregunté "¿Cuál es el último dígito de π?".
22 y 23 de septiembre del 2010: Lo que empezó como un descubrimiento de manipulativo palmar para senos y cosenos, se expandió al hallazgo propio de sacar todas las identidades posibles de tu mano en Trigonometría en al palma de tus manos partes I y II.
Esta maqueta representa mi pensamiento del Proyecto Especial de Matemáticas: fusión artístico-matemático. Lleva el concepto del área de figuras geométricas a otro nivel, sin necesidad de explicar tanto, solo veo la figura y la asocio con la fórmula.
Otro punto que tengo que recalcar es el hecho que utilice la altura para medir el área de una de las caras del hombre cubo. Comúnmente decimos que el érea del cuadrado es igual a lado por lado *(o lado al cuadrado). Medir la altura de un cuadrado desde uno de sus lados como base, no solo sirve para demostrar que A = (altura)^2, sino también podemos comenzar a enseñarles sobre como el área de un rombo y el de un cuadrado se relacionan (si tienen la misma base y altura), así como el rectángulo y el paralelogramo.
Burger King ha concentrado a expertos de una disciplina única en las matemáticas: las matemáticas carnívoras (meat mathematics) cuya gran tesis ha sido como darles a sus clientes gran sabor a poco precio. Vean el comercial:
Algunas veces ocurren ocasiones que uno se topa con escritos sumamente necesarios para crear un orden dentro de la sociedad escolar/universitaria. Es así que me encuentro con este escrito que dejó el Dr. VIctor Siberio en el Fan Page del RUM:
Mi Compromiso
1. Asistir a tiempo, vestido de forma apropiada, con una buena actitud y preparado para dar una clase de excelencia. 2. En caso de ausentarme enviar a una persona que me sustituya, o a reponer el material en un horario adecuado para todos los estudiantes. 3. Responder a las preguntas y aclarar las dudas que tengan los estudiantes cuantas veces sea necesario. 4. Mantener un ambiente de orden y armonía y respetar a los estudiantes y a sus opiniones aunque sean distintas a las mias. 5. Anunciar los examenes con por lo menos una semana de anticipación y entregarlos corregidos antes de cinco días despúes de ofrecerlos. 6. Prepar exámenes claros en armonía con lo discutido en clase o las asignaciones que se hayan dado. 7. Cumplir con el horario de oficina según anunciado en el prontuario y hacer arreglos para atender a los estudiantes que no puedan visitarme en el horario establecido.
Lo que espero de mis estudiantes
1. Que asistan a clase a tiempo, con una buena actitud, vestidos apropiadamente, con los materiales necesarios y listos para recibir su clase. 2. En el caso de que tengan que ausentarse se responsabilicen por el material discutido y presenten una excusa verbal o escrita ante el maestro. 3. Cuando tengan dudas le pregunten al maestro ya sea en la clase o en la oficina. 4. Eviten conversar con el vecino o por teléfono durante el periodo de clase. En el caso inspostergable de que tenga que hacerlo salga fuera del salón y cuando teminen la conversación entonces regresen. 5. Mantener orden y respeto en todo momento tanto con sus compañeros estudiantes como para el profesor. 6. Estudiar con tiempo y de forma adecuada para sus exámenes y venir preparados con los materiales permitidos a tomar los mismos. Escribir sus contestaciones propias y no tratar de depender de sus vecinos o papeles no aceptados durante el transcurso de los examenes. 7. Preparar sus asignaciones a tiempo y entregarlas en las fechas establecidas. No copiar las que hizo un compañero. 8. Cuando tenga que citar algún articulo o escrito en sus asignaciones darle el crédito correspondiente a sus autores. Evitar el palgio o la apariencia de este. 9. Cuando utilice el internet para buscar información analiza con cuidado la información que encuentras ya que en algunas páginas de este medio aparece información que no es correcta. En caso de duda pregunte al maestro o alguna otra persona que te pueda ayudar.
La integridad académica es lo que hace tanto a los maestros como estudiantes en personas éticas en el ambiente escolar, que sus logros no fueron obtenidos mediante trampas. Muchas personas solamente ven el plagio como el único elemento deshonesto en la academia, pero para mí es mucho más que eso.
A una semana de hoy, 14 de marzo del 2011, todo el mundo matemático celebra el Día Pi, dedicado a aquél número irracional de secuencia decimal infinita.
La Covacha Matemática no se queda atrás, también disfrutaremos del fiestón, no solo del π Day, sino de la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, con Gaussianos de anfritión. Durante el próximo lunes, pondrémos varias entradas exponiendo un año lleno de πezas célebres de recordar, buscando nuevos descubrimientos espπctaculares, y una serie de fondos de pantalla éπcos.
Así que los esperamos para comenzar el Carnaval al son de π.
Hoy les traigo varios materiales que he confeccionado para mejorar la experiencia de los jóvenes a quienes les estoy dando clases.
El recolector de dudas: decoré una caja para que aquellos estudiantes que no se atreven a expresar sus inquietudes sobre el tema en discusión coloquen papeles con su pregunta.
√RADICALES: Toda la primera parte de los radicales (la segunda son operaciones con radicales) está basada en un bingo que voy a hacer antes del examen. Cada práctica está numerada con una solución única que corresponde a una de las letras de B·I·N·G·O. Todavía no está completada, pero en esta semana trabajo con lo que falta. Hay un error en uno de los ejemplo 2 de raíces n-ésimas. La raíz cuarta es 16, pero en las explicaciones puse 64.
En otras noticias, les mencione mi intención de celebrar el Día Pi. Ahora ellos quieren un πzza Party. Vamos a ver que se puede hacer.
