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12/22/11

La leyenda de Zeldinski

La primera iteración para formar el triángulo de Sierpinski se ha conocido por 25 años como la trifuerza (Triforce), de la serie de juegos de Nintendo La Leyenda de Zelda. Cada uno de los triángulos significa algo que necesitamos a la hora de tomar por las riendas a las matemáticas: poder, sabiduría, y valor; donde dependiendo del armamento que tengamos podemos vencer al más Ganondorf de las tareas.
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Veamos el ejercicio de arriba, la caul inspiró a que el estudiante dibujara a Link:
"Un triángulo equilátero es originalmente pintado de negro. En cada ocasión que el triángulo era retocado una cuarta parte de cada triángulo negro cambia a un triángulo blanco, colocada al centro. Despues de cinco cambios, ¿qué fracción del área del triángulo negro original queda negra al final?"
Como todo problema, utilizamos el acercamiento más preciso para resolverlo. Si nos ponemos a dibujar cada uno de los cambios, se nos va la hora de la clase sin encontrar una solución. Así que tendremos que hallar un patrón dado la información provista:
  • Suponemos que el área del triángulo equilátero original (todo negro), al no tener cantidad dada, sea igual a 1.
  • Después del primer cambio, una cuarta parte del triángulo fue retocado de blanco.  Por tanto, el área del triángulo que es de color negro se reduce a 3 / 4.
  • Con cada cambio que ocurra, donde haya un triángulo negro, se cubre una cuarta parte con un triángulo blanco.
  •  En la figura vemos como la cantidad de triángulos negros crece exponencialmente de cambio en cambio (3ⁿ, n = cambio). O sea, que después del primer cambio hay 3 triángulos negros, 9 en el segundo, y así hasta que en el quinto cambio tendremos 243 (3^5) triángulos negros.
Para sacar el denominador: Cada trifuerza nueva tras un cambio tendrá un área blanca de 1 / 4ⁿ (n = cambio), por tanto el área negra de la trifuerza tras cambio número n sería de 3 / 4ⁿ .

Entonces, para sacar el numerador y por ende, la parte fraccionaria negra del triángulo de Sierpinski:
  1.  Para el quinto cambio, el área negra de cada trifuerza será 3 / 1024

  2. Como hay 243 triángulos negros en todo el triángulo de Sierpinski en el quinto cambio, el área negra de TODO el triángulo sería 243 / 1024.

  3. Por tanto, el área negra del triángulo de Sierpinski para n cambios es igual a la 3ⁿ/4ⁿ parte del área del triángulo original. 
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Esta es la tercera entrada hecha para la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Que no te aburran las m@tes

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