Hasta en el manga queda plasmada la realidad de la educación matemática

un cuadro del comic japonés Strobe Edge

- ¿No te parecen que las matemáticas de secundaria de repente se pusieran difíciles?
- ¡Hay demasiadas fórmulas y teoremas! Son imposibles usarlas en la vida real.

Este cuadro resume dos de las cuestiones que el maestro de matemáticas debe tener en mente cuando está dando clase: los que piensan que es difícil, y los que se enredan con las fórmulas.

Primero: a menos que tengas un problema de aprendizaje como la discalculia, las matemáticas se dividen en varios microprocesos, los cuales aprendes desde escuela primaria, elevándose en dificultad a medida que pasas de grado. Esos microprocesos se aglomeran en un procedimiento para una tarea específica (a lo cual muchos llaman estándar de ejecución).

De aquí saltamos al segundo problema: Muchos de esos procedimientos tienen varias fórmulas, muchas veces 3 ó 4, para poder cumplir dicha tarea. Ahí es donde muchos se enredan: al tener tantas fórmulas y teoremas en la mente se les dificulta tener una mente clara para resolver la tarea.

Soluciones hay muchas, pero lo más vital es que el estudiante domine el procedimiento y sus aplicaciones reales antes que dominar las fórmulas. En un futuro no tan lejano, los estudiantes entrarán a la fuerza laboral y dependiendo del nivel matemático requerido para cada empleo, ellos pueden tener éxito o fracaso. Y si el empleo requiere conocimiento de fórmulas matemáticas, es siempre importante tener referencias.

Historia de la educación matemática en Puerto Rico del Siglo XX (con anotaciones)

Fuente: Marco Curricular del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico (INDEC, 2003)

Durante el siglo pasado se han desarrollado y puesto en marcha diferentes enfoques como punta de lanza para la enseñanza de la matemática. He aquí los esfuerzos del Programa de Matemáticas en mantener un currículo vigorizante:

Primero que nada, veamos como se desglozan los diferentes énfasis que pasaron por las aulas de matemáticas y sus descripciones:

1900's-1930's: Aritmética a todo poder

"A principios de la dominación norteamericana (1899) se estableció en Puerto Rico una Junta Insular de Educación, con el propósito de centralizar la administración escolar de la Isla. Durante estas décadas se enriqueció el currículo y se realizaron cambios metodológicos en todas las materias. La enseñanza de las matemáticas, así como las otras materias, se impartía en el idioma inglés. El texto para enseñar matemáticas se titulaba Arithmetic (Wentworth & Smith). El énfasis, evidentemente, era la enseñanza de conocimientos y destrezas en aritmética. La Comisión de la Universidad de Columbia realizó un estudio en 1925, cuyos resultados revelaron que los estudiantes puertorriqueños dominaban muy bien la aritmética. Según el estudio, esto se debía al énfasis en la práctica y el tiempo excesivo que se dedicaba a esa asignatura."

Comentario: Wentworth & Smith produjeron varios libros de aritmética para Ginn & Co. como Complete Arithmetic, Essentials of Arithmetic, y Higher Arithmetic. En el último, podemos observar un escudo representativo de los autores, con elementos asociados a cuatro ramas matemáticas: aritmética (huesos de Napier), álgebra (triángulo de Pascal), geometría (escuadra y compás), y trigonometría (pentagrama invertido, en el sentido pitagórico).

1940's & 1950's: Aritmética Social: la primera matemática aplicada

"La Comisión de la Universidad de Columbia que estudió el sistema educativo en 1949 no ofreció pruebas de aprovechamiento; pero, al estudiar el currículo de matemáticas en la escuela intermedia, encontró que en los cursos que se estaban desarrollando se seguían fielmente y con mucha rigidez los libros de texto. Para corregir este problema, se sugirió que se utilizaran con mayor frecuencia actividades relacionadas con la comunidad.

Las recomendaciones de la Comisión en 1949 recogían las tendencias en boga para
aquella época, sobre el valor puramente social de las matemáticas. Esto motivó que los señores Erasto Rivera Tosado y Pedro A. Cebollero publicaran un texto de matemáticas en español con el título Aritmética Social. Este texto se utilizó durante la década de los 50 e iba dirigido al nivel elemental."

