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Monday, January 30, 2012

La ecuación que genera el recíproco de 998001.

En la entrada anterior mostramos otros números que son similares a 998001 en su propiedad reciprocal y su forma general. En esta ocasión les presento una forma más general y facil de producirla, en forma de fórmula.

Hoy en la sección de comentarios, me dejan un video de Numberphile sobre los grafting numbers, una serie de números que se pueden encontrar dentro de la secuencia de su raíz cuadrada. Al final, Matt (Numberphile) encontró un patrón en una serie de números, de tal manera que pudo reducirlo a una ecuación simple. Ésto me dio hincapié para averiguar si existía tal capacidad de ecuación en los ejemplos mencionados en la entrada anterior.

De antemano sabía que todos los números generados eran divisibles por nueve, ya que la suma de sus dígitos resulta en un número divisible por 9. Entonces, verifico si hallaba factores comunes:

81 = 9²

9801 = 9 (1089) = 9² (121) = 9² · 11²

998001 = 9 (110889) = 9² (12321) = 9² · 111²

99980001 = 9 (11108889) = 9² (1234321) = 9² · 1111²

Con estos cuatro ejemplos pude encontrar varios hallazgos:
  • Todos los números, al dividirse 9, invierten el orden de los números tanto en cantidad como en orden.
  • Todos los números tienen como factor común el 81 (9²). Genera la secuencia decimal de los números excepto (999···9) - 1.
  • El otro gran factor es el cuadrado de la sumatoria, desde n = 0 hasta n - 1, de 10, el cual dicta n, la cantidad de dígitos que tienen los números de la secuencia (de 0 a 9, de 00 a 99, etc.).
    • (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 1 = (10^0)² = (1)² = 1
    • (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 2 = (10^0 + 10^1)² = 1 + 10 = (11)² = 121
    • (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 3 = (10^0 + 10^1 + 10^2)² = 1 + 10 + 100 = (111)² = 12321
Al final, pudimos reducir todo ese desbarajuste de notación científica que teníamos anteriormente a una simple ecuación generadora:


2 comments:

zurizeno said...

Impresionante como se redujo, me hizo el dia, tal vez habra una manera de genralizarlo a otras bases , no se, pero definitivamente un gran avance. Saludos

JavierOmar said...

Gracias. Espero que te haya gustado.