Los Autos Locos y el sistema de puntaje Fórmula Uno del 1968

Hoy les traigo una infográfica que podría utilizar para la sección de estadística o álgebra. En este caso lo utilizaremos para una lección sobre resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

Los Autos Locos (Wacky Races), aunque durase solamente 17 episodios, todavía tiene vigencia al día de hoy gracias a que tiene una fanaticada leal, donde se han hecho hasta réplicas realesde los coches. La página CarInsurance.org elaboró esta infográfica donde presenta los carros, conductores, y cuantas carreras ganaron en primer, segundo y tercer lugar; dándoles una puntuación basada en el sistema de puntajes Formula Uno que se utilizaba en la época de las emisiones originales de la caricatura (1968-69). Ésta será nuestra base para hacer una clase donde los alumnos apliquen el método de resolver el sistema de ecuación lineal con tres variables, además de que puedan elaborar una serie de pasos organizados a la solución.

infográfica via via [CarInsurance.org]

¿Como podríamos preparar la clase?

• Se espera que los estudiantes hayan sido introducidos al método de resolver sistemas de ecuaciones lineales un día anterior; pero que a la misma vez no hayan comenzado a trabajar en ejercicios. 

• Comenzamos la clase presentando un capítulo de la caricatura, para que conozcan a los personajes (Opcional)

• Luego de eso, entrega la infográfica con los datos provistos y una hoja con los problemas. Explique que la combinación de primeros, segundos, y terceros lugares dan una puntuación.

• Separa a los alumnos en grupos para que resuelvan el problema, pero que no haya comunicación entre grupos (luego sabrán porqué).

• Se discute el trabajo realizado.

Las (posibles) preguntas / instrucciones:

1. Completa la siguiente tabla:

| # coche | # 1er lugar | # 2do lugar | # 3er lugar | puntuación |

2. Escoje uno de los coches. Haz una ecuación lineal de tres variables (p, s, t) donde:

• el coeficiente de p es la cantidad de veces que el coche ganó primer lugar.




• el coeficiente de s es la cantidad de veces que el coche ganó segundo lugar.




• el coeficiente de t es la cantidad de veces que el coche ganó tercer lugar.




• la ecuación lineal es igual a la puntuación del coche.


Ejemplo: La ecuación lineal para el auto del Profesor Locovitch (#3) es 3p + 2s + 5t = 59

3. Repita el paso 2 para dos coches más.


4. Con las tres ecuaciones ya encontradas, averigue cúal era el sistema de puntuaciones de Fórmula Uno para el primer, segundo, y tercer lugar en 1968.


5. Verifica que los valores encontrados para p, s, t son ciertos para cualquier coche.

La solución:

Usando los datos de victorias de los autos del Profesor Locovitch (#3), el Barón Hans Fritz (#4), y el Super Chatarra Special (#6), hago el sistema de ecuaciones:

(1):  3p + 2s + 5t = 59

(2):  3p + 4s + 3t = 63

(3):  3p +  s + 0t = 33

Seleccioné las tres porque todas tienen el mismo coeficiente para p lo cual facilitará la búsqueda de los valores de s y t.

Sumamos (2) y el opuesto de (3) para obtener la ecuación (4):

(2):  3p + 4s + 3t = 63

-(3):  -3p -  s - 0t  = -33
________________________ 
(4): 3s + 3t = 30

Sumamos (2) y el opuesto de (1) para obtener la ecuación (5):

(2):  3p + 4s + 3t = 63

-(1):  -3p -  2s - 5t  = -59
________________________ 
(5): 2s - 2t = 4

Para poder hallar el valor de s: Multiplicamos la ecuación (4) por dos, y la ecuación (5) por tres y luego los sumamos.

2 × (4): 6s + 6t = 60

3 × (5): 6s - 6t = 12

_______________________

12s = 72

s = 6

Para poder hallar el valor de p: Sustituimos s en (3).

3p + s + 0t = 33

3p + 6 = 33

3p = 33 - 6

3p = 27

p = 9

Para poder hallar el valor de t: Sustituimos p y s en (1) y/o (2), para así verificar en la otra ecuación que ambas darán el mismo resultado.

Sustitución:

3p + 4s + 3t = 63

3(9) + 4(6) + 3t = 63

27 + 24 + 3t = 63

51 + 3t = 63

3t = 63 - 51

3t = 12

t = 4

Verificaciones:

3p + 2s + 5t = 59

3(9) + 2(6) + 5(4) = 59

27 + 12 + 20 = 59

59 = 59

3p + 4s + 3t = 63

3(9) + 4(6) + 3(4) = 63

27 + 24 + 12 = 63

63 = 63

3p + s  = 33

3(9) + 6 = 33

27 + 6 = 33 

33 =33

Por lo tanto, en el sistema de puntuaciones fórmula Uno de 1968:

• Llegar en primer lugar valía 9 puntos (p = 9)
• Llegar en segundo lugar valía 6 puntos (s = 6)
• Llegar en tercer lugar valía 4 puntos (t = 4)

Al final, cualquier combinación de carros obtendrá los tres valores, excepto las que tengan incluído a Pierre Nodoyuna. Ni en las ecuaciones puede ganar.

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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Resistencia Numantina