Comentario: Ya para la década del 1950, la implemantación del idioma inglés en todas las clases (excepto inglés, claro está) había dejado de existir. Este suceso dio paso a poder familiarizar más la aritmética con el entorno boricua y poder llevar a cabo las asociaciones aplicativas sociales de la aritmética desde nivel elemental.

1960's: Significación, cursos avanzados, y matemática moderna

"Sin descartar la utilidad social de las matemáticas, se hicieron cambios significativos en el enfoque de la asignatura, su terminología, su simbolismo y sus usos, de modo que se enfatizara la significación para facilitar la comprensión y el entendimiento de los procesos matemáticos. A este nuevo enfoque se le llamó matemática moderna.

Para responder a las necesidades del nuevo enfoque, surgió un interés por mejorar la enseñanza de matemáticas y por aumentar el número de especialistas en la materia. Con aportaciones de fundaciones norteamericanas, se creó en los Estados Unidos el llamado “School Mathematics Study Group” (SMSG). Este grupo estaba integrado por maestros de matemáticas, matemáticos, expertos en educación y representantes de la ciencia y la tecnología. El grupo produjo textos para los diferentes niveles escolares. De éstos, la escuela puertorriqueña utilizó, al comienzo de la década de los 60, los producidos para los niveles intermedio y superior. Los materiales preparados por el SMSG servían de modelo a las casas editoras de libros en la preparación de textos. Ejemplos de esto son dos series de matemática moderna en español, que se comenzaron a usar en 1966-67 con los estudiantes de tercer a sexto grado.

Los Centros de Currículo, establecidos en el año escolar 1963-64 en San Juan, Ponce y Mayagüez, tenían el propósito de facilitar el ensayo de los materiales curriculares en la escuela elemental y, al mismo tiempo, ofrecer orientación a los maestros, sobre contenido, estructura y enfoques didácticos. También se produjeron cuadernos para los grados primero y segundo, con la correspondiente guía para el maestro, los cuales se comenzaron a usar en el año escolar 1966-67. Para finales de los 60 se destacaron las diferencias individuales en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Desde el 1966 se comenzó a atender a los estudiantes talentosos mediante la creación de escuelas de áreas, como el Centro Residencial de Oportunidades Educativas de Mayagüez (CROEM) y mediante el ofrecimiento de cursos avanzados en el nivel superior.

En el año 1967-68, la Comisión de Matemáticas del “College Entrance Examination
Board” elaboró un curso de álgebra y trigonometría de nivel universitario para el programa de Nivel Avanzado de Matemáticas. En el año escolar de 1968-69, se iniciaron los cursos de Probabilidad y Estadísticas, y el de Geometría Analítica. En ese mismo año se estableció en toda la Isla el primer curso de Álgebra para estudiantes de noveno grado de talento superior y promedio, así como para los estudiantes talentosos de octavo grado."

Comentario: Ese año del 1968 fue uno clave de cambios, ya que anteriormente el currículo de matemáticas era aritmética, geometría y álgebra; y los alumnos no veían úlgebra hasta nivel superior. Es ahí donde se marca la norma de que los talentosos comenzaban álgebra en octavo, la cual se aplica a todos los estudiantes de escuela pública desde 2007. También, parte del curso de álgebra y trigonometría es el que conocemos hoy como Matemática General Universitaria.

CROEM todavía existe y es uno de los centros educativos de excelencia en Puerto Rico en las ciencias y matemáticas. Completas la escuela superior en dos años.

1970's: Simplificación tras un desastre llamado matemática moderna

"Con la matemática moderna, y su consecuente énfasis en la significación, se exageró la utilización de los medios. Éstos se confundieron con los fines de la enseñanza de la materia, al extremo de descuidarse el desarrollo de las destrezas básicas fundamentales. El bajo aprovechamiento mostrado por los estudiantes en exámenes estandarizados y exámenes del “College Board”, los costos cada vez más altos de la educación y la demanda por evidenciar la calidad de la enseñanza, entre otras razones, provocaron un movimiento en la nación norteamericana al cual se le llamó “Back to Basics”.

