Como hallar la cantidad de divisores de un número sin hacer el arcoiris de factores

Normalmente pensamos que a nivel elemental solamente vemos aritmética, geometría, estadística y un poco de preálgebra. La realidad es que casi nunca notamos que se pueden ver conceptos simplificadas o hiperaplicadas de topología, matemáticas discretas, álgebra abstracta y la teoría de números. Ésta última se introduce formalmente cuando necesitamos conocer sobre primos, compuestos, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, y  factorización (tanto en forma de árbol o en arcoiris) para comprender el mundo de las operaciones fraccionarias. Claro está, al pasar de los grados se cuelan más temas, como la factorización prima, la aritmética del reloj y los sistemas de numeración de base n; pero se usan como aplicaciones al álgebra o recreaciones que lamentablemente no entran al aula por falta de tiempo.

Volvamos al arcoiris de factores por un momento. Busqué información por la red y me  percaté que era simplemente el ejercico en donde encierras en dos corchete todos los factores / divisores de un número natural en específico.:

Ejemplo: 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Lo que difiere el ejemplo de arriba al arcoiris de factores es que trazas un arco el cual conecta el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente.

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Ahora bien, existe un método en el cual puedes saber cuántos factores tiene un número natural n menor que 1 sin la necesidad de conocer cuáles son. Para ello necesitarás conocer que todo número natural n menor que 1 tiene su factorización prima única. Piénselo como si cada n diferente de uno tiene su propio zip code compuesto de la multiplicación de exponentes cuyas bases son diferentes entre sí. Abajo podrá ver una explicación algebraica:

Lo que yo necesito saber de esa factorización prima son las potencias ( las a) que tiene cada número primo. Entonces las multiplico todas, sumándole 1 a cada potencia antes de multiplicar. El producto resultante es la cantidad de divisores (d) que tiene el número natural n.

 Para probar lo dicho, volvamos al ejemplo de arriba. La factorización prima de 30 es 2 · 3 · 5, donde las potencias son 1, 1 y 1, respectivamente. Entonces d = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =2 · 2· 2 = 8 divisores. Abjo les muestro dos ejemplos más, los cuales puede comprobar hallando de mente los factores.

La técnica es excelente cuando tienes que hallar números gigantes o para decir rápidamente la cantidad de divisores en cuadrados (d = 3), cubos (d = 4) o cuartos perfectos (d = 5)
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Ésta es la primera entrada de La Covacha Matemática para la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.