Descifrando a Abbott & Costello matemáticamente

Ya hay bastante gente que ha dicho de loa maravillosos pasos de comedia del dúo Abbott y Costello, especialmente de sus entremeses matemáticos. Ya Ivars Peterson ha comentado en una de las entradas de Math Trek sobre el ya clásico ¿Quién está en primera?, del enamorado, y el del préstamo. Pero existen más entremeses todavía. Por ejemplo tenemos el del día de paga, en donde las ganacias de Costello terminan siendo un dólar.

El que todo el mundo ha hablado recientemnete ha sido el de 7 x 13 = 28

Sencillamente muestra que Costello a la hora de hacer división, multiplicación, y adición, tiene "deficiencias" al no reagrupar y usar notación posicional. Rompamos el entremés en las tres demostraciones:

División:

Si nos fijamos, Costello usa como símbolo de división unas paréntesis inversas, Una de la variadas maneras de dividir. Usado desde el siglo XIV, dividir usando paréntesis de ésta forma:

divisor)dividendo(cociente

restando bajo el dividendo como siempre.
Costello no recoge los números cuando sabe que no puede dividirlos por el divisor, por tanto divide las unidades primero y luego baja el número que no dividiá para ponerlo con el residuo.

Resumen: Sean a, b, c, d, e, f, g, q, números naturales menores que 10, tales que:

a = número que ellos dejaron igual
b = número que Abbott dice que es correcto
c = número que Costello dice que es correcto = 10*e + f
d = el dígito de las unidades de a*b = e*a + q; q es el residuo.
e = primer dígito de c
f = segundo dígito de c
g = dígito de las decenas de a*b

Entonces:

Como g no se puede dividir por a, dividimos d entre a, tal que saldrá e con residuo d - e*a. Bajamos g , tal que lo que vamos a dividir es

f = [g*10 + q]/a
= [g*10 + (d - e*a)]/a
= [(a*b) - d + d - (e*a)]/a
= [(a*b) - (e*a)]/a
= b-e

Si verificamos e está localizado en las decenas de c y f en las unidades, entonces si sumamos los dígitos, obtenemos

e + f = e + (b - e) = b .

Multiplicación:

Escriben c y debajo a, pero Costello multiplica sin reagrupar ni posicionar. O sea multiplica a * f y luego le suma a*e. Importante hacerlo como lo indica el video (encajonado y para abajo), porque es la única manera que sale.

Adición:

escribes c horizontalmente a veces. Abbot suma mentalmente f a veces y Costello le suma e a veces.

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Resultado: la suma de los dígitos de c resulta en b.
Pregunta: ¿se podrá hacer con todas las combinaciones?
Respuesta: No. Solamente necesitamos la prueba de división se A&C para saber si existe o no el número de Costello, un número que con éste pueda refutar con Abbott. Hice un programa que al poner dos números naturales menores de 10 verifica si Abbott y Costello están en disputa o no. Aquí está el programa en C++.

Bud Abbott y Lou Costello: genios de la comedia y matemáticas...