En el año 1973-74, el Programa de Matemáticas produjo un currículo remedial, con
énfasis en el desarrollo de destrezas básicas, para estudiantes con limitaciones en el
aprendizaje de matemáticas de nivel elemental. Durante ese año, se inició el Proyecto Calendario Escolar Continuo (Quinmestres). El currículo de nivel secundario, diseñado para este proyecto, proveía para atender las diferencias individuales con énfasis en el desarrollo de destrezas básicas.

Este currículo se inició con una muestra de seis escuelas, luego extendió su uso a toda la Isla en el año escolar 1979-80. Para seguir el mismo enfoque y fortalecer las destrezas matemáticas que se desarrollan en el nivel elemental, se diseñó el currículo del primer nivel (primer a tercer grado) en veinte etapas de aprendizaje. En los grados cuarto a sexto, se inició el uso de una serie de libros que sustituyeron los libros de la serie matemática moderna.

En el año escolar 1974-75, el Programa de Matemáticas estableció las competencias mínimas para cada nivel de enseñanza en las cuales se basa el diseño de las pruebas de aprovechamiento preparadas a nivel central.

Opinión: Los cursos modernos fracasaron debido a su enfoque puro. Imagínese un profesor dando teoría de números y de conjuntos de nivel universitario con todo y termonología abstracta a estudiantes de séptimo grado.

Una cosa es como se estructuraron los libros basados en el SMSG. Si lo comparamos con el ECA, con la matemática moderma te vas a un viaje explorativo con ligeros toques procedimentales y después del vaivén es que aplicas en los ejercicios, porque se entiende que no hay que mostrar ejemplos con pasos concretos para dominar la suma. Algunos libros ni tenían los signos operativos cuando eran en columna. Tenías que asumir por las instrucciones. Y añade lo que ya conocemos por la canción de Tom Lehrer: operaciones modulares.

Por otro lado, comprobó que podemos darles temas que quizás pensamos avanzados a estudiantes de grados menores. Ejemplo de esto es como le damos a resolver ecuaciones lineales hallando el ?, el cuadrado o el triángulo en vez de una variable; la representación usando conjuntos, construcciones de regla y compás, hasta exploración de los números enteros en quinto grado.

Comentario: Los quinmestres eran 5 semestres con duración de 45 días escolares cada uno. El estudiante se tenía que matricular en los cursos cuyos títulos no eran Español, Historia, Biología, o Matemáticas, sino la idea específica de la clase.

Ejemplos: Escencias del quijotismo, Paz y guerra, Diversidad animal y vegetal, Polinomios de una variable.

Algunos currículos de matemáticas superiores los nombraban por módulos: Módulo 1, Módulo 2, etc.

Algo similar ocurrío con las veinte etapas de aprendizaje del nivel elemental. Yo fuí la última generación que me enseñaron todas las 20 etapas. Eran una serie de cuadernos donde su portada era de unos coquíes saltando sobre unas piedras numeradas, con temas de valor posicional, operaciones básicas, y geometría básica.

De 4to a 6to no me acuerdo bien cuales eran los libros que se utilizaron en los 70, pero creo que eran Matemática de Silver Burdett o Éxito en las Matemáticas.

1980's: Resolviendo problemas pensando críticamente

"Estudios realizados a fines de la década de los 70 revelaron el riesgo de que un estudiante llegara a obtener un dominio mecánico de las destrezas básicas, sin entenderlas o estar capacitado para utilizarlas sabiamente. Es fundamental que el estudiante desarrolle destrezas de solución de problemas que lo capaciten para analizar y resolver situaciones nuevas que se le presenten. Para responder a esta necesidad, el Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) declaró que la solución de problemas debía ser el énfasis de la enseñanza de matemáticas para la década de los 80.

Durante esta década se desarrolló en Puerto Rico un proceso de revisión curricular
intenso que impactó todas las disciplinas. Los últimos años se caracterizan por una intensa actividad de pensamiento y acción con el fin de promover una reforma educativa profunda y exitosa. Basándose en la experiencia de proyectos de reforma en décadas anteriores, el sistema público de enseñanza inició un proceso de reflexión intenso que unió esfuerzos del sector público y privado, de escuelas y universidades, de empresas y del gobierno. En el 1985, se inicia formalmente una nueva revisión del contenido curricular de las disciplinas académicas en nuestro sistema de Educacion Pública. Tres principios integradores del currículo sirvieron de criterios guías para el inicio de esta revisión, a saber:

• La pertinencia de la educación: la continuidad y reconstrucción de la experiencia

• El desarrollo de destrezas de pensamiento y del pensamiento critico

• El desarrollo de los valores de dignidad y solidaridad.

