Hoy en la sección de comentarios, me dejan un video de Numberphile sobre los grafting numbers, una serie de números que se pueden encontrar dentro de la secuencia de su raíz cuadrada. Al final, Matt (Numberphile) encontró un patrón en una serie de números, de tal manera que pudo reducirlo a una ecuación simple. Ésto me dio hincapié para averiguar si existía tal capacidad de ecuación en los ejemplos mencionados en la entrada anterior.
De antemano sabía que todos los números generados eran divisibles por nueve, ya que la suma de sus dígitos resulta en un número divisible por 9. Entonces, verifico si hallaba factores comunes:
81 = 9²
9801 = 9 (1089) = 9² (121) = 9² · 11²
998001 = 9 (110889) = 9² (12321) = 9² · 111²
99980001 = 9 (11108889) = 9² (1234321) = 9² · 1111²
Con estos cuatro ejemplos pude encontrar varios hallazgos:
- Todos los números, al dividirse 9, invierten el orden de los números tanto en cantidad como en orden.
- Todos los números tienen como factor común el 81 (9²). Genera la secuencia decimal de los números excepto (999···9) - 1.
- El otro gran factor es el cuadrado de la sumatoria, desde n = 0 hasta n - 1, de 10ⁿ, el cual dicta n, la cantidad de dígitos que tienen los números de la secuencia (de 0 a 9, de 00 a 99, etc.).
- (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 1 = (10^0)² = (1)² = 1
- (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 2 = (10^0 + 10^1)² = 1 + 10 = (11)² = 121
- (Σ 10ⁿ)², n llega hasta 3 = (10^0 + 10^1 + 10^2)² = 1 + 10 + 100 = (111)² = 12321
