Verificando el álgebra de un anime

limitehouse colocó en su cuenta de Tumblr esta imagen sacada de la serie de animación japonesa Baka to Test to Shoukanjuu, donde pueden apreciar a uno de los personajes resolviendo una serie de multiplicaciones algebraicas y, a la misma vez, simplificando expresiones radicales. Nos comenta que hay un error en una de las soluciones. Vamos a verificar:

Ejercicios del 8 al 11:

Esta serie de multiplicaciones tienen la habilidad especial de ser factores cuya simplificación se pueden conseguir por medio del conocimiento de las fórmulas de factorización, en este caso las factorizaciones para las diferencias y sumas de cubos. Dados a & b, términos constantes; y x & y, variables, las fórmulas de factorización para la suma y diferencia de cubos son:

a­³x³ + b³y³ = (ax + by)(a²x² - ab + b²y²)

a³x³ - b³y³ = (ax + by)(a²x² + ab + b²y²)

Entonces, los ejercicios 8 y 9 son ejemplos directos de la fórmula; y fuera del error (2x)³ - 13 (en vez de ser escrito como (2x)³ - 1³), el procedimeinto para ambos están correctos. Mientras que los ejercicios 10 y 11 se necesitan varios pasos para resolverlo:

10. (x - 1)(x² + x + 1)(x⁶ + x³ + 1)

Verificando los tres factores vemos que podemos simplificar (x - 1)(x² + x + 1) a
x³ - 1. Luego, lo simplificamos con (x⁶ + x³ + 1), ya que ambos factores forman una diferencia de cubos.

(x³ - 1)(x⁶ + x³ + 1)

(x³)³ - 1³

x^9 - 1

11. (x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

A simple vista, no sería posible aplicar las fórmulas para ningún par de factores; pero al observar que x² - y² es una diferencia de dos cuadrados, tal que los elementos que componen su factorización es lo que necesitamos para poder simplificar y llegar a la solución más óptima: 

(x² - y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

(x + y)(x - y)(x² + xy + y²)(x² - xy + y)

Entonces, por la propiedad conmutativa, podermos observar más claro la doble simplificación:

(x - y)(x² + xy + y²) · (x + y)(x² + xy + y)

(x³ - y³)(x³ + y³)

x⁶ - y⁶

Ejercicios del 1 al 4: Simplificar expresiones radicales (raíces cuadradas)

1. (√3 + √2)² + (√3 - √2)²

Tenemos que resolver ambos cuadrados especiales:

(√3 + √2)² + (√3 - √2)²

(√3 + √2)(√3 + √2) + (√3 - √2)(√3 - √2)

(√9 + 2√6 + √4) +  (√9 - 2√6 + √4)

(3 + 2√6 + 2) +  (3 - 2√6 + 2)

Ahora agrupamos enteros con enteros y radicales con radicales para entonces sumarlos:

(3 + 2 + 3 + 2) +  (2√6 - 2√6)

10 + 0

10

2. (√6 + 1)² - 2(√6 - 1) - 3
3. √27 + √12 - √48

Basado en lo presentado en la imagen, ambos ejercicios tienen el procedimiento correcto, salvo que en el ejercicio 2 se salta el paso de agrupar enteros por un lado y radicales por otro.

4. √(-3)² + √(3 - π)²

La raíz cuadrada de una expresión elevada al cuadrado es el valor absoluto de la expresión misma. Es por esto que para hallar la solución, debemos "eliminar" el radical y la potencia cuadrada, hallar sus valores absolutos (si dicho número o resultado son negativos) y resolverla como una suma.

√(-3)² + √(3 - π)²

|-3| + |3 - π|

-(-3) + -(3 - π)

3 + (π - 3)

(3 - 3) + π

π

Al final todos los ejercicios tenían las solucuiones correctas, solamente que se encontraron dos errores basados en la escritura. Si me entregasen el trabajo para corrección, quitaría puntos por falta de procedimiento, pero no por un error que en el trayecto del ejercicio no se vea reflejado.