Se estableció consenso sobre la importancia y el valor fundamental de estos principios en el desarrollo de los currículos escolares. La mayor parte de la actividad curricular, hasta entrada la década de los 90, se orientó en torno a estos tres principios, que aún son centrales para el desarrollo de nuevos currículos."

Comentario: La reestructuración curricular se basó en implantar el ECA (exploración, conceptualización, aplicación) al aula de clase, desarrollar el concepto de la clase diaria, actividades sugeridas, y la enseñanza mediante la resolución de problemas, todos provistos en las guías de maestros de los cursos.

1990's: Estandarización

El movimiento reformista en Puerto Rico cobra mayor impulso debido a proyectos,
tales como: Puerto Rico Statewide Systemic Initiative (PRSSI), los Centros Regionales para la Instrucción Matemática (CRAIM), los Laboratorios para la enseñanza de las Matemáticas (LABMAT 7), Metas 2000, Instituto 2000, “School to work” y otros. Otra fuente de motivación para la reforma de la enseñanza de las matemáticas proviene del Concilio Nacional de Maestros de Matemática (conocido por sus siglas en inglés NCTM). Esta organización de profesionales de la educación matemática en Estados Unidos publicó en 1989 un documento titulado “Estándares para el Currículo y Evaluación en Matemáticas”. Luego de muchos años de estudio y reflexión, este documento describe las aspiraciones fundamentales de la educación matemática y define lo que los estudiantes deben conocer y poder hacer en cada nivel escolar.

El documento de los estándares se divulgó ampliamente en Puerto Rico, y el Consejo General de Educación diseñó una versión puertorriqueña para el 1996. El mismo sirvió como base para crear el primer Marco Curricular del Programa de Matemáticas. En el año 2000, la NCTM publica el documento “Principals and Standards for School Mathematics’’, una versión actualizada del primer documento. Éste da origen al documento "Estándares 2000 de Puerto Rico”, vigente en nuestro sistema educativo. El contenido de este Marco se ha nutrido de las ideas y sugerencias de ambos documentos de estándares, así como de las ideas recogidas en la literatura sobre educación matemática de otros países. También ha sido muy valiosa la experiencia local en el desarrollo de currículos de matemáticas a través de los años.

Comentario: El documento curricular vigente a esta fecha es "Estándares de Contenido y Expectativas de Grado - Programa de Matemáticas"

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Siglo XXI: Para el nuevo siglo se espera implementar una visión que cambie por completo lo que es la escuela tradicional:

Opinión: Desde la fecha de publicación de la fuente (2003), se han puesto en el currículo de matemáticas puertorriqueño varios puntos de la visión deseada. Con su nuevo enfoque del aprendizaje basado en proyectos han podido cumplirlas, gracias a los avances tecnológicos como Youtube. Son esos avances tecnológicos los que se deben mejorar para que podamos tener la experiencia de tener una visión curricular 20/20.

Multiplicación polaca

La multiplicación al estilo polaco es de ejecución similar a la multiplicación rusa, con la diferencia que puedes multiplicar por cinco, al no tener que juntar dedos. Solamente sigues las instrucciones que te da el comic y listo.

comic via [SaturdayMorningBreakfastCereal]

El puño cerrado vale cinco, con cada dedo levantado añade uno al valor de la mano (un dedo = 6, dos dedos = 7,...). La mano abierta vale 10.

Entonces, ¿cómo multiplicamos? Los dedos que dejas levantados son múltiplos de 10, mientras las cantidades de dedos que dejas encerrados por mano son los factores a los cuales le vas a hallar el producto.

Otro ejemplo: 6 × 6:

Básicamente con los datos provistos, usted puede hacer 21 combinaciones (sin contar la operación conmutativamente) pero hay posibilidad de expandir la gama de multiplicaciones posible.

Metrificación

La metrificación es el acto de transicionar de un sistema de medidas ya impuesto al Sistema Métrico. Solamente quedan tres países que no se han convertido al sistema con metros, litros, y gramos; entre ellos los Estados Unidos. han existido varios intentos de tratar de convencer a los estadounidenses de cambiar su punto de vista sobre las medidas, pero todavía están reaceos al cambio.

El boom del movimiento de la metrificación estadounidense ocurrió allá para la década de 1970 y un poco de los ochenta. Para poder educar al pueblo había que primero poner las propuestas de manera tal que fuese agradable para todos. La solución: filmes animados.

video via [sygo7g]@Youtube

"Metric Meets the Inchworm" (1974) trata de un gusano que se opone a usar el Sistema Métrico.

video via [ProjectEpiphany]@Youtube

"The Metric Film" (1975) tiene un enfoque más educativo sobre las unidades de medida métricas. Incluye la historia del metro.

video via [seanmc31076]@Youtube

De los creadores de "Schoolhouse Rock", "The Metric Marvels" (1979) eran cuatro superhéroes que defendían el Sistema Métrico: Metroman, Lider del Litro, Super Celsio, y Gramo Maravilla. Transmitido los sábados en el bloque infantil de NBC.

Casi 40 años más tarde y se sigue la contienda. Al menos nosotros acá en Puerto Rico, aunque ya fueramos métricos desde hace siglo y medio atrás, utilizamos medidas del sistema estadounidense:

• Nos pesamos en libras.
• Medimos las curvas de nuestras mujeres y estatura en pies y pulgadas.
• Recorremos una carretera con kilómetros, pero nuestros límites de velocidad son en millas por hora.
• Nuestros alimentos se miden en tazas, pintas, y galones; pero la gasolina en litros
• En el informe de tiempolas temperaturas de verano son de casi 100 grados Farenheit, pero las fiebres que nos dan son de 40 grados Celsius.

En fin, nosotros dominamos ambos sistemas. Y aunque sería bueno que USA se metrificara, por el momento que las conversiones se queden dentro del salón de clases.

Las matemáticas recreativas de Tuto el Astuto

Uno de los primeros libros de escuela elemental (primaria) que más me llamó la atención fue Matemática de Silver Burdett (1974), con sus caricaturas y páginas a todo color. No fue hasta la semana pasada que me regalaron los textos de 3er y 5to año y los pude volver a ver.

Cada libro tenía un personaje principal, como Coco Drilo (3ro) y León Reyes (5to), pero el resto del elenco estaban en todos los tomos: El Conde Muchomás, Listín, Canelín, Peli Agudo, Berto, y del único que me recurdaba el nombre porque rimaba: Tuto el Astuto.

Tuto era el zorro que presentaba los trucos, acertijos, y retos por los capítulos, además de los suplementos, los cuales algunos se han integrado al currículo regular y otros se quedaron como curiosidades:

Patrones

Matemáticas del calendario

Números binarios

Multiplicación en una cuadrícula



Multiplicación abreviada



División corta



Los ángulos de un triángulo forman un semicírculo

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Esta es la segunda entrada hecha para la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog seispalabras de Clara Grima

Anécdotas sobre la práctica docente

Lo que ven a su izquierda fue el lugar donde desarrollé mis destrezas de práctica en la docencia dando clases de matemática entre febrero y mayo. Muchos recuerdos tendré de ese momento donde uno transiciona de estudiante a maestro, donde eres tú el que creas las herramientas en vez de que las den; donde gozas los triunfos de tus alumnos y ayudas a aquellos que están detrás. Estos son los momentos que se quedan para siempre.

Es por eso que como proyecto final del grupo de maestros practicantes en matemática, decidí sacrificar unos días fuera de LCM para crear un blog con algunos planes, clases y misceláneos que fueron puntos máximos entre los otros futuros educadores y yo.

En Anécdotas sobre la práctica docente verán videos, presentaciones, e inclusive una versión alterna de la entrada que hice sobre el Proyecto Especial de Matemáticas.


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Esta es la primera entrada hecha para la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog seispalabras de Clara Grima.

Rondando la frontera blogosférica (XVII)

• Como estudiar las matemáticas, según Halmos - via [Abstuse Goose]

• Geometría básica inscrita - via [TitoEliatronVidit]

• Fractales en el arte antiguo - via [AlcantarillaAlquímica]

• Una pared dedicada a un libro de matemáticas de primaria estadounidense, de los 1970's con estupendos visuales, especialemente ésta página la cual me recuerdo que utilizaron en el cuaderno de escuela elemental de matemáticas que usé (el llamado 20 Etapas) - via [andrewcollins]@Flickr

diseño hecho por W+K Studio

Ferretería Matemática: Herramientas educativas, hechos de basura

Hace casi un año atrás les hablé sobre la asitencia tecnológica, cuyo propósito es facilitar, aumentar o mejorar el rendimiento de los estudiantes mediante el uso de herramientas de ayuda, sean manuales o digitales, y les dí como ejemplo la cuadrícula multiplicativa. Ahora les traigo uno de los trabajos que hice de asistencia tecnológica allá para agosto 2010: un lector/marcador de libros.

Con una caja de cereal, un pedazo cortado del clip plástico de una carpeta, pintura y brillo pude crear un marcador capaz de hacer concentrar al estudiante que se enreda entre líneas a la hora de leer, además de un soporte deslizable que se sostiene por si solo.

No solo sirve para lectores videntes, ya que con las diferentes texturas los estudiantes que sepan leer Braille se benefician al tener tres diferentes texturas; donde reconocerá dos de inmediato (la superficie brillosa del lector, el plástico (el indicador), con la tercera siendo el libro de texto. Todavía hay más usos, pero ahora no me acuerdo rápidamente. eso sí, cuando fui con la profesora de EDES 4006 a entregar los proyectos de mis compañeros, fue el lector el que le dieron uso de inmediato, de parte de la maestra de la escuela.

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Siguiendo con el tema de manualidades educativas, uno de los más grandes propulsores de los manipulativos educativos hechos de productos reciclables es Arvind Gupta, el educador de ciencias y juguetero proveniente de India, cuyas herramientas para mejorar el aprendizaje fueron presentados por TEDTalks. En su página tiene la lista completa de juguetes, con instrucciones por escrito (grabables e imprimibles), visualmente en fotos y video. El que me enviaron por correo fue el video donde explica como hacer estructuras geométricas de dos y tres dimensiones usando solamente fósforos y pedazos de goma de la pompa de una bicicleta:


video via [arvindguptatoys]@Youtube

Variedad de recreaciones matemáticas para los graduandos superiores

Durante la semana pasada, me puse a documentarme sobre las cartas circulares y cursos de matemática que se dan en las escuelas públicas de Puerto Rico. El más reciente y vigente Catálogo General de Cursos del Departamento de Educación muestra las Matemáticas 1-9 y las cuatro Matemáticas Integradas de medio crédito para los grados 10 y 11, ya dicho en la Carta Circular 5-2010-2011 del DEPR. Pero, ya dicho en entradas anteriores, a los estudiantes de duodécimo los dejan tomar cualquier curso, ya que no está esclavizados a pasar las PPAA. Pueden tomar 2 cursos de 1/2 crédito para así completar su aprendizaje matemático. Aquí algunos cursos que puedan ser de interés para los estudiantes a punto de graduarse:

• Matemáticas Ambientales: suena interesante la aplicación de las matemáticas a temas de Ciencias Ambientales. Más información al respecto curricular en esta propuesta por profesores de la Universidad de Granada.
• Matemática Actualizada I & II: Básicamente son dos cursos donde se cubren los temas de Prebásica junto con un poco de Estadística Descriptiva y Probabilidad.
• Matemáticas Discretas: Hay que darles el curso lleno de aplicaciones reales, especialemnte en el área de grafos.
• Apreciación de las Matemáticas: No he podido ver o saber que contenido tiene el currículo de la clase, pero si es igual al curso del mismo que se ofrece en la UPR-RP, puede tener potencial.

Aquí los cursos de 12 deben ser trampolín al mundo real o universitario, y por tanto deben ser tratados como preuniversitarios, o mejor dicho, adultos.

DEPR también da la oportunidad de añadir nuevos cursos a la lista, tras pasar aprobación de su guía operacional correspondiente. Así que sometan propuestas quizás se puedan dar cursos como Matemáticas Recreativas o Historia de la Matemática en un futuro.

Más objetivos actitudinales matemáticos

Hace unas entradas atrás les mostramos unos objetivos actitudinales que los docentes matemáticos podíamos usar para reenforzar las clases. Ahora les traigo una lista más extensa, grabable e imprimible.

48 / 2 (9+3) & 6 / 2 (1+2): Analizando el debate

En el pasado mes de abril hemos visto que la gente ha empezado a divulgar la matemática por medio de contestar una de las preguntas matemáticas más ambiguas, Tan ambigua que hasta las calculadoras están en discordia.

La ambigüedad que se encuentra , sea en 48/2(9+3) ó en 6/2(1+2) se basa en como los maestros enseñaron y estudiantes aprendieron el orden de operaciones.

Advertencia: Aquí solamente analizaremos las posturas, las respuestas, y las razones. Usted decide cual es la respuesta correcta. Como los dos ejemplos son de proceso similar, utilizaré 6/2(1+2) para todas las demostraciones.

Primero, 6/2(1+2) tiene dos bandos de gente apoyando respuestas. Están aquellos que piensan que la respuesta es 9, y otros que piensan que la respuesta es 1. Entonces veamos como saco ambas respuestas:

Caso 1: 6 / 2 (1+2) = 9

Forma como lo resuelven #1: "A la cañona": Resolvemos de izquierda a derecha sin aplicar Orden de Operaciones (OOp):

6 / 2 (1+2) = 3 (1+2) = 3 + 6 = 9

Forma como lo resuelven #2: PEMDAS: En esta versión de PEMDAS, se resuelve solamente lo que está adentro del paréntesis y las multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
3 × 3
9

Forma como lo resuelven #3: Multiplicando fracciones: Separo todo en los signos de multiplicación y cambio todos los signos de división a multiplicación inversa:

Ahora veamos el caso #2:

Caso 2: 6 / 2 (1+2) = 1

Forma como lo resuelven #1: PEMDAS lineal: Resolviendo por PEMDAS por el orden específico y olvidándonos que la multiplicación y división están al mismo nivel:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 2 × 3
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #2: Liquidación de paréntesis: Éstos deciden eliminar completamente los paréntesis, mutlplicando lo que esté pegado porque así les esneñaron:

6 / 2 (1+2)
6 / 2 (3)
6 / 6
1

Forma como lo resuelven #3: Fracción implícita: Como el paréntesis está pegado al 2 y al 2 le precede un signo de división, dividen 6 por 2(1+2).

Cualquier otra versión que existan de resolver la operación se derivan de éstas.

Ahora, el problema con este problema reside tanto en los signos que usa como en lo que muchos llaman multiplicación implícita.

El uso del signo / puede confundir a la gente, computadoras, y calculadoras debido a que algunos lo leen como división del número próximo (respuesta: 9)y otras como una fracción de todo lo que le sigue debajo (respuesta: 1). Siempre hay que verificar como programaron la calculadora, especialmente en los signos ÷ y /

La multiplicación implícita es utilizada cuando tenemos dos elementos diferentes, comúnmente un entero junto con una constante númérica, una variable, o un radical, en donde su producto al final, después de multiplicar elementos de la misma familia, se basa en escribrlos juntos sin el operador de multiplicación. Ejemplos 2π, 3√3, 5i, 4x,... En estos casos también se incluyen números seguidos por otro números entre paréntesis.

Ahora que alcaramos esto volvamos a ver el problema pero haciendo una leve sustitución: cambiaremos 3 por la variable x, convirtiendo la ecuación:

6 / 2 (1+2) = 6 / 2 (3) = 6 / 2(x)

Entonces el problema se reduce a qué la gente considera que sea como coeficiente de la x entre paréntesis. Ahí es donde radica la ambigüedad:

O el coeficiente de x es 2, resultando en 1,


O el coeficiente de x es 6/2, una fracción, resultando en 9,

De todas formas, la discusión de este problema y otros similares ha dejado a muchos pensar y a otros trollear. Suerte que esta pegunta no está en sus exámenes finales...